专题06导数与函数的零点问题（练）【解析版】公开课教案教学设计课件资料.docx

XXX热点、难点突破篇专题06导数与函数的零点问题(练)【对点演练】一、单选题1. (2022河南驻马店高三期中(文)已知函数/(x)=e-hu,0<x,<x2<x3,/(x,)(x2)()<O,实数，是函数/(力的一个零点，下列选项中，不可能成立的是()A.r<B./>C.，>占D.t<3【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点的存在性定理即可求解.【详解】因为函数的定义域为(0,+8),所以/'(x)=-g<恒成立，所以/(力二b-Inr在定义域(0,y)上是单调减函数，当。<玉<工2当时，/(%)>f(w)>(w),又因为5)/(毛)/(玉)<0,/(0=o,所以，当/(3),/(2),/()都为负值，则公/用都大于，故A、D可能成立；当/&)>。，/(x2)>0,/(3)<0,则知七都小于f,七大于人故B可能成立；综合可得，/>，不可能成立.故选:C.2. (2022四川省遂宁市教育局模拟预测(理)定义在R上的奇函数/的图象关于X=I对称；且当XWo,1时，f(x)=-x2+x.则方程”(x)r+2=0所有的根之和为()A.IOB.12C.14D.16【答案】A【分析】根据题意函数为周期为4的周期函数，再根据当x0,l时，f(x)=x3-x2+x,求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.【详解】(x)为奇函数，.”r)+/(X)=0,又一(力关于直线x=l对称，J函数/(x+l)为偶函数，故/(x+l)=(-x+l),所以+4)=(x+3+l)=(r-3+l)=(T_2)=_x+2),又/(x+2)=(x+l+l)=(-x-l+l)=(-x)=-(x),所以f(x+4)=f(x),故，(可为周期函数，周期为4,当x0,l时，/()=3x2-2x+1=3-1J+1>O,所以在0上单调递增，作函数”力图象如下方程”(x)-x+2=0可化为/(x)=(-2),方程f(x)=:(x-2)的解即函数f(x)的图象与函数y=；(x2)的图象的交点的横坐标，作函数*)=(x-2)的图象，方程4(x)-x+2=0的所有实根之和为(+x5)+(2+xt)+A=4+4+2=10.故选：A.3. (2022四川省遂宁市教育局模拟预测(理)己知函数/(H=l+e*(mnx-x"+)(其中x>l,«<0)有两个零点，则。的取值范围为()A.(y,2)B.(-e2,-e)C.(-<o,-l)D.(,-e)【答案】D【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程In犬-=Iner-e-x有2个不同的解，构造函数f(x)=lnX-X(K>1),利用导数研究函数/的性质可得"=e-r,即函数)，=,与ag(x)=-皿图象在。，内)上有2个交点，利用导数求出g(X*n,即可求解.X【详解】函数f(x)=l+e%lnx-d+x)(x>l,<O)有2个零点，则方程1+eYa1nX-Y+x)=0有2个不同的解,方程l11-x"=-x-ev<=>lnx-xa=lne_*-ex，11-r设函数/(©=InX-Xa>i),则ra)=i-=L<o,XX所以函数f(X)在(l,+>)上单调递减，由f(xa)=/(e-v),得K=/,即L=-皿，则函数)，=1与y=-皿图象在(1,内)上有2个交点.aXa设函数g(x)=-(>l),则g'(x)=-1-1v=1n-1，XXJr令g'(x)v=lvxve,令g'(x)>0nx>e,所以函数g(x)在(Le)上单调递减，在(e,+8)上单调递增,故g(X)min=g(e)=Y"，a<O所以解得"P故选：D.丁+3x22,XO4. (2022内蒙古满洲里市第一中学模拟预测(理)己知/("=InX，若函数g*)=Q)?