专题1-8数列求和14类题型一网打尽（解析版）.docx

专题18数列求和14类题型数列求和常见题型梳理【题型1错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型75211与5211i下标的讨论和处理【题型8】通项含有（-1）”的类型题型9奇偶数列求和【题型10隔项数列求和（一般并项求和）【题型11】和为等比数列求和【题型12插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14取整数列求和数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：%=4"（其中/是等差数列，2是等比数列）类型二：£,二，L（其中凡是等差数列，2是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型1/11、11z11=（）;（2）=（n（n+k）knn-k（kn-）（kn+1）2kn-kn+类型二：无理型类型三：指数型裂项相消进阶1、裂项相加：(l)n例：()”,=7)，本类模型典型标志在通项中含有(一1)”乘以一个分式.对于=(T)"""可以裂项为“二(一1)"°”+%出=(-1)4+%+a+"(+"2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：nn+1)=+1)(+2)-(w-l)(w+1)一般式，当公差为左时：kn(kn+k)=kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子.+22(+1)-(2_1)1=11：(w+1)2wn(n+)2nUw+Tj'Fw2n'"(w+l)2n-)kn+ah+ak-h1般"突."(n")4("+l)+ban(kn-b)an(+l)+fe三、分组求和法3.1 如果一个数列可写成%二%±2的形式，而数列%,是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.an为奇数3.2 如果一个数列可写成q,=Lg皿的形式,在求和时可以使用分组求和法.为偶数四、倒序相加法即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和【题型1】错位相减1 .已知见=21,若数列“满足。向+%4+4也=(2-3)2e+6,求和：Tlt=aibn+地T+-+Jb2+anbl,【答案】Tn=3×2n-4n-6【详解】因为她+她+%瓦=(2n-3)2n+,+6,所以albi+a2b2+,.i-1=(2-5)211+6(«2),两式相减得anbn=(2-3)2n+,+6-(2-5)2-6(2)义岫=2满足上式，所以勺"=(2-l)2"(wN"),又二2-1,所以“=2”.则Te=m+a2bn,x+lt-1+anby=1×2m+3×211,+5×211-2+.+(211-1)×2,2Tn=×2!,+l+3x2"+52”+(2w-1)×22,两式相减得：Tn=2n+2n+1+2,÷+23-(211-1)×2=2a+l+8(：；)-(-l)×2=3×2'用-6.2 .记数列4的前项和为1,且=1,。=LG2).(1)求数列4的通项公式；12n(2)设?为整数，且对任意V,m-+-+一,求机的最小值.a%4【答案】L222.；(2)7【分析】(1)由数列可与7；的关系可得知+=2q1(2),再结合等比数列的通项可得解;12n(2)利用错位相减法求出一+,结合范围即可得解.%a4【详解】(1)因为4=1,%=&(2),所以出=q=1,当“2时，an+l=Tn=Tn+an=2anf故qf=%二""=2""("2),且q=1不满足上式，故数列勺的通项公式为=目；”；：；_12n(2)设2=+,则B=I,aa2an当2时，5=l+220+32-,+22-fl,故L+22T+32"+“2i,于是，S=*+(2"+2-2+22-")-2=3+l!二22,72l-2,整理可得S.=7-5+2)22t,所以S.