专题19计数原理与二项式定理（解析版）.docx

专题19计数原理与二项式定理一、知识速览二、考点速览知识点1两个计数原理1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案.在第1类方案中有旭种不同的方法，在笫2类方案中有种不同的方法，完成这件事共有N=m+n种不同的方法。2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤.做第1步有，种不同的方法，做第2步有种不同的方法，完成这件事共有N=%种不同的方法。3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.知识点2排列与组合1、排列与排列数(1)定义：从个不同元素中取出m(m")个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出6个元素的一个排列.从个不同元素中取出m(m")个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出用个元素的排列数，用符号M表示.(2)排列数的公式：=w(w-1)(w-2)(-w÷l)=-.n-ny.特例：当M=H时,=!=11(w-1)(w-2)321；规定：0!=1.(3)排列数的性质：4；=吮小M=J-止=一心;然=m一n-mn-m2、组合与组合数(1)定义：从个不同元素中取出?(m")个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出加个元素的一个组合.从个不同元素中取出次(相个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出用个元素的组合数，用符号C：表示.(2)组合数公式及其推导求从个不同元素中取出加个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这个不同元素中取出M个元素的组合数C：；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数；根据分步计数原理，得到4：=Cr4因此CJ翌/(")("2)(+1).A：m这里，加M,且m*这个公式叫做组合数公式.因为M=7,所以组合数公式还可表示为：特例：c=c>1nvn-my.注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式c；=(T)52)(-切+1)常用于具体数字计算,mC：=一片二常用于含字母算式的化简或证明.m(n-m)(3)组合数的主要性质：C：=CL；C："+C；M=C2.3、排列和组合的区别(1)组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.(2)排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.知识点3二项式定理1、二项式定理(1)二项式定理：(a+b)n=Can+11rt÷+Cnan-rhr+q,Z>w(wr)，通项公式：T=Crnan-rbr,表示展开式的第+1项：，(3)二项式系数：系数C：(r=0,1,2,，)叫做二项式系数，(4)两个常用的二项展开式：®(-b)n=Can-C'nan-lb÷+(-l)rCnanr÷+(-l)n)(l+x)"=l+C%+CM+C"+x"2、二项式展开式中的最值问题(1)二项式系数的性质：每一行两端都是I,即c：=c：；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即CM=C<+c对称性每一行中，与首末两端“等距离'的两个二项式系数相等，即黑=Crn.(2)二项式系数先增后减中间项最大如果二项式的塞指数是偶数，则中间一项7；的二项式系数C;最大；+1r-lt+l如果二项式的需指数是奇数，则中间两项心，GIX的二项式系数C3，c：相等且最大.（3）系数的最大项求3+云）展开式中最大的项，-一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为4,4，4+,J>A设笫厂+1项系数最大，应有；“一，从而解出，来.R3、二项展开式中的系数和问题（1）二项式系数和令=）=1,则二项式系数的和为C）+C+C+q+禺=2”，变形式C+c；+c;+q=2"-.（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令=l,b=-1,贝IJdY+C：Y÷.+（-rq=（i-r=o,从而得到：C：+Q+C：+Cf+=C：+C；+。；川+=；-2"=2"”.（3）若f（x）=anxn+aa_1xn,+an,2xn2+a1x+a0,则常数项：令X=0,得%=（0）各项系数和：令x=l,得/=°+q+/+%+%.一、求解排列应用问题的六种常用方法1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列6、间接法：正难则反、等价转化的方法【典例11（2023上贵州贵阳高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（）种表演顺序.A.A；B.C；A：C.A；A：D.A；A：【答案】C【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为A；,在确定其余6人顺序为A3由分步乘法原理可得一共有A；A：种顺序.故选：C.【典例2】（2023上重庆高三重庆一中校考阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（）A.A；A；B.A；-A；A；C.A：A；D.A；-A；【答案】B【解析】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即A；-A；A；,故选：B.【典例3】（2022上贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻）,则这样的出场排序有（）A.24种B.40种C.60种D.84种【答案】B【解析】五个元素的全排列数为A；,由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法，所以满足条件的排法有年x2=40.