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    专题07函数的应用(二)【解析版】.docx

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    专题07函数的应用(二)【解析版】.docx

    专题07函数的应用(二)I-(1)定义:对于函数y=(x),我们把使用:)=0成立的实数X叫做函数y=(x)的零点.(2)几何意义:函数y=(x)的图象与X轴的交点的横坐标就是函数y=(x)的零点.(3)结论:方程(x)=0有实数根=函数),=危)的图象与X轴有交点Q函数y=(x)有零点二、函数零点的判定定理条件结论函数y=)在,句上y=x)在(,6)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)ay(b)<0三、二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)V0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.四、判断函数y=f()是否存在零点的方法(I)方程法:判断方程yu)=0是否有实数解.(2)图象法:判断函数y=(x)的图象与X轴是否有交点.(3)定理法:利用零点的判定定理来判断.五、有关函数零点的三个结论(1)若y=(x)在闭区间口,句上的图象连续不断,且有/(VS)<0,则函数y=(x)一定有零点.(2y3V(b)<0是y=)在闭区间口,0上有零点的充分不必要条件.(3)若函数/(x)在口,句上是单调函数,且/(x)的图象连续不断,则3)3)<0=函数/(x)在区间口,力上只有一个零点.六、指数函数模型的应用f(x)=abx+c(a,b,c为常数,0,b>0,bl)七、对数函数模型的应用y(x)=mlogx+n(m,,Q为常数,mQ,>0,a)八、函数模型的应用题型Oh求函数的零点【典例1】(2023上浙江温州高一浙江省平阳中学校联考期中)若不等式0.-c>o的解集为x-3<x<2,则函数y=0+-c的零点为()A.(3,0)(-2,0)B.(-3,0)(2,0)C.2和一3D.一2和3【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解卜二I,然后根据零点的定义求解即c=-6可.【详解】因为“T_C>0的解集为x-3<x<2,所以方程加r-c=0的两根分别为-3和2,且<0,-3+2=-",解得(-3)×2=-a故函数V=加+x-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),则与X轴的交点坐标为(3,0)和(-2,0),所以零点为-2和3.故选:D.【典例2】(2023上吉林长春高一汽车区第三中学校考期中)已知/(x)=+m+的零点为1和3,则m+n=.【答案】-1【分析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】因为/(x)=+MX+”的零点为1和3,即x?+Mx+=0的两根为1和3,-m=1+3in=-4所以12,解得.,n=1x3=3所以,+=3-4=-1,故答案为:-1【规律方法】函数零点的求法:(1)代数法:求方程")=0的实数根.(2)几何法:与函数y=(x)的图象联系起来,图象与X釉的交点的横坐标即为函数的零点.题型02:根据函数零点求解析式中的参数【典例3】(2023下湖南株洲高一统考期中)己知函数/*)=1。8”(2%-1)-1的零点是2,则。=【答案】3【分析】由"2)=0列式求解.【详解】由题意得f(2)=log03-l=0,解得。=3,故答案为:3【典例4】(2022上广东佛山高一校联考期中)已知二次函数/(x)有两个零点-3和1,且有最小值-4.则/(x)的解析式为.【答案】/(x)=+2x-3【分析】根据待定系数法可求出结果.【详解】因为二次函数/(x)有两个零点-3和1,所以可设)=(x+3)(x-l)(“HO),又因为力有最小值-4,所以0>0,因为/(x)=2+2ar-3。,所以±"(-3")一(24)=T,4a所以=l,/(x)=+2x-3.故答案为:/(x)=x2+2x-3题型03:根据函数零点判断函数值的符号【典例5】(2021上河南濮阳高一统考期末)已知。是函数/(x)=0S-lo&x-f的零点,若0<<0,则()A./(x0)=°B/()>C./(xo)<0D./(.%)的符号不确定【答案】B【解析】根据题意判断得函数的定义域,分析函数/(x)的单调性,由函数零点的定义可得/()=0,利用单调性即可判断出g)>g).