<7,49又Sg=k>6,所以符合题设条件的m的最小值为7O差比数列的其它处理方式(待定系数法)3 .已知勺=(2"-5)x2",求S”.【答案】an=(2w-5)×2n=(w+l)+×2n+,-(l+)×2n=(w+2+/>2n,an=2(+1)-9×2n+,-(2w-9)×2n,Sn=2(w+1)-9×2rt+,+14=(2?-7)×2rt+,+14.【题型2】裂项相消(常规)4 .己知q=3,证明：虫+g+.+<+1qa2an4【分析】由/=，得到-=l+!(!-|,结合裂项求和及-17+-J>o,即可得证./7+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解：由则-=与4=当T=+1an(+2)(+2)2(n+2J2 n+1 n+2= + 口4 2w+1 n+2)1ICZ31/11、3因为+>0,所以+<w+-,w+1n+2,42U+1n+2)4,na2,a3,"+l/”4.3即+1+<W+a2an4'5 .已知%=2-1,数列牝前项和Sn,记=共L,设数列也的前项和为7；,求证7；<,DQ"216【解答z,14(y“m，4yL,%=-?)14(,÷1)211155(w+2)2J*c4x4-16116 .已知正项数列凡的前项和为S,且满足*=4%+7）C111I求Z，Q）求耳W+.+及F【答案】（1）S,r=6,（2）yn+1-1【分析】（1）先令=1求出首项，再由数列的递推公式，当“2时，a”=S“-SIT代入并结合等差数列的定义和通项公式求出S1.（2）由第一问S”的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】（1）根据题意可得,r>0,当=1时，£=4=；（/+，），解得q=l,由可二色一色”2代入得S”=UsSm+f,整理后得S.+S,T=J,即S"S3=1,根据等差数列的定义可知，数列同是首项为1,公差为1的等差数列，则S； = l + (-l)J = ，. s,=6Llll(2)由(1)“知S"=' s+S2 + S2+S3 + S3 + S4 , 1 _I + 2+2+3+3+4+," lw +w +1 = -w + l 1,2”7.已知 = 2"-l,设4 =2 + 1,求数列也的前项和S.【答案】【详解】1b.2n (2-1)(2,+,-)1 , .112 1 ÷ y/3 y/2. + 4 y/3 +.+yn + yn(2*,-1)-(2-)-2+l= >-2n+(2n-l )(2+l-l )所以S.=b+b2+对式子变形后再裂项：一般是分离常数8 .已知为=J，设C"=4"2%+,求数列匕的前项和4.21【解析】-L4+，2n+)2n+，1，、9 .已知见=2"+4,记=,数列也的前项和为7；,求乙11(111【解析】=-=32/7+384(w+1)(+2),10已知"”=舟('N)若1=(2/l)d,求数列也的前项和二,2w+l11【解析】"=F_TT=-;不,w(«+1)n(+1)( + 2) ( + 1)2 .11.已知=,证明：+÷-÷-<÷7."/2+1%an4【分析】由%=，得到%4=l+<f!一一二I结合裂项求和及v+二>0,即可得证.+1an2nn+2Jw+1n+2【详解】解:1 +2 n+1 n+23=n + 4 21 ÷ 1 n + 2 ),则也=) _ W(7 + 2) H2)(+2)“a，/>(E4-+-1【答案】4.二；4"“十2-；3【详解】T2ll =bi +b2 + + = ( + + "+ + X (,2 +¾ + ,+ )率川+/一上 3314.已知牝=2",设2为数列q在区间(OMwCN")中的项的个数，求数列耙前100项的和.【答案】480【详解】由bm为数列/在区间(O,zm(m e N)中的项的个数，可知4=0, 4=4=1, =b5 =hb =h1 =2.当 8n15 时， = 3 ;当 16m31 时， = 4 ；当 32/W63时，1 = 5 ；当 64m4100 时， = 6./. Z>1 +b2 + + " + oo =OXI+ 1x2 + 2x4 + 3x8 + 4x16 + 5x32 + 6x37 = 480.15.