故选：B.【典例4】（2023湖南永州统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有走,去永州扬鞭催马运粮忙数幸福乡村振兴唱起来四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求数幸福与乡村振兴唱起来相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）.【答案】12【解析】由于数幸福与乡村振兴唱起来相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为=12种.【典例5】（2023上上海高三延安中学校考期中）从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.【答案】54【解析】若甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有A；=60种不同参赛方案.若没有甲、乙入选的不同参赛方案共有A；=6种，所以甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有60-6=54种.二、组合问题的常见类型与处理方法（1）"含有''或"不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.【典例1】（2023上河北邢台高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（A.160种B.220种C.256种D.472种【答案】A【解析】若取出的球中有1个红球，不同的取法有C；c；=112种；若取出的球中有2个红球，不同的取法有C：C；=48种.故不同取法有112+48=160种.故选：A.【典例2】（2023云南高三校联考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A.1800B.1080C.720D.360【答案】B【解析】恰有2个部门所选的旅游地相同，第步，先将选相同的2个部门取出，有C：=6种；第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有A：=120种，根据分步计数原理可得，方法有6x120=720种；4个部门所选的旅游地都不相同的方法有A：=360种，根据分类加法计数原理得，甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有720+360=1080种.故选：B三、分组分配问题的解题思路分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：完全均匀分组，每组元素的个数都相等；部分均匀分组，应注意不要重复；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：相同元素的分配问题，常用“挡板法不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；有限制条件的分配问题，采用分类求解.【典例1】（2023上江苏常州高三统考期中）将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为（用数字作答）【答案】216【解析】5本书送4人，每位同学都发到书，每本书只能给位同学，共有240种方案，甲乙两本书同时发给某一个同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学,则剩余3本书分别给3位同学，有A：=24种方案，综上，不同的分配方案数为240-24=216种.【典例2】（2023上广东广州高三空港实验中学校考期中）将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为.【答案】;【解析】将四人分成两人两组共有裳=3种,再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有3xA；=6种，又甲、乙安排在一起共有C；A；=2种，所以甲、乙安排在一起的概率为尸=9=：.63【典例3】（2023上安徽高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2门，该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有种.（用数字作答）【答案】90【解析】由题意，前三年修完5门选修课程，每学年至多选2门，则小明同学每年所修课程数为1,2,2,先将5门学科按1,2,2分成三组，有冬种方法，再分到这三个学年，有A：种不同方法，【典例4】（2023上重庆高三统考期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设4'C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.60种B.150种C.180种D.300种【答案】B【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选4民C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，三组人数为1、1、3,此时有C7=60种;所以不同的报名方法共有60+90=150和L故选：B.四、二项展开式中的特定项求解二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如笫项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：（1）求通项，利用伍+与”的展开式的通项公式+I=©；。"一"7"=。，1,2）求通项.（2）列方程（组）或不等式（组），利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程（组）或不等式（组）.