有,x>0.X三个零点，则机的取值范围为()A.-2,0uB.(-2,0)C.(OT)D.(川【答案】A【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，再画出函数图象，结合函数图象求解即可.3x(x+2),xO【详解】由题意，得小x<-2,O<x<eW,>0,/(X)单调递增,当-2vx<0,x>e时，V)<0,/*)单调递减,易知当x=-2时，/S)有极大值，极大值/(-2)=2；当X=e时，f()有极大值，极大值/(e)=，e/(O)=-2,画出函数/(X)的大致图象与直线y=m如图所示，则由图像可得,当一2m0或m=,时，的图象与直线y=7有三个交点,e所以实数m的取值范围为卜2,0卜故选：A5. (2022青海海东市教育研究室高二期末(文)已知函数/(力=/-皿"3(。一1)在p2上有零点，则。的最小值是()A.-In2B.一一21n2C.In2-1D.21n2-72【答案】D【分析】由参变量分离法可知关于X的方程f-lnx+3(-l)=0在p2上有解，令MX)=21nx-2f+i(2利用导数求出函数MX)的最小值，即为实数。的最小值.【详解】函数/(M=2Tnx+g(-l)在1,2上有零点，等价于关于K的方程f-lnx+3(T)=O在p2上有解，即=21nx-2%2+1在>2上有解.令MX)=21nx-2+(gx2),则(X)=I=2).由"(x)<0,得*<2;由/(x)>0,得g<q.则不)在;,日上单调递增，在修，2上单调递减.因为哈)=21ng-2(g)+I=g-21n2,(2)=21n2-2×23+l=21n2-7,所以Mfj(2)=5-4M2>0,则MX)mi="2)=21n2-7,即。的最小值为21n2-7.故选：D.2+X一2X16. (2022.山东德州高三期中)已知定义在-2,2上的函数/=；-若g(x)=(x)-(x+l)ln(x+l),-l<x2的图像与X轴有4个不同的交点，则实数。的取值范围是()【答案】A【分析】由gW=/a)-4x+l)的图像与X轴有4个不同的交点，转化为力与y=(x+l)有4个不同的交点，画出二者函数图像，求出f(x)与y=a(x+l)恰有3个交点的临界直线的斜率，即可求。的取值范围.【详解】因为g(x)=f)-(x+l)的图像与X轴有4个不同的交点，所以f(x)与y=(x+l)有4个不同的交点，作出二者图像如下图:当直线与F(X)相切时是一种临界状态，设此时切点的坐标为C(M,为)，则,1a = y 0 + la( + l) = ln(x0 + l)=e-l,解得 1 a = 所以切线为y=,(+),此时有三个交点；ez、fIn3In3当直线过点(2,ln3)l,g=Wzjy=V，此时有四个交点:综上所述："<L3e故选：A.e3*X<07.(2022.吉林.东北师大附中模拟预测)已知函数八#=3”,二。集”=廿+*其中e是自然对数的底数)，若关于X的方程Fa)=以/(疝-，恰有三个不同的零点占,工2，*3,且XVX2<七，则33-w+3/的最大值为()3 4A.1+In-B.1+InC.3In3D.3+In34 3【答案】A【分析】根据解析式研究/(幻、g。)的函数性质，由尸(X)零点个数知g(x)与丁二m的交点横坐标个在(0,1上,另一个在。,+00)上，数形结合可得OvmvI,g(G=g(j)=m且。<乙<1<2,r1+2=2,进而可得N=学W=打=与代入目标式，再构造函数研窕最值即可得解.【详解】由/O)解析式，在(y,01:J(X)单调递增且值域为(OJ,在(O,x)上/O)单调递增且值域为(0,物),函数/(M图象如下：所以，/(X)的值域在(OJ上任意函数值都有两个X值与之对应，值域在。