已知数列七的前项和S,，且S向=30+1,4=1,数列出满足4=1,("1也=其中-=n+/7 + 2因为r÷ .w+1 n+2L+3>0,所以+.42U+1n+2a.3+-z±L<w+-【题型3】分组求和12已知若数列满足求数列间的前2”项和总、4w+,-4【答案】2n2-n+-3,4F-,O>为奇数,2一1,为奇数【详解】因为I'"为偶数，所以"W/为偶数,所以=(1+2?)+(5+24)+(4-3+2?")w(l+4n-3)2'×(l-4n),4rt+,-4-+=2n-n+21-4313.已知牝=2",设="将，数列出的前2项和为匕，求七.log2%/为奇数/7N*.求/和低的通项公式;logs%,为奇数4为偶数,求数列%的前20项和G).("+2)Z"、【答案】(1)q=3"，=11(2)70=Sx,n=,、，、cc、累乘法求得/和"的通项公式;-pw2(2)结合分组求和法、裂项相消求和法求得心).【详解】(1)对于S.+=3S,l+l,=1,当"=1时，ay+a2=3ai+i,a2=2al+1=3,所以为=3"T.22.j 2 1当2时，由S.+=3S"+1得SfJ=3S,+l,两式相减得a”+1=3.("2),由于a2=36，所以%是首项为1，公比为3的等比数列，对于“=1，6+1)="+-2=8,bnn,bl,bn,b,b-,nn-所以6=20.-J-.-L.h=b.b2b,b,n-n-2A也符合上式，所以勿=.(2)当，为奇数时，G=Iog3%=T；C1=0,C19=18,所以q+c3+c19=y×10=90.44-11、当为偶数时，c=z,l0x=2不：(n+2)bn+Vnn÷2所以 Cz+Q+.+Go所以弓=90 + E =詈【题型4裂项相消(进阶)1、裂项相加：(1尸1 1+%例：(T)”,/：；)=(T)I本类模型典型标志在通项中含有(1)”乘以一个分式.对于=(T)"+-可以裂项为“二(-i)rt川=(Tyanan+cnan+2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：n(n+1)=:+1)(+2)(一)n(n+1)一般式，当公差为2时：kn-(kn+A)=-kn(kn+k)(kn+2k)-(kn-k)kn(kn+k)3k3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘+22(n+)-n(1_1_Jn(w+l)2an(n+)2nww+Tj'F-w2,(w+l)2fl(a-T)kn+ab+ak-b11放。杓a"(M-b)%("+l)+bankn-bQ“左(+)+616.若a“=2I,数列也满足"=丑二上，也的前项和为7；,求7；anan+l【答案】11+(-r,-1H42w+l【详解】由题可得2=（7）"=(-l)n+in,(-l)n+11(2w-1)(2/7+1)-42-1K,4H+E+'c(4,+2川【详解】brt=所以(=4+8+”=-6($扑6($3+6S)(j击=-3+-(-Ifw+2v°、17.已知/= ( + )e + 2)，若。=(2 + 3)(-1) alt,求出的前项和0.18.已知。“=2-1,bn=anan+lf求数列勿的前项和7；【答案】4=g"(4l+6Ll)【详解】当2时，ana2-。“_必“。用=ananan42-aw,1)=6anan+i=6,因此，”=!(%?+必”+2一4.陷”%+1)，之4=2(%见+a+2-。/3)=7/"”+215),OA=2OOn115=3满足上式,则北="+4=2(。&+自+2T5)+aia2=-(2n-i2w+i2rt+3)-+3=-n(4n2+6z-l),bx*-26023所以4=gn(4n2+6n-1).19.己知。