专题12.1概率、条件概率与全概率公式【解析版】.docx

专题12.1概率、条件概率与全概率公式【核心素养】1 .考查简单排列组合计算及古典概率的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.2.结合独立性考查条件概率的计算，凸显数学运算及数学应用的核心素养.知识点一）样本空间和随机事件（1）样本点和有限样本空间样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用3表示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用。表示.有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果31,32,，11,则称样本空间Q=al,2,sn为有限样本空间.（2）随机事件定义：将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件.表示：大写字母A,B,C,.随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.知识点二事件的关系和运算含义符号表示包含若事件4发生，则事件8一定发生B三A（或46）相等事件B包含事件A,事件A也包含事件8A=B并事件（和事件）事件A与事件B至少有一个发生4UB（或4+3）交事件（积事件）事件4与事件8同时发生ACiB（或AB）互斥（互不相容）事件4与事件8不能同时发生ACB=0互为对立事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生AUB=f且力3=0知识点三古典概型（1）具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限性：样本空间的样本点只有有限个:等可能性：每个样本点发生的可能性相签.(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样木空间0包含个样本点，事件4包含其中的h个样本点，则定义事件力的概率尸(N)=K=她.nn()其中，和(。)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.知识点四概率的基本性质性质1：对任意的事件/,都有PQ)20.性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=I,尸(=0.性质3：如果事件/与事件8互斥，那么P(AUB)=P（八）+P(B).性质4：如果事件4与事件8互为对立事件，那么48)=1PQ),PL4)=1-P(B).性质5：如果那么PQ)WP(B).特别地，对任意事件力，因为。口力与。，所以OWP(X)WL性质6：设力，8是一个随机试验中的两个事件，我们有PQUBI=P（八）+P(B)-P(4GB).显然，性质3是性质6的特殊情况.知识点五事件的独立性(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P（八）P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.必然事件。，不可能事件。都与任意事件相互独立.(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.知识点六频率与概率(I)频率的稳定性一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件力发生的频率工(4)会逐渐稳定王事件/发生的概率Pa),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用：可以用频率以力)估计概率P（八）.知识点七条件概率1 .条件概率定义一般地，当事件3发生的概率大于0时(即尸(8)>0),已知事件里发生的条件下事件4发生的概率，称为事件概率表示P(AB)计算。(4|8)=?C0',公式2 .条件概率的性质(1)O<P(51)1;(2)/W)=I;(3)如果B与C互斥，则P(BCA)=P(BA)+PCA).3 .【两点说明】(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么?(6)"84);(2)已知力发生，在此条件下8发生，相当于彳B发生，要求?(6|4),相当于把Z看作新的基本事件空间MAB)计算AB发生的概率，即P(BM)=或绚=2Ig="煦.妫尸知识点八全概率公式()P(3)=P(4)P(BM)+P()P(3)；(2)定理1若样本空间O中的事件4,A24满足：任意两个事件均互斥，即？Mj=0,3尸1,2，的;4+小+.+4=0：P(4)>0,/-1,2,，n.则对0中的任意事件从都有8=8+12+-+84,且P(8)=£p(84)=£p(4)P(5|4).知识点九)贝叶斯公式(1)一般地，当0VP(I)Vl且P(8)>0时，有P(B)_PQ)Zw)P（八）P(BlA)+P(A)P(BA)(2)定理2若样本空间。中的事件4,42，4满足：任意两个事件均互斥，即&=0,i,/=1,2，的*4+心+.+4=0；1尸(4)>0，/=1,2则对0中的任意概率非零的事件8,有*ImP(4)P(B14)°(4)尸(8同)r(Afljtf)n.P(B)y(4)P(84)【拓展】贝叶斯公式充分体现了P(AlB)fP（八）,P(B),P(BA)tP(BA)f尸(力5)之间的转化.即尸(4|8)=口她,P(B)P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P（八）fP(8)=P(4)P(5J)+P(I)P(8|彳)之间的内在联系.常考题型弱析/题型一：有限样本空间【典例分析】例11.(2022上高二校考单元测试)有下列事件：连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；异性电荷相互吸引；在标准大气压下，水在1。C结冰；买了注彩票就得了特等奖.其中是随机事件的有()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据事件的知识求得正确答案.【详解】是随机事件，为必然事件，为不可能事件.故选：B例12.(2023上上海闵行高二校考期末)将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为。和6,设事件/：“+6是3的倍数"，事件8：“"+b=8",事件C3和b均为偶数写出该试验的一个等可能的样本空间,并求事件A发生的概率；求事件B与事件C至少有一个发生的概率.【答案】样本空间Q见解析，a力)=；(2)11.36【分析】(1)列举法写出样本空间C，占典概型的概率求法求事件力发生的概率;（2）列举由犷件8+C的基本小件（d6）,即Ur求犷件4与多件C至少有个发生的概率.