【详解】函数的定义域为(0,+8),已知函数y=0.5y=-Iog2X,y=-/在(0,+巧上是减函数,所以可判断函数/(x)=0S-1幅-在(0,+R)上是减函数,又因为。是函数/(x)=05,-1脸-的零点,即/()=0,根据单调性可得,当Oe。<。,y¼)>)=0故选:B.【典例6】(2018上北京海淀高一北京市十一学校校考期中)已知/是函数/(力=2'+'-1的一个零点,若xe(-l,与),x2(x0,+),则()A. /(x1)>0,(x2)<0B /(x1)<0,(x2)>0C. /(x1)>0,(x2)>0D- /(x1)<0,(x2)<0【答案】B【分析】由已知得出/(%)=。,分析出函数/(x)的单调性,进而可判断出/(3)、/()的符号.【详解】由于函数y=2'、y=-l在K上均为增函数,所以,函数/(x)=2'+x-l在夫上为增函数,因为玉(T,与),x2(x0,+),(x1)<(xo)=O,f(x2)>f(xo)=0.故选:B.题型04:零点存在性定理的应用【典例7】(2023上北京西城高一北师大实验中学校考期中)已知函数y=(x)图象是连续不断的,并且是R上的增函数,有如下的对应值表X1234y-0.24以下说法中错误的是()A./(0)<0B.当x>2时,/(x)>0C.函数/(4)有且仅有一个零点D.函数g(x)=(x)+x可能无零点【答案】D【分析】根据函数的单调性,结合表格中的数据判断AB;利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A,因为函数y=(x)是R上的增函数,所以/(0)<(l)=-024<0,正确;对于B,因为函数y=(x)是RI二的增函数,所以当x>2时,/(x)>(2)=L21>0,正确;对于C,因为函数y=(x)是R上的增函数,/(l)<0M(2)>0,l!J/(1)/(2)<0,所以函数/(x)有且仅有一个在区间(1,2)的零点,正确;对于D,因为函数g()=()+连续,Ja(o)=(o)<()<o,g()=()+>o,即g(0)g<0,所以函数g(')=(x)+x在区间(0)上一定存在零点,错误,故选:D.【典例8】(2023上山东日照高一统考期中)已知函数/(x)的图象在区间1,3上连续不断,则,"+/+/(3)=0是“/(X)在1,3上存在零点的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“/+/(2)+/(3)=0和"/(x)在1,3上存在零点的互相推出关系进行判断属于何种条件.【详解】当/(x)在1,3上存在零点时,不一定能得至U/+/(2)+/(3)=0,例如/(x)=(x-2)2,此时/(x)的零点为2,但/+/(2)+(3)=2h0,所以必要性不满足;当1)+/+/(3)=0时,若/(I)J(2)J(3)三个值中存在0,则/(x)在1,3上显然存在零点,若/(I)J(2)J(3)三个值均不为0,不妨假设/(2)(3),因为/(1)+/(2)+/(3)=0,所以/(l)0,(3)0,取等号时/(1)=/(2)=/(3)=0不满足条件,所以/>0J(3)<0,则/(3)<0,根据零点的存在性定理可知/(x)在1,3匕存在零点,所以充分性满足;所以“/+/+/(3)=0是"/(x)在L3上存在零点"的充分不必要条件,故选:A.题型05:根据零点所在区间求参数【典例9】(2024上内蒙古呼和浩特高三统考开学考试)若函数=存在1个零点位于(1,2)内,则。的取值范围是()A. (0,3)【答案】AB. (-3,3)C. -3,3D. (-3,0)【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.【详解】若函数力=2*-2-4存在1个零点位于(1,2)内,2f(x)=2x-a单调递增,又因为零点存在定理,X.0<a<3.故选:A.【典例10】(2022上山东枣庄高一枣庄市第三中学校考期中)函数/a)=-(;+用在(-1/)上存在零点,则掰的取值范围是.【答案】卜»)【分析】首先判断函数的单调性,在根据零点情况,结合端点值的正负,列式求实数旭的取值范围.【详解】/(x)=x-(g)+加为增函数-减函数=增函数,若函数/(力在(-1,1)上存在零点,则/(T)=-l-2+m<0且/(l)=l-g+m>0,解得:<m<3.故答案为:卜【规律方法】利用零点存在性定理,结合给定区间建立不等式.题型06:根据零点个数求参数范围【典例11】(2023下江苏盐城高一江苏省响水中学校考期末)已知函数/(x)=H"-N"j°,若函数g(x)=f(x)-f(-x)有五个零点,则实数。的取值范围是.【答案】(一2,0)【分析】根据X的范围,又/(x)-f(r)=0即可将问题转化为-=x-2(x0),-=x+2,(x<)共有四个零点,结合函数的图像即可求解.