“=2-1,“=(T)Zj，求数列4的前项和1【答案】Tn =2n2+2n,n=2k,kN*-2-2w+1,w=2-1N*【详解】当n为偶数时，当ZJ为奇数时，当=1时，7；=-3当“3时，经检验，7；也满足上式，所以当为奇数时，Tn=-2n2-2n+综上，数列4的前项和4 =,2n2 + 2nin = 2k,k & N*-2n2 -2w + l,w =2k-,k N*20 .已知勿二2-1,设G= (T)"2 + 1(+1 + l)(+l),。为数列匕的前项和，证明：凡4【详解】cfr=(-y2n + l(÷.+i)(+i)= (-l)2 + 14( + l)w1+ -=(呜4l2n + l五L-I)(I""1)是递减的，所以7Lz;412 + 1廿，4(w÷l)21 .己知a=3 ,若 hcn = - ""4w2-1(wN),求数列。的前项和【详解】由也fj= 雪W("N"), "" 4i2-1 V f4+ 4叩得 C" = 3,(2w-l)(2w + l) = 3,-'(2w-l) - 3w(2 + l)， 则数列。的前项和为Illl3%d-31×3 + 31×332×5+ , + 3,1(27-1)-3z,(2w + 1)1-3)4-1,=(-l)fl±2,求数列出的前2+1项和岂anan+l【答案】【详解】8/7 + 1024w + 21“” .鬻=W.涓岛TW+4 一 1 4/7 + 3所以劣Z=4+4+,÷+%+l8/7+1038w+724n+2'22 .已知/+1=2"，记(q+1)，=一，北为数列出的前项和，求7；.+n【解析】因为a+1)“=+2证明：4+4+ + 44=112,5+1)2+(zz÷l)Z,23 .已知q=，设=""""2"'q-2【详解】解：因为,二%+4=+4=1+4"2-q1q2W5+1)5+2)+1*"G+2)'-11珀"20w(+l)2n*,(n+l)(M+2),111-;<一42rt+,w+l)(w+2)4'【题型5并项求和一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小24.已知见二2-1,若”=勺CoS等，求数列也的前3+1项和凡【解析】hn=ancos=(2/1-1)cos,【法一】并项求和化简得&”.1+,f+n÷=-(6/2-3)+6/2-1-(6/2+1)=0,故凡川二A+也+÷)÷(+%+&)+(&_+b3n+¾,+1)=+0=-；【法二】分组求和3/3/11=+3n+2w-Sn=,2222所以，数列也的前3+1项和T；N=-g25 .(2023秋湖南长郡中学校考)已知S,是数列4的前项和，4=2,%=39=4,数列应+%+%+2是公差为1的等差数列，则So=.【答案】366【分析】设“=能+。”+1+%+2，易得“=9+(-I)XI=+8,再由$3=%+氏+求解.【详解】解：设“=6,+%+/+2，由题意知4是公差为1的等差数列,则bl=ai+a2+a3=9,故6“=9+(-I)Xl=+8,则4=4+1=10,故4+4+t=(2+8)*5+8)+*38+=13x84L=364于是Sm=6+(%+%+%)+(%+4+%>.斗鼠+须+。)，=%+b2+b$F=2+364=366.26 .已知=2-1,记a=(TySr,求数列出的前30项的和金.【解析】S.J。+jf="2,所以"=(7)"S,=(T)"W,所以7；O=-12+22-32+42+-292+302，、Jr27 .己知见=22”，设4=1,"+=平在渺，求数列出的前2项和巴”.为偶数【详解】当为奇数时，bn+i=an=22"t：则当为偶数时，+1=w.1,(2+2-2)(-1),=1+24rt3+iL=24n3+n2-n+1.2【题型6】倒序相加28 .“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数/a)*台，设q=i4=()+d讣/图+(阴。wW2),则4+%+0=.【答案】46【分析】先证/(%)+/(I-X)=2,由倒序相加法可得通项，然后可解.【详解】因为函数/(X)=Iog2卢的定义域为(OJ),设(x,y),N(x2,歹2)是函数y=f(x)图象上的两点，其中xl,x2(0,1),Kx1+x2=l,则有M+%=/(xl)+()=Iog2Pi-+Iog2=Iog2=2,-X-X?1(内+工2)+西”2从而当Xt(0,1)时，有：f(x)+f(-x)=2,当2时，""=/(/+/()+/JfL+/，%=+d卜+/(»相加得2,=&(+(F)+卜g+/(一)卜一+卜(?