,例)上任意函数值都有个X值与之对应，要使尸(X)=g(X)一加恰有三个不同的零点与“2，七，则g(x)与y=m的交点横坐标一个在(0,1上，另一个在由上图知：0<m<l,此时g&)=g(，2)="且0<%<1v2<2,力+，2=2,结合f(x)图象及芭<42<七有e'=3占=乙，3刍=，2，则N=学，=$花=上，14/所以3%一+3%3=In/1+A>=In÷2,11.O<<1,4I42-4X令人(X)=InXx+2H,O<x<l,则力'(X)=-,3X33x33当x(0,7)时"(x)>0,MX)递增；当xe(3,l)时力'3<0,递减；所以心)a=ag)=n(+l,故M-X2+3占最大值为lnq+l.故选：A二、多选题8.(2022.福建泉州五中高三期中)f()是定义在(0,+上的函数，满足/(x)+f(x)=J/(1)=1,则下列说法正确的是()A.(l)=lB.当aVl时，方程f(x)=有两个解C./(x)lD.当=l时，方程X)=。有且只有一个解【答案】CD【分析】首先根据条件求出/U)的表达式,再求导，分析/J)的图像，结合图像即求解.【详解】/()+V,W=p将x=l代入得/+尸=1,又"1)=1,解得/'=0,故A错；令g*)=MX%),g,M=f(x)+xf,(x)=-,则g(x)=lnx+z,/为任意常数.g=，=f=l.g(X)=InX+1.X-、InX+1/W=.X°,、_："一"n"+l)_lnx，当X£(0,1)时，八幻0J。)单调递增，当Xt(LM),/'(©v。，f()单调递"")=P=减Ja)在X=1处取最大值1.作/(X)图如下：则方程“x)=有两个解，即y=与F(X)的图像有两个交点，0v0<l,则B错误；由上图可知，/(x)l,C正确；当=1时，N="与，。)的图像有一个交点，符合题意，D正确.故选：CD三、填空题9.(江西省九江市十校2023届高三上学期11月联考数学(文)试题)已知函数/(x)=e'-av2有三个零点，则实数的取值范围是.22【分析】通过分离参数得上=,研究函数g(x)=1的单调性，极值点，零点，从而得到其大致图像，则得aee到的范围，解出即可.a【详解】当=0时，此时/(X)=e、，显然/(x)无零点.当0时，/(x)=0得-=令g(x)=1,(x)=-,分别令/(x)>0,(x)<0,ee前者解得0vx<2,后者解得x>2或XV0,故g(%)在(y,o),(2,+8)递减,(0,2)递增.故g(力的极小值为g=O，极大值为g(2)=4,令g(x)=0,显然分母炉>0,则分子f=o,X=O,则g(力有唯一零点0,故答案为：。-，+°010.(2022.北京十四中高三期中)已知函数/(x)=k'+"x若。=0,则函数/()的零点有个；2x,x<a若存在实数小，使得函数y=)+w有三个不同的零点，则实数。的取值范围是.【答案】2(o,-l)<j(-l,0)【分析】空1：通过分类讨论解方程判断零点个数；空2：根据题意可得y=F(x)与y=-m有3个交点，在同一坐标系作出y=g()与y=2的图象，分类讨论结合图象分析求解.【详解】空1：若=0,则函数/(力=；+3："°,2x,x<0令X)=0,则有：当x0时，-x3+3x=x(3-)=0,解得X=O或x=J或x=->(舍去)；当KVO时，2x=0,解得X=O(舍去)；故函数/(x)的零点为0,#,共2个.空2：对于函数g(x)=3+3x,贝J(x)=-3x2+3,令g'(x)>O,则-IVX<1g(x)在(Tl)上单调递增,在(-oo,T),(l,+oo)上单调递减，且g(l)=2,g(T)E2,令y=(M+帆=°，则f()=-m,由题意可得：y=f()与丁=一机有3个交点，如图，在同一坐标系作出y=g()与y=2%的图象，则有：当av1时，存在机，使得y=(x)与丁=一机有3个交点，即av1成立；当=-l时，y=f(x)与y=n至多有2个交点，即=-l不成立；当-1<”1时，存在加，使得y=f(x)与'=一根有3个交点，即-l<vl成立；当1时，y=(x)与y=一小至多有2个交点，即。1不成立；故实数。的取值范围是(-,-1)=(-LO).