详解当x0时,f(x)=xx-2,l-xO,(-x)=-ax,此时f(x)-f(-x)=0=>xx-2=-ax,则X=O或一a=x2,当x<0时,/(x)=QxJU>0J()=r-2=-xx+2,此时/(x)-'(r)=Onrk+2=QX,则一=x+2,故问题转为F=IX-2(x0),-0=k+2,(x<0)共有四个零点,画出函数图像如下可知:则0<-<2=>-2<<0,故答案为:(-2,0)【典例12】(2022上浙江台州高一台州一中校考开学考试)已知点48的坐标分别为(1,0),(2,0),若二次函数歹=/+(。-3)x+3的图像与线段48有且只有一个公共点,则实数。的取值范围是.【答案】-1。<-g或=3-26【分析】结合零点存在定理以及判别式,分成两种情况进行讨论:当二次函数与X轴有两个交点时;当二次函数与X轴仅有一个交点时.【详解】当二次函数与X轴有两个交点时,如图1,因为:次函数y=(x)=2+(-3)x+3的图像与线段”有且只有一个公共点,43的坐标分别为(1,0),(2,0),W(l)(2)=l2+(a-3)+3×22+(a-3)×2+3jl<0,解得-IVa<由/=r+(a-3)+3=0,得=T,此时项=1,/=3,符合题意.由/=22+("3)x2+3=0,得=-g,此时=2,W=|,不符合题意.所以T<M当二次函数与X轴仅有一个交点时,如图2,令1+(-3)x+3=0,由A=(-3)-12=0得=3±2J,当=3+25口寸,x1=,=-3,不合题意;当=3-2J时,x,=x2=3,符合题意.综上,。的取值范围是T。<一;或=3-2>J.故答案为:-1。<-万或=3-2>J.【规律方法】已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图形一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.题型07:根据一次函数零点分布求参数范围【典例13(2020高一课时练习)已知函数/*)=3狈-1-2在区间(TI)上存在零点,则()1 1If1A.<a<1B.a>C.«<-1a>1D.tz<-【答案】C【解析】首先判断函数在(-覃)上单调,利用零点存在性定理即可求解.【详解】(x)=3"-l-20在区间(Tl)上单调且存在零点,/(-l)(l)=(-3o-l-267)(3t7-l-2)=(-567-l)(-l)<0,;>1或<一1.故选:C【典例14】(2020上高一课时练习)若方程3x+m=0的根在(To)内,则m的取值范围是.【答案】(0,3)【分析】设/(x)=3x+m,利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设/(x)=3x+*则/(T)(0)=M(M-3)<0,解得:0<用<3,即m的取值范围为(0,3).故答案为:(0,3).【总结提升】利用零点存在定理构造不等式.题型08:根据二次函数零点分布求参数范围【典例15(2023上北京石景山高一校考期中)若关于X的一元二次方程-2x+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数4的取值范围是()A.(-oo,-2)B.(2,+)C.(,+0°)D(-oo,-2)u(2,+oo)【答案】C【分析】根据一元二次方程根的分布,结合已知作出对应二次函数图象,列出不等式,求解即可得出答案.【详解】设/(x)=2-20r+4,根据己知结合二次函数性质,作图=(-2a)2-16=4(2-4)>0则有,/=5-2"0,/(2)=8-4a<0解得>"故选:C.【典例161【多选题】(2023上山东德州高一统考期中)已知函数/(刈=疗+的-1)%-1在-1,2有两个不同的零点,则加可以为()1 1A.-B.3C.-D.434【答案】BD【分析】根据/(T)=OJ(O)HO将原函数零点问题,转化为在(TO)50,2只有一解,利用塞函数性X质求解范围即可判断.【详解】因为/(-1)=机-(附-I)T=0,所以X=-I为函数/(x)=ZMX2+(m-l)x-l的零点,所以函数/(x)=n+(mT)XT在(-1,2只有一个零点,且/(函0,则加+(zw-l)-1=0即机=:在(-LO)D(0,2只有解,因为xe(-l,0)U(0,2,所以相-8,-1)="+oo,XL2)对照选项,!<!<:,3>4>?,故只有选项BD符合题意.43222故选:BD【总结提升】结合二次函数的开口方向、对称轴、单调性等,利用零点存在定理构造不等式.题型09,根据第、指数、对数函数零点分布求参数(范围)2【典例17】(2023全国高三专题练习)函数(x)=2'-。