（3）求特定项，先由方程（组）或不等式（组）求得相关参数，再根据要求写出特定项.【典例1】（2023上天津高三南开中学校考阶段练习）二项式d-24）6的展开式中的常数项为.X【答案】240【解析】二项式d-27）6的展开式通项为乙二C式与r-24y=（-2）V-'ON,6,XX3由6=0,得7=4,2所以所求常数项为T5=（-2）4C1=16x15=240.【典例2】（2023上重庆高三八中校考阶段练习）卜-白J的展开式的第4项是.【答案】-20【解析】由题设，二项式展开式通项为“黑尸（丫=（一IyC"W>=0,1,.,6,4x3第4项为7；=（T>c>r=-20x2【典例3】（2023下河北邯郸高三校联考开学考试）+的展开式中,有理项是.（用关于X的式子表示）【答案】28/3【解析】由题知,记（哄十七）展开式的通项为7；+“16-5一=Gx=(0r8),由与岂Z,得厂=2或8,616-1016-40所以nX=CrXk=28x,%=CK=/，故有理项是28和4.五、三项展开式中某些特定项的系数的求法（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解.（2）两次利用二项式定理的通项公式求解.（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.【典例I】（2019下贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习）/+一2）的展开式中常数项为.【答案】88【解析】卜+：-2）中的常数项为CC（一2尸+（-2）5=88,故答案为:88【典例2】（2020下山东枣庄高二枣庄第三中学校考阶段练习）在。+x+击产的展开式中，/项的系数为（）A.30B.45C.60D.90【答案】B【解析】在（l+击尸的展开式中，通项公式为力+产/1+击，.对于+），通项公式为私"二C1工尸202%,2.，八kWN,/<10.令2021A=2,可得=2+2021上故4=0,r=2,故/项的系数为C2=45,故选：B.【典例3（2022上广东深圳高三校联考阶段练习）下列各式中，不是（/+2-b）的展开式中的项是（）A.8/B.6a4b2C.-32a3bD.-24a3b2【答案】D【解析】（标+2-6）4表示4个因式/+2的乘积，在这4个因式中，有一个因式选2八其余的3个因式选所得的项为C；x2aCx（/）3=8a7,所以8/是+2。b）"的展开式中的项，在这4个因式中,有2个因式选-人其余的2个因式选所得的项为cjx（f）2XeX（）2=6%2,所以6a4b2是（6+2-的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选-6,剩下的3个因式选20,所得的项为C；x（-b）xC；（2a）3=-32。3/,所以-32b是（/+24-b*的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选-从其余的2个因式中有一个选剩下的一个因式选2%所得的项为c：×(-Z>)2×C*××C×(2)=242,所以-24/从不是(a?+2”4的展开式中的项做选:D.六、求解形如(+4(c+rF的展开式问题的思路(1)若，中一个比较小，可考虑把它展开得到多个,如(+b)2(c+力n=g2+2b+b2Xc+砌%然后展开分别求解.(2)观察(+b)(c+是否可以合并，如(l+x)S(Ix)7=(1+x)(1x)，(1x)2=(1x2)5(ix)2.(3)分别得到(a+。)”，(c+t/r的通项公式，综合考虑.【典例1】(2023上河南高三实验中学校考期中)(3x-y)(2x+y)'的展开式中，/的系数为()A.200B.40C.120D.80【答案】B【解析】(3x-y)(2x+y)S=3x(2x+>)5-y(2t+y)而(2x+4展开式的通项为如=C(2广炉，所以当左=3时，EV的系数为3xC；22=120,当上=2时，3V的系数为TXc23=-80,所以dy的系数为120-80=40,故选：B【典例2】(2023全国模拟预测)的展开式中，常数项为()A.-300B.-180C.180D.300【答案】B【解析】(2x-的展开式的通项为=(-l)'26"C"6-户=(y26C*k.当&L(T)'26-C"h为常数时，一7-=0,解得"4，则7；=(T)FxC=60：I"牝A-3rT&i=(T)T，.C"2为常数时，2_=0,解得r=2,则一F=-(-1)2×24×C=-240,的展开式中常数项为60-240=-180.故选：B.【典例3】(2023河南高三校联考模拟预测)在(l+2x)4(l-4的展开式中，按X的升鼎排列的第三项【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为/项.整个式子中一项可由0+2x)4,(I-')'的展开式中的常数项与二次项、次项与次项、二次项与常数项相乘得到，其中(l+2x)4展开式的通项为Q=C：(2力(”0J,2,3,4),(I-Xy展开式的通项为忆1=C(-x)k(k=012,3,4,5)；故所求为C：XC；(-x)2+C(2x)XC(-)+C；(2x)2XC；=-6x2.七、二项式系数的和与各项的系数和问题(1)系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法.求解有关系数和题的关键点如下：赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：一1,0,1等.求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值.求值，根据题意，得出指定项的系数和.(2)二项式系数和：(+6)"的展开式中二项式系数的和为C9+CA+0=2.【典例1】(2023浙江模拟预测)若(2x-5)"=°+%(x7)+T4j(xT)”,且奇数项二项式系数之和为512,则q+2%+3%+叫=.【答案】-20【解析】由题意，“eV,在(21-5)"=即+为6-1)+,-+仆-1)”中，两边同时求导得，2(2x5),1=tz÷(x1)÷+HCtnxl)rt,当X=2时，(-l)12=4+24+nall,Y奇数项二项式系数之和为512,2"T=512,解得：=10,.