故答案为：2：(-,-1)u(1,0).【冲刺提升】一、单选题qxr>1. (2023陕西西安高三期末(理)已知函数“X)=；-n,若函数g(x)=f()-f(x),则函数g(x)的3x,X<u零点个数为()A.1B.3C.4D.5【答案】D3x-et,x>0【分析】本题首先通过函数奇偶性求出g(x)=<0,x=0,再利用导数研究其在(O,+R)上的零点个数即可.ex+3,<O【详解】当x>0时，-XVO,/(-x)=3x当v时，T>0,f(-x)=ex3x-ex,x>0g(x)=(r)-/(x)=,。，工=0,e-*+3x,x<0g(r)=/(X)-/(T)=-g*),且定义域为R,关于原点对称，故g(x)为奇函数，所以我们求出彳>0时零点个数即可，g(x)=3x-ex,x>0,g(x)=3-ex>0,令g'(x)=3-e*>0,解得OVXVIn3,故g(x)在(0,ln3)上单调递增，在Qn3,+oo)单调递减，且g(ln3)=31n3-3>0,而g(2)=6Y<0,故g(x)在。n3,2)有1零点,5个零点,故选：D.错误的是()A. X1 >-1C. xi+x2 <02. (2022福建福州三中模拟预测)已知a>l,3,£,七为函数f(x)="-封的零点,x1<x2<x3,下列结论中B.若2=占+七，贝!巴=忘+1“2/2D.a的取值范围是1,胸【答案】C【分析】作图，将/(力="-%2看作函数g(x)=，与函数MX)=X2的交点，根据函数的单调性逐项分析即可求解.【详解】/()="-2可以看作函数g()="与函数Mx)=X2的作差组成，作图如下：对于A,由草图可知：XVO时，g(x)=a单调递增，NX)=X2单调递减，故存在唯一的交点为，考虑：X=-I时，g(-l)=vi,(-1)=1,.(-l)>g(-l),ax1 =x12(x1<0) 对于 B, ax2 =x(x2>0) a3 = xj (3>0)当X=O时，g(0)=l(0)=0,(0)<(0),-1<xi<0,A正确;X=21og.(rJ,两边取对数得：x2=2ogax2当=2logflX3由条件2w=X+%3可得：41og0a=21og(-x1)+21og0x3,:.x；=-x1xj,对于C,当XWo,1时，g(x)>l,Z(X)1,.g(X)-Z(X)没有零点，即%2>1,+w>0，C错误;联立方程消去为得豆-2-1 = 0X2 J x2并且色。,解得,B正确;对于D,由于/(x)在XVo时存在唯一零点，若/(x)存在3个零点，必有>0,W>0，考虑当x>0时，M=V必有2个解，两边取自然对数得;dno=21nx,构造函数：hx)=xna-2nx,即力(力在x>0时必有2个零点，求导：W'I2Ind"-j),令"(x)=0,则有=3,Zl(X)=Ina-=InnXX当x>0时,(x)>O,(x)单调递增，当“V/时，Z(x)<O,hx单调递减,.在x=%时，hx)取得最小值，(x)有2个零点的充分必要条件是(无)<0,22-即2-2ln盛<0,CIe.D正确;故选：C.3. (2022天津高三期中)己知定义在R上的函数/(力=<In X, X > 1,若函数g(x) = f (力+ "比恰有2个零点,则实数山的取值范围为()A. (-,T) JOJ!"h°C.(V,B. (-,-l)jOUJJD. GT)J0U(l,2)【答案】D【分析】把函数g()=()+"比恰有2个零点转化为y=f(力和N=一6有两个交点.利用图像法解.【详解】因为函数g(%)=)+皿恰有2个零点,所以y=f()和y=一侬有两个交点.lnx,x> 1因为X=O时，y=()和y=-侬相交，所以只需y=f()和y=-侬再有一个交点.InX,X>1./(X)=-X2+x,0<xl,2-X,X0当0时，若f(x)=x2-x与丁=一式相切，则有f-=-式的判别式A=W-If-O=O,此时m=l.