的一个零点在区间(1,2)内,则实数0的取值X范围是()A.OVaV3B.l<a<3C.l<<2D.a2【答案】A【分析】判断函数单调性,根据零点所在区间,列出相应不等式,即可求得答案.2【详解】因为函数y=2',y=-C在(0,+8)上单调递增,X2所以函数/(x)=2'-W-在(0,+8)上单调递增,X由函数=的一个零点在区间(1,2)内得1)=-MOJ(2)=3-40,解得OVaV3,故选:A【典例18】(2020上陕西渭南高三校考阶段练习)已知函数/'(x)=lnx+3x-7的零点位于区间(%"+l)("N)内,贝1=.【答案】2【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知,函数/(x)在区间(2,3)内存在零点即可得出结果.【详解】由题意可知函数,(力=1欧+3、-7在定义域(0,+8)内单调递增,易知/=ln2+32-7=ln2-l<0,M(3)=ln3+3×3-7=ln3+2>0,所以2)*(3)<0,根据零点存在定理可知,函数/(x)在区间(2,3)内存在零点,所以可得=2.故答案为:2【总结提升】注意结合幕函数、指数函数、对数函数的单调性及图像,依据函数零点存在性定理建立不等式.题型10,函数与方程的综合问题【典例19(2022下湖南长沙高一长郡中学校考开学考试)设函数(x)=max2i,4-x-2,若关于X的方程/(X)=t有三个不相等的实数解,则实数/的取值范围是.【答案】(2,4)【分析】根据函数新定义求出函数/(“解析式,画出函数/(x)的图象,利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点,根据数形结合的思想即可得出,的范围.【详解】由题意得:21-jr=4-x-2,得:t=O,x=x2,Mx2r4.|T=F7T|11Y4-x-2,2,-jr<4-22,-x0得:/(x)=-4-r-2,0<x<x2,21'x1xx2作出函数/'(X)的图像如图所示,由方程/(x)T=O有3个不等的根,得函数y=()的图像与直线V=/有3个不同交点,所以f的取值范围为:(2,4).【典例20】(2023上北京大兴高一校考期中)己知函数/(x)=H-y+2,x",对于任意正数上关于X的方程f(x)=都恰有两个不相等的实数根.(1)请判断。=0是否符合题意:(填"是"或者"否");(2)写出。的所有可能取值:.【答案】否1【分析】(1)将/(X)=上有两个不相等的实数根转化为/(X)的图象与y=无的图象有两个交点,然后结合图象判断即可:(2)分>0和质0两种情况讨论即可.fY2+2V>0【详解】当。=0时,/(x)='"一,图象如下所示:-x,x<0由图可知,当0<%<2时,/(x)=*有两个不相等的实数根不成立,所以。=0不符合题意:x2-ax+2,xa(2)当>0时,/(x)=x+a,-a<x<a,图象如下所示:-x-ayx<-a所以/(x)在-单调递减,(-aM),(dH0单调递增,所以4+=/一.+2,解得=l,3,Xi-ax+2,xa当<O时,/(%)=,图象如下所示:-X-a,x<a所以/(x)在(YoM),9上单调递减,(全+8)上单调递增,-a-a=a2-aa+2所以/Ya,无解,-a+2=02)2综上所述,4=1.故答案为:否;L题型Ih求函数零点或方程根的个数【典例21】(2023上北京高一北京十四中校考期中)函数/(x)=2-的零点个数是()A.OB.1C.2D.3【答案】B【分析】令/(x)=0求出方程的解,即可判断.【详解】令/(x)=0,即/J.=。,解得=,X所以函数f(X)=,有且仅有一个零点1.X故选:B【典例22(2023上湖北高一湖北省天门中学校联考阶段练习)已知函数/(X)=4/,当log2(-x),x<0时,方程/2(力-(/+4/(制+/=0的根的个数是()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】根据题意,画出函数/(力的大致图象,将方程根的问题转化为函数图象交点问题,结合图象,即可得到结果.详解X设/=(x),则-(/+),+。3=0,即。-4)«一2)=0,故4=0冉=02,因为故z>,G>,画出/()的大致图象,由图象可知y=/与y=()共有6个公共点,故原方程共有6个根.故选:D.【规律方法】判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点.(2)画出函数歹=x)的图象,判定它与X轴的交点个数,从而判定零点的个数.(3)结合单调性,利用()W6)V0,可判定y=(x)在(小与上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.