卜/(扑2“-2所以q=-1,又q=l,1,=1所以对一切正整数，有%=(1、c；n-l,w2故有:q+g+/o=1+(1+2+341-9)=46.29.（2023江西南昌统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等等.己知某数列2w-51“,n26的通项=42一52,则/+/+%=（）1,n=26A.48B.49C.50D.51【答案】D【分析】分离常数后可得%+%2i=2,再利用倒序相加法，即可求解.一、I42n-512w-52+l11【详解】当26时，an=-=1，2«-522/1-522（-26）1I1Inan+jf=1+1+=2,"522（/?-26）2（52-W-26）<S=%+%+%，S=%÷。49÷.÷,.2S=（q+5）+（2+49）+.+（a51+q）=2x51,/.5=51,即+叼+%=51.【题型7】S2n与S2nl下标的讨论和处理30.已知数列% =.+ 为奇数）2”,（为偶数）（1）求数列4的前20项和Gl（2）求数列%的前的项和（3）求数列叫的前2-1项和耳.（4）求数列/的前项和T【详解】（1）%O=（C+。3+。5+。19）+（，2+。4+06+。20）+为奇数）（2）由（1）知t =，田珏，数列,的奇数项是首项为3,公差为4的等差数列，偶数2",（为偶数）项是以首项为4,公比为4的等比数列.记4“=c1+c3+c5+c2jt.1,Bn=c2+c4+c6+¾0"二4左一1,故4二三，11.左=2左？+左c2t = 2,，故 Bn =4(1-22a) 4>22* 41-4(3)=2+ +3 34-l（4）当n为偶数时，记n=2k,4+,-1则有=2&2+-3-,故7；当n为奇数时，记n=2kl则有 与 =Ik2+k +4a-1，故雹=÷3,÷2 + 224,n = 2k故 7；=<,(丘 N+) in = 2k-31.已知=，。2”=22向，记“的前项和为S“，S”>2023,求的最小值.【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出S2*÷l) +8(4-1) 进而得出¾*-k(k + ) 2×4*-8,求解即可得出答案：解法三：分组求和得出$21 =3%(A + 1) I 2x45求解即可得出答案.【详解】解法一：=(1+2+3+4+5)+(23+25+27+29)=15+680=695<2023,又S10=S/al0=695+2=2743>2023；又可>0,则S”<S用，且Sg<2023<Sm所以的最小值为10.解法二：4WN时，S2k=ai+a2+a3-a2k伏+1)I8(4JI)s2k-l=s2k-a2k =A(A+1)I24*-8所以S9=S2x5,i=半+-8=695<2023,5×6SlO=SX=÷弋=2743>2023，又见>o,则S,<S/,且S9<2023<品，所以n的最小值为10.解法三：当AK时，S21=q+2+%+%E2I1-4所以Sg=-=竽+耳理=695<2023,=59+io=695+22×5+,=2743>2023.又见>0,则S”<S向，且Sg<2O23<So,所以n的最小值为10.IOgM,为奇数32 .(2023湖南岳阳统考三模)已知=3",若"=5,求数列出的前项和北.勺,为偶数【解析】 =-,为奇数3”,为偶数当n为偶数时，Tn=bl+b2+=(+)W-当为奇数时空=&鼠=IbT-"9 ("I)., 84综上所述：Tn33”"一1,"为奇数33"一1)一,为偶数【题型8】通项含有(-1)"的类型33 .已知="6wN),若“=(-l)%3求数列4的前项和7；.