当OVX1时，若f(x)=-f+x4jy=nr相切，则有-产+无=_小的判别式=W+)2一o=o,此时6=当x>l时，若f(x)=lnx与y=mr相切，设切点为(0力).b - -ma则有<b = ln ,解得:1- = -m所以要使函数g(x)=f(力+，加恰有2个零点，只需TWV-I或<一切<1或一m=0,解得：e-<m<一一或m=O或0>1.e故选：D二、多选题4. (2022广东深圳实验学校光明部高三期中)己知函数f(x)=d+l,则()A./O)有两个极值点B./(x)有三个零点C.点(。,小是曲线)，=/(幻的对称中心D.直线y=2x-l是曲线y=(x)的切线【答案】AD【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/V)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，(x)=3x2-1,令第x)>0得>乎或不<一乎，令(X)<O得-3VX<3,33所以/在(-8,-亭)，(J,+)上单调递增，(-¥，孝)上单调递减，所以x=士*是极值点，故A正确；因一4)=1+爷>0,八4)=1一竽>o,/(-2)=-5<0,所以，函数f(x)在F,-jJ上有一个零点，当x9时，/(x)y>o,即函数力在(,+8)上无零点，综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；令人(幻=x3-x,该函数的定义域为R,(-x)=(-x)3-(-x)=-X3+x=-A(),则人。)是奇函数，(60)是Aa)的对称中心，将力(X)的图象向上移动个单位得到/(X)的图象，所以点(0,1)是曲线y=()的对称中心，故C错误；令r(x)=3x2-l=2,可得X=±l,X(D=(-1)=1,当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1,当切点为(TI)时，切线方程为y=2x+3,故D正确.故选：AD.5. (2022广东.普宁市华侨中学高三期中)关于函数f(x)=e'+sinx,x(r,o),下列说法正确的是()A.当=l时，/(x)在(OJ(O)处的切线方程为2x-y+l=0B.当。=1时，/(“存在唯一极小值点/且一1<(o)<0C.对任意。>0,/(%)在(-兀物)上均存在零点D.存在<0,/(力在(-,也)上有且只有一个零点【答案】ABD【分析】对于A选项，直接求出切线斜率利用点斜式写出方程即可判断正误.对于B选项，利用二次求导得了'(X)单调性，再利用零点存在性定理确定出X。所在区间.对于c,D选项，转化为对于y=。与MX)=-二图像交点情况的判断.Sinx【详解】对于A选项，当a=l时，/(x)=er+sinx,(-,+o>),故f(0)=l,切点为(0,1).又f'(x)=e'+8sx,(0)=2.则切线方程为yT=2(x-0),gJ2x-y+l=0,故A正确;对于B选项，4=l时，,(x)=e'+cosx,令/'(x)=g(x),则/(x)=e，一Sillx.当x(-,O)时，0et>O,sinx<O,则g'(x)>O.当x,y)时，,(x)=ev-sinxev-lO,故/'(x)=g(x)在(-,+)上单调递增,有fU½4÷*s又4%Aa故广(X)在(-兀，÷oo)上有唯一零点，结合r(x)在Gm+8)上单调递增得儿1)存在唯一极小值点A0,且X(Ie("V,"),则,(x0)=»得eAb+Cosx0=One"=-cosx0,则/()=e"+sin/=sin%-cos”五SinGo-J又因XOG卜全-S则与一:G卜元,一千)，得T<(%)<0,故BlE确.对于C选项，f(x)=ex+asinx,x(-,+),令/("=。