题型12:判断函数零点所在区间【典例23(2022上吉林高一校考期末)函数/(x)=lnx+x-4的零点一定位于下列哪个区间()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(5,6)【答案】B【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.【详解】/(x)=InX+、-4在(0,+“)上为单调递增函数,又/(2)=In22<0,(3)=In31>0,故/(2)(3)<0,所以/(x)的零点一定在(2,3)内.故选:B.【典例24(2023上北京西城高一北师大二附中校考期中)函数/(x)=-x-5的零点所在的区间是()B. (1,2)A.(0,1)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【分析】利用转化法,结合数形结合思想进行判断即可.【详解】/(x)=-x-5=0=>x3=x÷5函数y=V和函数y=+5在同一白角坐标系内图象如下图所示:方面/(0)=5J=-5J(2)=1J(3)=19J(4)=55,另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个,故选:B题型13:比较函数零点的大小【典例25】(2023上广东江门高一统考期末)已知/()=JiJ-2(x)=l°g-2,(x)=x3-x-2的零点分别是。,b,cf则,b,C的大小顺序是()A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c【答案】B【分析】将函数的零点,转化为函数y=+2的图象分别与函数歹=(、y=log£、N=X3的图象交点的横坐标,利用数形结合法求解.【详解】解:函数3=ej-2,g(x)=bg:72,MX)=X3x2的零点,即为函数y=x+2分别与函数尸(、y=10g、V=Y的图象交点的横坐标,如图所示:由图可得<b<c故选:B【典例26多选题】(2023全国高一专题练习)已知函数TgVlnrl的两个零点分别为",且玉>七,贝U()1 111A.<x<-B.<x2<一%X,x1X211C.X2<<【答案】AC【分析】根据零点的性质,将问题转化为两函数求交点问题,利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性,可得答案.【详解】函数TyTlnXl的两个零点即函数HgL“=|InXl的图象的两个交点的横坐标,作出两个函数的图象,如下图:则0<<1,演>1,即o<,<,>1,故D错误;XX2由图可知闫O,且=M讣QJ2=lnx2,则IInxl<ln%2,由OVx2<1,x1>1,则Inx1-lux2,即InXl可得x<,即-!-,声,X2X2玉故A、C正确,B错误.故选:AC.题型14:求函数零点的和【典例27】(2023上重庆高一重庆十八中校考期中)定义在R上的函数/(力满足/(x)=(2-x),(x)+(-x)=0,且当Xq0时,/(x)=ex+x-l(e=2.7182818),则方程4(x)-x+2=0所有的根之和为()A.10B.18C.22D.26【答案】B【分析】由题意可知函数/(x)关于X=I成轴对称且又关于(0,0)成中心对称,分别画出函数/(x)与函数尸三在同,坐标系卜的图象,利用交点坐信天卜(2,0)对称即可求得所有根之和为18.【详解】根据题意由/(x)=(2r)可知,函数f)关于x=l成轴对称,由/(x)+(T)=O可知函数/(x)分别画出函数/()与函数y=于的图象如下图所示:关于(0,0)成中心对称,x-2由 4(x)+2 = 0 可得/(x)显然两函数图象都过(2,0),且都关于(2,0)成中心对称,易知当X=I3时,i=2.75>(13)=e,所以两函数图象在(2,0)两侧各有4个交点,关于(2,0)对称的两根之和为4,所以可得所有的根之和为4x4+2=18.故选:B【典例28】(2023上辽宁沈阳高一辽宁实验中学校考期中)己知函数y=g(x)的定义域为(YO,7)U(T,+8),且g(x-l)为奇函数,当x>T时,g(x)=2-l,则/(x)=g(x)-l的所有零点之和为()A.-1B.-2C.-3D.0【答案】A【分析】先由g(x7)为奇函数,推出g(x)关于对称,则g(x)=-g(-2r),进而求出g(x)的解析式,则/U)的解析式可求,解出根即可.【详解】因为g(-i)为奇函数,所以g(-i)关于(0,0)对称,则g(x)关于(T,0)对称,即g(x)=-g(-2-x),当x>T时,g(x)=2x2-l,当X<-1时,-2-x>-,则g(X)=_g(_27)=T2(_2_x-1=-2x-8x-7,1.Lrl/2X21,>1所以g(x)"C2crJ则/() = g() =2x2-2,x>-1-2(X+2)2,X<1因为/(X) = O2, jo 或 x>-x<-l一 2(x + 2f=0解得Kl=I或/=-2,所以演+%2=T故选:A【总结提升】注意应用函数的奇偶性、单调性、周期性,结合函数的图像判断零点的特征.