解题思路点拨：代入得："=(T)""注意到通项中含有“(-1)”，会影响最后一项取“正还是负”，*X"衣33a如_-思路点拨，"=(-l)"7417=(7Mbm,注意到通项中含有“(7)”,会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.1./、FtJKJUaZU4rJ一勺刁C+A=Jq-A:；奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧Cc0L4qA*«»-«*v4vl一."A.:“Mfr'4.，士»»»，»，”"7>4>»IJ=4+4+4+4+%+%f(注意到本例求解的Q为偶数项和，代入最后一项7=(-)f¼÷l一定是正，故不需要讨论)12-12n+)al+a3=a5+a7=a9+all=2.从第二个式子开始，相邻的两个式子相加得：把以上的式子依次相加可得：=78.36.已知勺=37，若1=(T)"log3ll,求数列4的前项和小为偶数【答案】北=2-上,为奇数2【详解】=(-l)log3an=(T)"(+1)故当为偶数时，Tn=(-2+3)+(-4+5)+.+-n+(w+l)=y当为奇数时，Tn=(-2+3)+(-4+5)+(+1)=(+1)+3?为偶数=，所以I=J,24渺r2n+3为奇数t37.已知数列,中，q=2,"(%+-q)=4+1.(1)求证：数列1铝j是常数数列；(2)令”=(T)Z,S”为数列帆的前项和，求使得Sz,-99的的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)最小值为67.(1)由(4川一4)=%+1得：。e=("+)+,即缶=%,(L)M="+L-一二，即有4畔="L.数列-4是常数数列：w+1nnn+1nnJ(2)由(1)知：=a1+1=3,/.an=3n-1,.bn=(-1)(3«-1)l3-1,为偶数即a=1(3-1),为奇数，二.当为偶数时，,=(-2+5)+(-8+1l)+-(3z-4)+(3n-l)=y,显然SA-99无解;当为奇数时，St=ST-用=岑D-3("+l)-l=-等，令0-99,解得：66,结合为奇数得：的最小值为67.38 .己知数列%的前项和S“，1=l,an>0tanan+,=4Sn-.计算的的值，求S/的通项公式；(2)设。=(T)ZMr.I，求数列也的前2项和以.【答案】(1)%=3,an=2n-七=4"(2"+l)51,w=1【分析】(1)根据c、°,作差得到q+2一q=4,再根据等差数列通项公式计算可得:AIfT，22(2)由(1)可得blt=(-1)*(2-1X2+1),利用并项求和法计算可得：【详解】(1)解：当=】时，aia2=4al-lt解得=3,由题知=4S,-1，/qf+2=4Sfj.-l，由-得。7(/2-")=4,M,因为%>O,所以。足-4二4,于是：数列”的奇数项是以q=l为首项，以4为公差的等差数列，即*=1+4(-I)=4"3=2(2-1)-1,偶数项是以4=3为首项，以4为公差的等差数列，即a2n=3+4(-1)=4/2-1所以%的通项公式=2-1；(2)解：由(1)可得，=(T)£(2-1)(2+1),72n=(+)÷(+)+,+(-+%“)=43+7+(4/-1)=4""+j"”=4(2+1).39 .已知见=6-J-1,3=(I)_,求"的前64项和Q.【答案】他的前64项和Q=8.【详解an yjn -yn-=(-i)rt(+7i),.的前64项和Q=8.【题型9奇偶数列求和重庆一中月考40.已知数列可满足 =2 , an+l黑黑普'若+%(f),求.【答案】2+3-3w-8伍+1,为奇数，【详解】证明：勺+1=+他题,设"=%f+l2勺,为偶数.'+=a2,l+2+1=(%"+1)+1=+2=2a2n+2=2(a2n+)=2bnf又4=4+1=(+1)+1=4工0'常L=2,.4为以4为首项，2为公比的等比数列.=n+=42rt-l=r÷,.a2n=r+i-,又”2"Jl=271,=2的2,所以$2”=(q+03+45+-.+02/1-1)+(42+44+46+-.+02”)4(l-2n)1-2-2n4(l-2n) n 1-2= 2+3-3-8.2021新高考1T17(、IX+1,为奇数求%的前20项和.4b已知数列间满足“九+2/为偶数【答案】300.