【详解】（1）如下表格，行表示明列表示6,a+h123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格知：样本空间中基本事件(明力有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36种；事件A的基本事件(%b)有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共有12种；121所以PP)=S=9363(2)事件8的基本事件SM有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共有5种;事件C的基本事件()有(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共有9种;所以，事件5+C的基本事件本方)有(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(5,3),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共有11种，所以尸(8+C)=J.36【总结提升】确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件.(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.【变式训练】变式11.（2023上新疆高二八一中学校考阶段练习）对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点称为（）A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件【答案】C【分析】列出试验中的样本点数，即可求解.【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1,2,3,4,5,6,所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，故选：C.变式12.（2023上河南信阳高二潢川一中校考阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面"为事件A,“向上的面至少有一枚是正面"为事件3,则有（）(1) A=BB.C.AcBD.A与8之间没有关系【答案】C【分析】根据题意，结合列举法求得事件A和货件6,进而得到两中件的关系，得到答案.【详解】山同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为。=（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）,其中事件/=（正，正），事件8=（正，正），（正，反），（反，正）,所以jUB.故选：C.题型二：随机事件的关系与运算【典例分析】例21./=两次出现的点数相同,事件8=两次出现的点数之和为4,事件C=两次出现的点数之差的绝对值为4,事件。二两次出现的点数之和为6.用样本点表示事件CCO,AkjBx若事件E=（l,3）,（1,5）,（2,2）,（2,6）,（3,1）,（5,1）,（6,2）,则事件E与已知事件是什么运算关系？【答案】Crw=（1,5）,（5,1）,4U8=（1,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）（2）E=5UC【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；（2）由事件E,结合已知事件4、B、C。求解即可.【详解】由题意得，事件4=（1,1），（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,骅件5=(1,3),(2,2),(3,1),事件C=(l,5),(2,6),(5,l,(6,2),事件O=(l,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,l).则CnO=(1,5),(5,1),JB=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)；(2)由(1)知，事件8=(1,3),(2,2),(3,1),C=(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),因为E=5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2),所以E=BUC.例22.(2023全国高一随堂练习)设某人向一个目标连续射击3次，用事件4表示随机事件“笫，次射击命中目标”(i=l,2,3),指出下列事件的含义：4八4；4cJ2c4；(3) AluA2;4c,c4.【答案】答案见解析；答案见解析；答案见解析；答案见解析.【分析】(1)根据事件交的定义说明；(2)根据事件的交与补的定义说明；(3)根据事件并与补的定义说明；(4)根据事件补与交的定义说明.【详解】(1)4c4表示第1次和第2次都击中目标；(2)4表示第3次未击中目标，4八4小4表示第1次利第2次都击中目标旦第3次未击中目标；(3)474表示第1次或第2次击中目标，事件第1次和第2次都未击中目标;(4) 4表示第i(i=l,2,3)次未击中目标,彳c%c4表示3次都未击中目标.【总结提升】互斥事件、对立事件的判定方法：利用基本概念；利用集合的观点.两者的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：若事件A发生，则事件B就不发生；若事件B发生，则事件A就不发生；事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.【变式训练】变式21.(2023全国高一课堂例题)抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的.设红骰子的点数是2，8="蓝骰子的点数是3.写出样本空间。，并用样本点表示事件力，B；(2)计算ZC8；计算【答案】答案见解析；(2)“红骰子是2点，蓝骰子是3点”；“红骰子是2点或蓝骰子是3点【分析】(1)用口力表示红骰子的点数是3蓝骰子的点数是写出样本空间及事件(2)结合(1),利用积事件的意义即可求解.(3)结合(1),利用和事件的意义即可求解.【详解】(1)用&力表示红骰子的点数是八蓝骰子的点数是/,则试验的样本空间是(5,(1) 5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).依题意A=(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),B=(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3).