，则e'+sinx=O,当X=反伏>一1旦人Z)时，显然没有实根，故XWE(Z>-1且&Z)则叫一工，令MX)=-且，有“(x)=e2,sinxSinXSilrX令"(x)=0,得x=j+E(&-l且RZ),在卜才+2E,2e（2Ee+2也卜A0,ZZ）上单调递增，在（：+2E,+2it+2,y+2jlj（ZO,AZ）上单调递减，MX）的极小值为小学+2可二小手2以之缶-与（AO,ZZ）,妆x）的极大值为/2（：+2"）二"+2以£缶：0（ZO,ZZ）,故当j,缶寺）时，y=（x）=-的图像没有交点，即/（X）在（-兀,+8）上没有零点，故C错误;对于D选项，由C选项分析可知，存在<0,使得/(x)在(-私+8)上有且只有一个零点，此时=_技匕故D正确，故选：ABD.三、填空题6.(2022安徽合肥市第十中学高三阶段练习)设定义在R上的函数M满足,(x)+f(x)=3x2e-,且/(0)=0,函数g。)=/。)-%有且只有一个零点，则2的取值范围为【答案】(-,0【分析】根据已知等式，结合导数的运算公式、函数零点的定义，利用导数的性质、转化法进行求解即可.【详解】f(x)+f(x)=3x2ex=>f,(x)+f(x)e=3x2,设函数Kr)=/(x)e)即/X)=r(xAe'+(x)e'=32,所以h(x)=X3+m,因为/(O)=O,所以力(O)=O,即。'+m=。=/W=0,即力(X)=X3,于是有h(x)=/(x)e*=x3=>/(X)=er,所以f()=32e-x-r=-X2(x-3)e-x,当x>3时，,。)<OJa)单调递减，当0vx<3时，/(X)>OJ(x)单调递增，当ArVO时，'CO>OJ(x)单调递增，当f+8时，y0,当XfYO时，y0,函数g*)=(x)M有且只有一个零点，即方程g()=f()=o有个实数根,即函数y=()的图象与直线y=%有一个交点，如上图所示：所以&40,因此的取值范围为(-,0,故答案为：(-,07. (2022北京汇文中学高三期中)己知函数/(X)=/一贴，给出下列四个结论：X函数”幻是奇函数；函数/(X)在(F,0)和(0,+8)上都单调；当x>0时，函数.y(x)>O恒成立；当XVO时，函数/*)有一个零点.其中所有正确结论的序号是.【答案】【分析】由奇偶性的定义可判断；结合导数可判断函数的单调性，进而可判断；结合函数的单调性可求当x>0时函数的最小值，比较最小值与O的大小关系即可判断；由-1)>(),/(T)<0结合函数的零点存在定理可判断.【详解】由题得，/(力的定义域为(y,o)u(o,+8),“)=(r)2卫二4幽，-XX且f(x)+(r)=2f工0,所以/(%)不是奇函数，故错误;2 Inx C.',x OXX当>0时，/(H = 2一寸,则r(力=2x-上蝮=2广+E±-令力()=2d+lnx-1,则Ml)=I>0,XXh(g)=ln-»所以存在用e(J)J，使得MXo)二0，所以当x(O,o)时，f(x)<O,/(x)是单调减函数;当x(0,内)时，fx)>0,/(x)是单调增函数，所以错误；由可知，当X=Ko时一，/(x)在(。，田)上有最小值，11,2x+lnxo-l=0,( 1 、(界所以*我因为"%)=七*一(243片一：,则IVE<1,即<3*v3,所以34一,=也二l>o,22MXO所以当x>0时，f(x)>O恒成立，故正确;CW,“、2ln(-x)、CI-In(T)2x3-l+ln(-x)当XVO时，/(x)=x2一一f,(x)=Ix-L=p-A_L1令g(x) = 23-l + ln(-x),则令g'(H = 6f + 1亨=0,解得“<x<O时,g'(x)<O,则g(力单调递减;g'(x)>O,则g(x)单调递增;所以当时,卜<0,所以一(“)在HT)故答案为：内有一个零点，故止确.-l + ln 341-ln6<0,贝IJra)<0,g(Hmax=且所以/(元)在(,0)上单调递减，由/(l)=l>O,/四、解答题138. (2022河南驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文)已知函数/(r)=5nx-f-+求/(x)的单调区间；若关于X的方程/(%)=-#T在42上有实数根，求实数0的取值范围.