【详解】。2m=4”+2,。2/2=2"+|+1，设所以。2/2=。2+3,即&=5+3,且A=%=%+1=2,所以"是以2为首项，3为公差的等差数列，于是4=2,4=5,=3-1=2x(V)x1Q_10=300224-I,当为奇数时42 .(广东实验中学校考)已知数列4满足。川=I,八必出/里用叶，且%的前100项和+3),当为偶数时Su)O=3775(1)求/的首项;(2)记=!,数列的前项和为小求证：Tn<.a2n-l'a2n2【答案】(IM=I(2)证明见解析【分析】(1)分为奇数和为偶数两种情况进而讨论即可求解；(2)结合(1)的结论，利用裂项相消法即可求解.【详解】(1)当为奇数时，=2qr-l=2x；Qt_+3)-1=。”+2：则偶数项构成以2为公差的等差数列，所以当为偶数时，an=a2+n-2；当n为偶数时，%=；(%+3)=(2%-1)+3=3+1,则奇数项构成以1为公差的等差数列，一1所以当为奇数时，an=1+-,6+±L当为奇数时则a”=J2,又。2=2%-1,a2+-2,当为偶数时所以S100=(1+a3+99)+(a2+a4+0loo)=15Oiz1+3625=3775,解得，“1=1.3(2)由(1)得，2b,i=n,a2n=2n-fTi=bl=<-,11IIfl当22时，bn=-<-7-TT=-_,n(2n-)n(2n-2)2n-n)3_2【题型10隔项数列求和(一般并项求和)43 .已知数列4满足q=1,%+%=4，则S100=【答案】10000【详解】数列q满足q=1,qt+q1=4，因为q=l,。用+%=4，所以，*S,100=(1+2)+(3+4)+(9÷oo)44 .若数列凡的前项和为S”，且外川+。“=2",则SH)=()A.684B.682C.342D.341【答案】B【分析】根据等比数列求和公式以及并项求和法得出结果.【详解】。2+%=2：4+3=23,a6+a5=25,a8+7=27,¾+<=29,所以Sg=2'23+2$+2'+29=2x0-')=682.1-445 .(深圳一模)记Sz,为数列%的前项和，已知为+%=4-2,q=4求S”.”rq=1/+?当为偶数时一门"一2+2,当为奇数时【详解】解：b.i+=4(-1)+2=-2当n为偶数时,<(6+4-2)2Sn=(6+。2)+(%+%)+(%-+%)=+，fj当n为寺数时，力(”.+(3»4+三0°；二2)/+2.综上所述,/+,当为偶数时/+2,当为奇数时【题型11】和为等比数列求和46 .已知数列也中,4=1也+%=2'TwM,求数列&的前n和.2.In2【杏案】4.939变换下标，写成%,求通项 思路点拨：根据题意：+1=2rt,可推出a4+4.2=2",两式作差+2 一”=27累加2累加，得az,-b2=4(4"-l)("2)2M= §(4 TT) Sl)求和222所以数列b2n的前n和为&+"+打”二§4”一T'1347 .己知数列(满足%+2=2%+3%,al=-,a2=-(1)求见的通项公式.(2)若数列见的前项和为5”，且为(+sJ2-7(wN)恒成立，求实数;I的取值范围.14【答案】(1)%=7x31,(2)-Z01再构造数列卜”-gx3小,求解首项分析即可;【分析】(1)将见+2=2(+34两边同时加。用，结合等比数列的定义证明可得/.+%=23z,1/rIn-I根据等比数列的前项公式可得sr。1)，参变分离可得了丫的单调性求解最大值即可.【详解】（1）由%+2=2zt+3为可得。2+%+1=3/+3%=3（/+%）,且2+%=g+=2,故+4+J是以2为首项，3为公比的等比数列，故+=23i,所以见+-3x3"=-1/-gx3""）,又q-gx3i=0,故a”+1一；x3"=-1-g3""）=（,-g3""）=.=0,即a"=gx3”(2)由a“=x3”“为等比数列，故Si(1r)lv1x,2S"=-=l(3T)故/l(；+sJ2一7(N')即q/ZUN*)恒成立，求与二的最大值即可.设a =W?-Ge N，）,w+1-