*.a+2a2+3a3+nan=(-1)'''2=(-1)'"1×2×10=-20.【典例2】(2023福建宁德校考模拟预测)(多选)若=%+(x-l)+%(x-l)2+%o(x-l)”，xR,则()A.即=1B.a1+a2+10=310C.£72=180D.1÷2a2÷33+i0l0=10×39【答案】AC【解析】令X=I得：(2x1-1尸=IF0,所以选项A正确;令x=2得：3l0=0+a1+2+0,所以q+%+Io=3°T,所以选项B错误:因为(2x-l)K)=2(x-l)+l所以心=CJ02(x-I)FT,4=C：。2?=180,选项C正确；(2x-l)l°=0+1(x-l)+2(x-l)+-+10(x-l)1°,两边对X求导得：0x(2x-l)92=q+2%(x-l)+3%(x-1)+lqo(x-if，令x=2得：,+2a2+3+IOa10=20×39,选项D错误；故选：AC.【典例3(2023上山西大同高三统考阶段练习)若X6=4+«,(x+1)+a2(x+1)2+%(x+Ip+4(x+I)4+a5(x+l)5+tz6(x+l)6,则%=.【答案】-6【解析】由f=(+1)Tr=%+4(%+1)+%(x+1)2÷3(x+1/÷¾(x÷I)4+a5(x+l)5+a(x+1)6,其中二项式(x+l)-l6展开式的通项公式为&=晨(+i严(T)"当r=1时，可得C；(x+l)r(-l)=-6(x+l)$,所以牝=-6.故答案为：-6.八、二项式系数最大与最小二项式系数先增后减中间项最大(1)如果二项式的幕指数是偶数，则中间一项7；的二项式系数嫉最大；,Jr-Ir+l(2)如果二项式的幕指数是奇数，则中间两项/+,7；+1的二项式系数。了，相等且最大.122【典例1(2023下云南高三师大附中校考阶段练习)(l+2x)6的展开式中二项式系数最大的项是()A.160B.240C.160D.240/【答案】C【解析】因为=6,所以(l+2x)6的展开式中二项式系数最大为C：,即展开式的第4项，即7；=C(2x)3=1601.故选：c.【典例2】(2023上海南高三洋浦中学校考阶段练习)若(4+：j的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的X项为.【答案】“2X【解析】山题意，只有第5项的二项式系数最大知，展开式中有共9项，则=8,所以(«+"的展开式的通项为小=晨(4广斗C”产攵=0,1,2,、8,令Y=1，解得A=2,2故展开式中的X项为C>22=112x【典例3】（2023山东高三省实验中学校考二模）（x+2y）6展开式中二项式系数最大的项的系数为.【答案】160【解析】由二项式系数的基本性质可知，（x+2展开式中二项式系数最大的项为7i=Cj（2=160xy.因此，展开式中二项式系数最大的项的系数为160.九、二项展开式系数最大项的求法如求g+6xXQ,6R）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为4,色，Jn+1,且笫左项系数最大，应用从而解出左来，即得.AkAky【典例1】（2023上全国高三阶段练习）已知13+qj（>0）的展开式中唯有第5项的系数最大，则的取值范围是（）【答案】A【解析】卜+?）的展开式的通项为&产鼠任厂£|'=CW4r,由题可知，p4解得g<<3故选：AU6Cl>C64JL【典例2】（2023湖北襄阳高三襄阳四中校考模拟预测）已知（l+3x）”的展开式中前三项的二项式系数和为79,则展开式中系数最大的项为第（）A.7项B.8项C.9项D.10项【答案】D【解析】（l+3x）"的展开式中前三项的二项式系数和为C：+C+（3：=1+当=79,整理可得2+一156=0，Q"2且eN,解得=12,（1+3Xr的展开式通项为如=C2（3x）/=gU（A=（M,2,12）,Cr3r>L3rd设展开式中第+1项的系数最大，则二2一；：，C2'3C12-33539解得W*"7'2_.3r3r+,r!(12-r)!(r+l)!(l1-r)!-3r>3r,r!(12-r)!(r-l)!(13-r)!因为，N,故=9,因此，展开式中系数最大的项为第10项.故选：D.易错点1利用分步乘法原理计数，分步标准错误点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关如果完成一件事有类办法，这类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成个步骤，缺一不可，即需要依次完成个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.【典例11（2023上广东佛山高三统考阶段练习）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是.【答案】81【解析】根据题意，把甲乙看成个同学，由分步计数原需产得不同选择的种类是34=81.5.（2023全国高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.【答案】72【解析】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有4x3x2=24（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3,2,1种方法，则涂色方法有2x4x3x2x1=48（种），所以不同的涂色方法共有48+24=72（种）.【典例2】（2023上陕西西安高三阶段练习）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（）a?btcIdI【答案】C【解析】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.该旅游博主游览五岳可分两类方法：第类，第个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有C；种方法；第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有C；种方法；由分类计数原理可得，共有c；+C；=20种方法.