【答案】(D/W在(0，；)上单调递增，在(；，+8)上单调递减."311(2)-+-In2,3In2'|_822J【分析】(1)由导函数的正负，确定原函数的单调区间.(2)方程在区间上有实数根，转化为对应的函数在区间上有零点，利用导数研究单调性即可.【详解】(1)函数/(x)=:lnx-f-+*定义域为(0,)，(x)=-2-=4v3+1*222x22x/")>0,解得0<<1,r(x)<O,解得x>,/（x）在（°，；）上单调递增，在g,÷）上单调递减.（2）/（幻=彳/T在卜上有实数根，即3垢工一3/31+°=0在1,2上有实数根，设8（元）=3111“一了-3+4=°卜£9），n,z,112xx+1则/（幻=丁7十一-，2x22xg'（x）>O,解得:%<g,g'（x）<0,解得;<x<2,g（x）在上单调递增，在（2上单调递减，T=-,n2-+»g；=_；ln2_j+,g（2）=n2-3+g（2）-g（；）=Tln2M（）,g（%）在：.2上最大值为g4=-4ln2-+,最小值为g（2）=:ln2-3+,.4J2yZo2r_-1112-+0CI9R311g（x）=O在£2上有实数根，有J,解得m+.ln23-gln2,-ln2-3+a082212311实数的取值范围为-l112,3-ln2oZZ9.（中学生标准学术能力诊断性测试20222023学年高三上学期11月测试）已知函数/（力=#一+'，g（x）=ln-.若直线y=-+人与曲线y=f（）和y=g（）都相切，求实数。的值；（2）设函数MX）="XHga）J/区一"（到,若函数y=（力在（°，+8）上有三个不同的零点的，x?，与，且x1<x2<x3,求证：x3=l,l<x1+x2<ti.【答案】（l）a.e;C<-V（2）证明见解析.【分析】（1）根据切线的方程及导数的几何意义，列出方程求解即可：（2）分析f（x）,g（x）的正负及单调性、变换趋势,确定力的零点所在区域及曰=1,由AX2为/*）在（0,1）上的两个零点，再由零点的分布确定求用+出的和.【详解】(1)r(x)=x2-,g'(x)=q,令f'(x)=-,得X=0,所以直线y=-奴+b与曲线y=f()相切于点(0+),得6=看，设直线y=-以+'与曲线y=g(X)相切于点(%,%),1 1.1Iill则一F="且一。"+Ti=In丁，所以M=J,a=e下，入0,4人Ov<2)由题意得Mx)=博二优制，g()在(0收)上有唯一零点1,当XV-I时，f(x)=-x3-ax+-<-x2-ax+,v7312312由二次函数的性质可得到，必然存在me(r0,T)使得-gf-av+e<0,故¼)<0,因为/(o)=>o,所以存在(小。)，使得加0,所以/(%)在(田，。)上至少有一个零点，在(。，田)上至多有两个零点，因为MX)在(°,÷0°)上有三个不同的零点，所以1为Mx)的零点，不是/()的零点，进而g=0</=a+?即”，因为当Xw(L+)时，g()<O,所以力()在(l,+)上无零点，在(0,1)上有两个零点为，2，所以当=1,因为当X£(0,1)时，g(x)>O,所以“X)在(0,1)上有零点为，因为/(0)=>0,/=3於0,所以/(x)在(0，1)上存在极小值/()v,由r(x)=2-a,得r(%)二片一a=0,ij=(0,l)/(*)=/(6)=g(q_aG+卷=|(利3+方0，所以(<"卷，设方程gx3-ar+卷=g(x一芭)(x-%2)(X-X4)，则x1+x2+X4=0,124=-i，xx2+x2x4+4x1=-3a,所以西天(演+)=W，xx2(x+x2y=-3a,设f3+%，则/J=3(Ui4r144J因为卬(f)=产一在(O,÷a0递增，且卬=',所以pi<l+2<tl.