(5,(2) =(2,3)="红骰子是2点，蓝骰子是3点(3)4u8=(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)="红骰子是2点或蓝骰子是3点变式22.(2023全国高一随堂练习)设某随机试验的样本空间=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,事件/=2,3,4,8=3,4,5,C=5,6,7),求下列事件：(I)AuB;（4）Jn（BnC）.【答案】（1）2,3,4,5:（2）3,4;（3） 0,1,6,7,8,9,10）；234.【分析】（1）根据事件并的定义求解：（2）根据事件交的定义求解；（3）根据事件的补（对立事件）和交的定义求解；（4）根据事件的补（对立事件）和交的定义求解；【详解】（1）由已知ZuB=2,3,4,5：（2）由题意4118=3,4;（3）由已知7=0,1,5,6,7,8,9,10,5=0,1,2,6,7,8,9,10）,所以Nn可=0,1,6,7,8,9,10（4）由己知BnC=5,Bc=0,l,2,3,4,6,7,8,9,10,所以c8cC=2,3,4.题型三：古典概型【典例分析】例31.（2023全国统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.-B.C.D.-6323【答案】A【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：乙123456甲1(Ll)(1,2)(1,3)0,4)(B)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,305因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P=3=.366故选：A例32.(2023全国统考高考真题)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()1 1I2A.B.-C.D.-6323【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本中件有C：=6件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,所以这2名学生来自不同年级的概率为;=：.63故选：D.【总结提升】1 .用公式法求古典概型的概率就是用所求事件力所含的基本事件个数除以基本事件空间0所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P（八）.解题步骤如下：定型，即根据古典概型的特点有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型.求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间0及事件力所含的基本事件数.求值，代入公式Pa)求值.2.稍微复杂的问题，往往在于简单排列组合问题的解答.【变式训练】变式31.（2022全国高考真题（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.【答案】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.【详解】从正方体的8个顶点中任取4个,有=C；=70个结果,这4个点在同一个平面的有m=6+6=12个,故所求概率P=巴=2=三.n7035故答案为：假.变式32.（2023上陕西汉中高三校联考阶段练习）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字。的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为.纵式/ninmiIIIiiT横式：-=三三三-LJ=1 23456789【答案】【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数，利用古典概率公式计算即可.【详解】用算号随机摆出个不含数字。的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出9x9=81个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1的有IXI=I种；个位和卜位上的算筹都为2的有2x2=4种；个位和十位上的算筹都为3的有2x2=4种；个位和十位上的算筹都为4的有2x2=4种；个位和十位上的算筹都为5的有2x2=4种；共有4+4+4+4+1=17种；所以，个位和十位上算筹不样多的概率为qF=E和I8181故答案为:称O1题型四：相互独立事件判断【典例分析】例41.【多选题】(2023上湖北高二武汉市第四中学校联考期中)下面结论正确的是()A.若事件4与5是互斥事件，则力与否也是互斥事件B.若事件N与8是相互独立事件，则彳与耳也是相互独立事件C.若P(X)=O6,P(B)=0.2,4与8相互独立，那么P(4+8)=0.8D.若尸(4)=0.8,P(B)=0.7,/与B相互独立，那么?(力为=0.24【答案】BD【分析】根据互斥与对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，逐项判定，即可求解.【详解】A中，由互斥事件的定义可知，事件4,8互斥，则/与不也是互斥事件不成立，A错误；特别地，若事件43对立，则4与否是同一事件，显然不互一斥.B中，若4与8相互独立，则/与五，B与7,7与豆都是相互独立事件，所以B正确；C中，如果4与5相互独立,则尸(4+8)=尸(4)+尸(8)-尸(48)=0.8-0.12=0.68,所以C错误；D中,如果N与6相互独立,贝JP(万)=P(Z)P(X)=P(4)(1-P(B)=0.8X(1-0.7)=0.24,所以D正确.故选：BD.例42.【多选题】(2023下河南商丘高二商丘市实验中学校联考期中)设48为两个随机事件，若I3P（八）=-,P(B)=-,则下列结论中正确的是()A.若AqB,则P(ZU8)=：B.若P(4c8)=4,则4,8相互独立28C.若4与8相互独立，则尸(4d8)=D.若4与8相互独立，则P(Nn耳)二：88【答案】BD【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A：根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD：根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.【详解】A,若/=8,则尸(/U8)=尸(8)=(,A错误；133B，因为尸(4)=；,P(8)=则P(4)P(8)=j=P(4c8),B正确;248C错误;C,因为4与8相互独立，则%片也相互独立,则P(AuB)=I-P(JnB)=I-P（八）P(B)=1-D,若彳与B相互独立，则彳,耳也相互独立,则P(IC防=P(I)P=°-沙卜-讣'D正确.