题型15:嵌套函数零点问题XX2【典例29】(2023上四川凉山高一统考期末)函数/(x)=bog1_2)t2,则函数N=/(,(X)的所有零点之和为()A.0B.3C.10D.13【答案】D【分析】令f=(x),根据/0=0,求得,=0或E=3,再根据/(')=0和/(x)=3,结合分段函数的解析式,即可求解.【详解】令f=(),、t2t>2由/。得MO或K(.2)=0,所以"。或一,当r=(x)=O时,X=O或x=3,.、(x2(x>2当f="')=3时,则%=3或.(一)=3,解得所以函数y=(x)的所有零点之和为0+3+10=13.故选:D.【典例30】(2023上辽宁大连高一校联考期中)已知函数/U)=?+I"。,若函数X2-6x+8,X>1F(x)=2(x)2-(m+2)f(x)+m,且函数尸(力有5个零点,则实数m的取值范围是.【答案】加|2<m<3d4【分析】作出函数的图象,函数户(x)有5个零点等价于y=()与y=l有两个交点,所以y=()与夕=三有三个交点,结合图象求解即可.【详解】解:作出函数的图象如下:F(x)=2(x)2-(m+2)f(x)+m,且函数尸(X)有5个零点等价于(/(x)7)(2(x)-加)=0有5个解,等价于/(x)=1或/(%)=£共有5个解等价于函数y=()与y=£,V=I共有5个交点,由图可得y=()与y=有两个交点,所以y=()与y=羡有三个交点则直线y=£应位于y=l,y=g之间,或与y=2重合,所以1<欠<3或"=2=2<m<3或机=4222故答案为:w2<w<3u4【总结提升】函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,常考查三次函数与复合函数相关零点,与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.(1)换元解套,转化为f=g(x)与y=U)的零点.(2)依次解方程,令/(。=0,求h代入z=g(4)求出X的值或判断图象交点个数.2.抓住两点:(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.题型16:二分法及其应用【典例31】(2023上辽宁沈阳高一辽宁实验中学校考期中)函数/(力=1-炉+50式2,-1有零点,用二分法求零点的近似值(精确度0.1)时,至少需要进行()次函数值的计算.A.2B.3C.4D.5【答案】B【分析】取区间的中点,利用零点的存在性定理判断零点所在的区间,并比较区间的长度与精确度的大小,直到符合要求为止.【详解】至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:/(-2)=-8-4+5=-7<0,/(-1)=-1-1+5=3>0,-2-(-l)=l>0.2,-2-13取区间的中点XI=年=一=,取区间J=,的中点5,I2JX2=2=4所以受£(一右一目.取区间(一,;的中点Y .42I 24J 巧=一一11,所以与一|,一日).因为样-卜升卜0.2,(311Aj1123,16所以区间-丁的中点Y2TI28)X4=23即为零点的近似值,即函数小)的零点/,一记,所以至少需进行3次函数值的计算.故选:B.【典例32】(2023上高课时练习)若用二分法求方程2d+3x-3=0在初始区间(01)内的近似解,则第三次取区间的中点七=.【答案】IO【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.【详解】设/(x)=2+3x-3,则/(0)=-3<0,/(1)=2>0,/(0)(l)<0,第次取区间(0,1)的中点玉=g,/(;)=-2,"(g)(l)<0,"(X)的零点所在的区间为G第二次取区间(;,1)的中点七=(,<0,(x)的零点所在的区间为(;),第三次取区间佶,斗的中点_5+124JXi-故答案为:.O题型17:指数函数模型的应用【典例33(2023上四川成都高一校考期中)纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年PeUkert提出铅酸电池的容量C、放电时间/和放电电流/之间关系的经验公式:C=It,其中4为与蓄电池结构有关的常数(称为PeUkert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为15A时,放电时间为30h:当放电电流为50A时,放电时间为7.5h,则该蓄电池的PeUkert常数/1约为()(参考数据:lg2之0.301,lg30.477)【答案】B【分析】根据题意可得=L,再结介对数式叮指数弋的互化及对数运算即可求解.UoJ4【详解】根据题意可得两式相除可得fN=-,C=50x×7.5IIOJ4311lg-2Ig2-2×0.301一U所以;11r3=1r±,TiTflM=7-=»L15切以70%4J1;lgjW3T0.477-I故选:B.