设力="该旅游博主恰好在同个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件方：第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有c；=2种方法；第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：若该月只游览两大名山，则只有1种方法；若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有C；种方法，则第二步共有1+C；=4种方法；由分步计数原理，则完成事件A共有2x4=8种方法.由古典概型概率公式得P（X）=茄=g故选：C.易错点2数字排列中“0”的位置不明点拨：对于数字排列问题，0是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0不在首位的特殊要求。【典例1】（2023全国高三专题练习）从0,1,，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字可以出现两次），如5224.则这样的四位数共有个.【答案】3888【解析】分三种情形讨论.四位数中不含0的有CjC；C：A；=3024（个）：四位数中含0且。只出现一次的有C；x3A；=216（个）.从而，共有3024+648+216=3888个.【典例2】（2023福建泉州高三统考模拟预测）将0,1,2,3,10任意排成一行，可以组成个不同的6位数.（用数字作答）【答案】84【解析】将0,1,2,3,10任意排成一行，且数字0不在首位，则有4A：=96种，数字1和0相邻且1在0之前的排法有A：=24种，24故所求满足题意的6位数有96-1=84个.【典例3】（2023广东高三深圳中学校联考模拟预测）用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有个.【答案】108【解析】满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分宜以下几类：第一类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第五位，先排第位有两种排法，再排第三位和第五位有A；种排法，再将奇数排在第二，四，六位有A；种排法，所以第一类包含的六位数的个数为2A；A；=24,第二类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第六位，先排第一位有两种排法，再排第三位和第六位有A；种排法，再将奇数排在第；四，五位有A；种排法，所以第：类包含的六位数的个数为2A；A；=24,第三类：0,2,4排在从左至右的第一位，第四位，第六位，先排第一位有两种排法，再排笫四位和第六位有A；种排法，再将奇数排在第二，三，五位有A；种排法，所以笫三类包含的六位数的个数为2A；A；=24,第四类：0,2,4排在从左至右的第二位，第四位，第六位，先排偶数数字有A；种排法，再将奇数排在第一，三，五位有A；种排法，所以第四类包含的六位数的个数为A；A；=36,由分类加法计数原理可得满足条件的六位共有24+24+24+36=108个.故答案为：108.易错点3忽略二项式中的负号点拨：在二项式定理（M）"的问题要注意b的系数为1,展开求解释不要忽略。【典例1】（2023上北京高三三十五中学校考期中）二项式（2工-9）展开式的常数项为.【答案】60【解析】展开式的通项为J=C；(2x)6-'(L=Cr6-i-r(-t)r取6-=0,解得广=4,常数项为C：2I（-l）4=60.【典例2】（2023浙江高三统考一模）（x-2y）5展开式中的系数为.【答案】-10【解析】设"-2歹）5的通项为4=C"J（-2y）'n7；=C；（-2）产了，当夕=1时，=Ci（-2）'x4yl=-0x4y.故答案为：-10易错点4混淆二项式系数与系数点拨：要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别（+b）”的展开式中第什1项的系数是C；,其值只与“有关，与巴6无个，系数是该项中的常数，在（。+6尸的展开式中，系数最大的项是中间项；但当。，方的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定.【典例1】（2023上重庆高三巴蜀中学校考阶段练习）（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）B.第6项的系数最大D.所有项的系数之和为1A.第6项的二项式系数最大C.所有项的二项式系数之和为2H）【答案】ACD【解析】通项公式为=Go(2x)3(Ty=(Ty2-G°xH)-"=0,l,2,10,其二项式系数为C；。，二项式(2xT)°的展开式共11项，中间项的二项式系数最大，故第6项的二项式系数C：。是最大的，故A正确；二项式系数和为25所以C正确；令X=I得所有项的系数和为1,故D正确；因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选：ACD.【典例2】(2023全国高三专题练习)(多选)下列关于Xj的展开式的说法中正确的是()A.常数项为一160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为1-2xj展开式的通项为7；+I=C(3(-2x)a=(-2)aCJx1-6.【答案】ACD【解析】对于A,令2"6=0,解得=3,，常数项为(2)3C：=8x20=760,A正确;对于B,由通项公式知，若要系数最大，4所有可能的取值为0,2,4,6,7=x"6,4=4C*=6OX-2,7；=(-2)4C>2=240x2,7；=(-2)66=64x6,展开式第5项的系数最大，B错误；对于C,展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D,令X=1,则所有项的系数和为(1-2)6=1,DlE确.故选：ACD.