故选：BD【规律方法】(1)定义法：事件48相互独立u>P(n8)=P(4)P(B).(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(3)条件概率法：当尸()>0时，可用户(BM)=P(B)判断.【变式训练】变式41.【多选题】(2023河北石家庄一中校联考模拟预测)先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为X,外设事件4="x+y=5",事件4="=f,事件4="x+2y为奇数，则()ap(4)=B.P(4)=c.4与4相互独立D.4与4相互独立【答案】ACD【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断AB,根据相互独立事件的定义结合概率的求法判断CD.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为X，歹，则基本名件总数为(1#,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情形,满足任件4的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种情形，其概率。4=:故A正确:满足疗件4的有(LOOM),共2种情形，其概率P(4)=±,B不正确：18满足事件4的有(1,0(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5.2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18种情形,其概率尸(4)=g,满足事件44的有(1,4),(3,2)共2种情形，所以尸(44)=!，则p(44)=p(4)p(4),所以4与4相互独立，C正确；满足事件44的只有(U)一种情形，所以p(44)=±,因为尸(44)=p(j2)p(4),所以4与4相互独立，D正确.故选：ACD.变式42.(2023上安徽高二合肥一中校联考开学考试)一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则()A.若不放回地抽取两次，贝广取到2个红球和“取到2个白球是互斥事件B.若不放回地抽取两次，则“取到2个红球"与“取到2个白球相互独立C.若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率91D.若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是去【答案】AD【分析】对于A,根据互斥事件概念判断；对于B,互斥事件不可能是相互独立事件；对于C,有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D,使用对立犷件计算概率.【详解】对于A,若不放回地抽取两次，则取到的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球是互斥事件，故A正确；对于B,若不放I可地抽取两次，记事件4”取到2个红球，记事件6：”取到2个白球“，则力与5是互斥事件，所以尸(48)=0,而P(X)P(8)=0,所以P(4)P(8)wP(8),所以4与8不是相互独立事件，故B错误；对于C,若有放I可地抽取两次，则第1次取到红球的概率为I,第2次取到红球的概率为I,所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误；对于D,若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是I-Gj=I故D正确.故选：AD.题型五：相互独立事件概率计算【典例分析】例51.（2023天津统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为;将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.3【答案】005-/0.6【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空.【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5小4,6，所以总数为15，所以甲盒中黑球个数为40%x5=2，白球个数为3：乙盒中黑球个数为25%x4=，白球个数为3：丙盒中黑球个数为50%x6=3，白球个数为3；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球"为事件A,所以，P（j）=0.4×0.25×0.5=0.05：记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件8,黑球总共有2+3=6"个，白球共有9个，所以，?=*故答案为：0.05；|.例52.（2023上湖南常德高二校联考期中）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为若乙发球，则本回合甲嬴的概率为每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.求第3回合由乙发球的概率；求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.【答案】呜呜.【分析】（1）第3回合由乙发球包含两种情况，分别求出概率相加即可得解；（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3,分别求出概率相加即可.【详解】(1)由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢，所以第3回合由乙发球的概率为3x!+!x=g44448(2)前3个回合中甲繇的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3,33327甲赢的回合数为3的概率为：x：x：二多，44464甲赢的回合数为2的概率为44444444464271521所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为J+2=W【规律方法】1.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(1)首先确定各事件之间是相互独立的：(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积.3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.4,求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇至上至少”“至多”问题可以考虑间接法.【变式训练】变式51.