【点睛】关键点点睛：本题通过分析函数/(x),g(x)的特点，确定出MX)的零点分别来源于/(x),g(x)零点及所在区间是第难点，也是关键点，当确定不，W是/(外在(OJ)上两个零点之后的求和是第二个难点，也是本题求解的关键点之二，方法比较独特，不容易想到，实属难题.10.(2022河北模拟预测)己知函数/(x)=e;or,R.求“v)的极值；(2)F(x)=f(x)+ax+sinx-bx-l,当L,6<2时，讨论户(%)零点的个数.【答案】当。0时，/(x)无极值：当。>0时，”力有极小值O(ITm),无极大值(2)2个零点【分析】(1)根据题意，求出函数的导函数，对导函数的正负进行分类讨论即可求解；(2)先对函数尸(%)求导，令g(x)二尸(耳，对的取值范围分类讨论，利用导数的正负求出产(力的单调性，由零点存在性定力判断零点个数即可.【详解】(1)/(力的定义域为R,且/'(x)=e'-.当0时，/'(x)0恒成立，/(尤)在R上单调递增，无极值，当白>0时，令<x)>0,得x>ln;令/(x)<0,得<lno,所以在(y,ln)上单调递减；在(Ina,+)上单调递增；/(%)在X=na处取极小值f(ru)=a-na'),无极大值.综上所知，当。0时，/(x)无极值；当>0时，/(元)有极小值”(17n4),无极大值.(2)KJF(x)=er+sinx-zx-l(x/?),所以7'(x)=e*+coSlV-6,4,=F,(x)=er+cosjr-Z?,则,(x)=e'-sinx.当x万时，由lb<2,-bxb,所以E(x)eX+sinx+；l:>乃一l-l>O故尸(力在(口,一句上无零点.当x0,+)时，,(x)=e'-sinxl-sinxO,尸'(力在0,用)上单调递增；F(x)(0)=2->0,"(x)在0,”)上单调递增，F(x)F(O)=O,/(%)在0,+R)上有唯一零点X=O,当x(-乃,0)时，SinX<O,g'(x)=e*-SinX>0,F'(x)在(一肛0)上单调递增，F(O)=2-6>0,(一%)二尸一人一1<0,存在fw(r,0),使F(E)=0,当x(-4")时，尸(力单调递减；当x(f,O)时，尸(力单调递增;又vF(Tr)=e-ff+te-l>0,F(r)<F(0)=0;.尸(力在(f")上有唯一零点，在(f,0)上无零点，即尸(%)在(一肛0)上有1个零点.综上，当l6v2时，函数尸(%)有2个零点.11.(山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题)已知函数/(x)=InX+cosx.证明:(D()在区间(Ow)内存在唯一极大值点；(2)(x)有且仅有唯一零点.(参考数据：sine0.4108.ln1.145)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)由题可得函数尸(力在区间(0，£|单调递减，根据零点存在定理及导数与函数的极值的关系即得;(2)分xw(O,ao),XW(XO,',x,e,x>e讨论，利用导数研究函数的性质结合零点存在定理即得.【详解】(1)由题可得r(x)=-7inx,设g(x)=/'(X)=T-sinx，贝Jg'(r)=-B-cosx,当ToS时,(x)<0,/")在区间(0.)单调递减，又因为广=ITinl>0,r图=»<。,由函数零点存在定理，r()在区间(I,存在唯一零点%,当x(0,%)时，fx)>0,当Xe0，/)时，,(x)<0,所以函数/(x)在区间(0卷)存在唯一极大值点不；(2)(i)由(1)当x(0,*时，fx)>0,/(x)单调递增，/=-+cos<0,/(l)=sl>0,所以/(%)在区间(。，%)上有唯一零点；(ii)当XeIT时，(x)<0,/(x)单调递减，/=l110,所以Fa)>0,/(x)在区间(XOe内不存在零点；(Hi)当x>e时，/(x)=l11.r+cosx>lne+cosx0,所以/(%)在区间(e,+8)内不