【典例34(2023上陕西西安高一高新一中校考期中)如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度M单位:)满足函数关系丁=1.(,6为常数),若该果蔬在6的保鲜时间为216小时,在24的保鲜时间为8小时,那么在12时,该果蔬的保鲜时间为()A. 16小时B. 24小时C. 36小时D. 72小时【答案】D【分析】根据给定条件求出解析式,再将x=12代入求值即可.,_6+Z>IIQ【详解】由题设8-e24+b=*"=五=Q=(,Z>=4In3+3In2,所以x=12时,x+Z>=-21n3+41n3+31n2=ln72,此时丁=/=72小时.故选:D【总结提升】在函数应用问题考查中,对指数函数、对数函数模型的考查已成为高频热点,既能与现代科技活动、科技成果结合,又能较好的考察学生的运算能力,也能激发学生学习的浓厚兴趣.题型18:对数函数模型的应用【典例35】L和小数记录法的数据P满足关系式L=5+lgP.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.8,则其视力用小数记录法记录的数据约为()(参考数据:W1.26)【答案】B【分析】根据表达式L=5+lgP,代入L=4.8,结合指数式与对数式的互化,即可求解.【详解】由题意知:L=5+lgP,当L=4.8时,可得4.8=5+lgP,解得IgP=-0.2,三pr=102=T=06'所以其视力的小数记录法的数据约为0.6.故选:B.【典例36(2023上上海徐汇高一统考期末)香农公式C=网。g2p+5)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大数据传输速率C取决于信道带宽印、信道内信号的平均Co功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中77叫做信噪比.根据香农公式,若当77=99,%=2000时,NN最大数据传输速率记为G;当*=9999,%=3000时,最大数据传输速率记为。2,则f÷二()A. 1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据新定义结合对数运算求解即可【详解】由题意可知,C1=20001og2(1÷99)=20001og2100故选:C.题型19:函数模型的增长差异【典例37】(2023上高一课时练习)下列函数中随X的增大而增大且速度最快的是()A. y = exB. y=nxC. y=2x【答案】A【分析】根据题意,结合对数函数,一次函数和指数函数的增长率的快慢,分析可得答案.【详解】函数y=er,函数值随X的增大而减小,当函数值随X的增大而增大时,在对数函数,一次函数和指数函数中,指数函数的增长速度最快,如图所即四个函数中,随X的增大而增大且速度最快的是是j,=e1故选:A【典例38】(2023上广东惠州高一惠州一中校考期中)随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以"从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中笫4年为预估人数,仅供参考):建立平台第X年1234会员个数V(千人)14202943依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台X(XWN年后平台会员人数歹(千人),并求出你选择模型的解析式:y=!+b(f>0),y="bg,x+s(c且1),X()y=max+n(a>Ofia1)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过h(3J(左>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求人的最小值.【答案】见解析【分析】(1)根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快,故选择模型;代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数,进而得到所求模型;(2)根据 中

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