(2022上湖南长沙高二周南中学校考开学考试)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、IOo分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为.57【答案】0.228/【分析】根据互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.【详解】记“这名同学答对第i个问题”为事件4。=1,2,3),则P(4)=0.8,P(A2)=O.!,P(J3)=0.6这名同学得300分包括两种情况，一是答对第一和第三两个题目，二是答对第二和第三两个题目，这两种情况是互斥的，所以尸=p(444)+p(444)=尸(4)P(I)P(4)+尸(4>%P区)=0.8X03X0.6+0.2X0.7X0.6=0.228.故答案为：0.228变式52.(2023下辽宁高二统考学业考试)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.己知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为。，;，!，且各轮问题能否回答正确互不影响.求：该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；该选手至多进入第二轮考核的概率.O【答案】袁(2)i【分析】(I)根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.(2)根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.【详解】(1)记“该选手正确回答第i轮问题"为"件4(i=l,2,3),则311事件4，A2,4相互独立，且p(4)=,P()=-P(4)=因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为(2)因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件彳和44互-反所以该选手至多进入笫二轮考核的概率为咽+4讣呻)+户(4)P(D(T><(1-(H题型六：条件概率【典例分析】例61.(2023全国统考高考真题)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()【答案】A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】同时爱好两项的概率为05+0.6-0.7=0.4,记“该同学爱好滑雪”为事件A,记"该同学爱好滑冰”为事件3,贝IJP(N)=05,/(48)=04,所以P(3lN)=丝=0.8.1 P（八）0.5故选:A.例62.(2023上江苏南通高三统考期中)现有10张奖券，有且仅有2张为有奖奖券，甲、乙两人轮流依次不放回地抽取奖券，甲先抽取，然后乙再抽取为一个轮次.则在第一轮甲、乙都未中奖的条件下，笫二轮甲、乙都中奖的概率为.【答案4【分析】设出事件，利用条件概率公式进行求解.z . P(AB) 145所以尸(同/)=r = -X v 1 7 P(A) 45 28【详解】设名件A为在第轮甲、乙都未中奖，名件8为第二轮甲、乙都中奖，128,故答案为：!Zo【规律方法】1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”在前提下(条件下)”等字眼.第3题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题.运用P(48)=P(84)P(Z),求条件概率的关键是求出尸(/)和尸(43),要注意结合题目的具体情况进行分析.2 .求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(N)和P(48),得尸(BI4)=詈鲁，这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件4包含的基本事件数),再求事件/与事件8的交事件中包含的基本事件数（48）,得P（BM）=助型n（【变式训练】变式61.（2014全国高考真题（理）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）【答案】A【详解】试题分析：记4=”一大的空气质量为优良“，B="第:天空气质量也为优良”，由题意可知P(A) = 0.75, P(N) = O.6,所以尸(51 N)=P(AB)_4P(4)又故选A.变式62.（2023上山东青岛高三青岛二中校考期中）1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，己知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是.【答案】I【分析】根据条件概率公式可求出结果.【详解】记“甲在五一假期期间值班2天为事件A,“甲连续值班为事件B,则（4）=CA；=60种，"48）=4XcA；=24种，/l、P（AB）242所以尸（M4）=AK=一,m-v17P（G6052所以己知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率为2故答案为:.题型七：全概率公式应用【典例分析】例71.（2023全国模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占20%,面包类食品占80%,奶类饮品不合格的概率为002,面包类食品不合格的概率为OQI.现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（）【答案】C【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】设事件A表示“抽到的商品为奶类饮品”，事件5表示“抽到的商品为面包类食品”，则尸(%)=0.2,0(8)=0.8,设名件C表示“抽检的商品不合格"，则P(C=0.02,P(C忸)=0.01,所以P(C=P(4)P(CI4)+P(B)P(C忸)=0.2x002+08x0.01=0.012,故选：C.例72.(2024上广东江门高三统考阶段练习)设4,8为两个事件，已知Pa)=W,P(8)=1,P(8)=万，则P(4B)=()2 132A.-B.-C.-D.-3 355【答案】B【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.【详解】由P(8)=y,P(5)=l-=y,显然P(N)=P(B)P(8)+P(3)P(小豆),23211因此W=I(川8)+不5,所以尸(川8)二葭故选：B【总结提升】利用全概率公式的思路按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A(=1,2,，n)：求P（八）和所求事件B在各个互斥事件A发生条件下的概率P(Ai