专题15用一次函数解决实际问题(解析版)（重点突围）.docx

专题15用一次函数解决实际问题考点一用一次函数解决分配方案问题考点二用一次函数解决最大利润问题考点三用一次函数解决行程问题考点四用一次函数解决图形问题考点五用一次函数解决其他问题三典型例题j考点一用一次函数解决分配方案问题例题：(2022全国八年级单元测试)旅游团一行60人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了30间客房，问三种客房各住几间，共几种安排方案？怎样安排住宿消费最低，最低消费是多少？【答案】共16种安排方案，安排住三人间15间、单人间15间时消费最低，最低消费是1650元【分析】设安排住三人间X间，二人间3间，则住单人间(30-x-y)间，根据该旅游团共60人，即可得出关于,y的二元一次方程，解之可得出y=30-2x,结介H均为正整数，即可得出方案的个数，设住宿费用为W元，利用总费用=每人的费用X居住人数X房间数，即可得出W关于X的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.【详解】解：设安排住三人间X间，二人间y间，则住单人间(30-x-y)间，依题意得：3x+2y+30-x-y=60,.y=30-2x.X，y均为非负整数,03O-2vO,ar15,（三15（X为非负整数），.共16种安排方案.设住宿费用为W元，则w=20x3x+30x2y+50（30尤-y）=-l（h+1800,.-10<0,，,W随X的增大而减小，.当x=15时，W=-IOx15+18=1650（元）.答：共16种安排方案，安排住三人间15间、单人间15间时消费最低，最低消费是1650元.【点睹】本题考查了二元次方程的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键.【变式训练】1. （2021黑龙江鹤岗七年级期末）哈尔滨至名山风景区的高铁工程己经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：车型绥化（元/辆）鹤岗（元/辆）大货车620700小货车400550两种货车各有多少辆？若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为。辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？【答案】大货车用8辆，小货车用12辆.共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地.【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为卬元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得。的范围，再根据是整数，即可确定。的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案.（1）设大货车用X辆，则小货车用（20-X）辆，根据题意得16+10（20-x）=248,解得x=8,20-x=20-8=12.答：大货车用8辆，小货车用12辆.设运往绥化地的大货车是",那么运往鹤岗地的大货车就应该是（84）,运往绥化地的小货车是（9卬），运往鹤岗地的小货车是（3+），w=620+7（8-a）+400（9-a）+55012-（9-a）=70a+10850,则w=7O+IO85O（048且为整数）；根据题意得:16a÷10（9-）120,解得5,又0O*8,05a8且为整数.0«=5,6,7,8,共有4种方案，0vv=7O+1O85O,A=70>0,W随a的增大而增大，国当a=5时，W最小.答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地.【点睛】主要考查了函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值.2. （2022广东深圳实验学校九年级阶段练习）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共400吨，甲厂的生产量是乙厂的2倍少80吨.这批防疫物资将运往A地220吨，B地180吨，运费如表（单位：元/吨）.目的地生产AB甲3045乙2535求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？设这批物资从甲厂运往A地。吨，全部运往4,B两地的总运费为W元.求W与。之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案，求出最少总运费.【答案】甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨（2）从甲厂运往A地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往B地160吨，最少总运费为13100元【分析】(1)设这批防疫物资乙厂生产了X吨，则甲厂生产了(2y80)吨，根据题意列方程解答即可；(2)根据题意得出W与之间的函数关系式以及。的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可.(1)设这批防疫物资乙厂生产了X吨，则甲厂生产了(2x80)吨，根据题意得：+(2-80)=400,解得X=160,2-80=240,答：甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨；(2).从甲厂运往A地。吨，从甲运往8地(240-a)吨，从乙运往4地(220-a)吨，从乙运往8地(。-60)吨，根据题意，得W=30。+45(240-ci)+25(220-a)+35(-60)=-5«+142,4.0240-a.0220-a.0,a-60.0.60220,欧=-5<0,回W随。的增大而减小，当=220时，总运费最少,=-5×220+14200=13100,即从甲厂运往4地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往8地160吨，最少总运费为13100元.【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数的解析式.考点二用一次函数解决最大利润问题例题：(2022全国八年级单元测试)2月4日，北京冬奥会开幕式当天，天猫“奥林匹克旗舰店里的“冰墩墩”相关产品均己售罄.从“一墩难求”的残酷现状到“一人一墩”的强烈要求，许多工厂在假期纷纷开工加紧生产.硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料.某硅胶制品公司现有的378千克原料全部用于生产A、B两种硅胶外壳型号，且恰好用完.型号所需原材料进价售价A99克165元198元B90克172元192元若生产的A、8两种型号的硅胶外壳共4000个，分别求A、3两种型号的硅胶外壳个数.某专卖店欲从该硅胶制品公司购进A、8两种型号的“冰墩墩共3000个，其中A型号的数量不超8型号数量的2倍，全部售出后为使获利最大，请你为该专卖店设计进货方案.【答案】A型号外壳2000个，3型号外壳2000个（2）A型号外壳为2000个，8型号外壳为Iooo个时，冰墩墩的销售金额最大，最大销售金额为86000元【分析】（1）设生产A型号外壳X个，8型号外壳了个，根据生产的A,8两种型号的外壳共4000个，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设生产A型号外壳加个，B型号外壳（3000-M个，销售金额为卬元，由题意得出M的取值范围，然后求出卬=13,“+60000,结合一次函数的性质即可得出结论.(1)解：设生产A型号外壳X个，B型号外壳），个,由题意得:x+y=400099x+90=378000解得:X = 2000 y = 2000即生产A型号外壳2（X）0个，8型号外壳2000个;（2）解：设A种型号的“冰墩墩，个，则8种型号的“冰墩墩（3000-）个，销售获利为W元,由题意得：州,2（3000-，解得："4,2000,由题意得：W=(198-165)1+(192-172)(3000-"1)=13m+60000,=13>0,明随机的增大而增大，勖曾是正整数，则加的最大值为2000,当根=2000时，W有最大值，最大值为：13x2000+60000=86000（元），即A型号外壳为2000个，8型号外壳为IooO个时，冰墩墩的销售金额最大，最大销售金额为86000元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组并正确求解，掌握一次函数的性质.【变式训练】1.（2022广东佛山市顺德区大墩初级中学八年级期中）为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元.求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.【答案】30元，120元应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元【分析】（1）设购买1个温馨提示牌需要X元，购买1个垃圾箱需要y元，根据“购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元”得x+2y=270,根据“购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元"得2t+y=180,组合成二元一次方程组便可；（2）设购买温馨提示牌个，垃圾箱（60-）个，总费用为W元，根据题意列出不等式得出的取值范围，再列出W与X的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可.（1）解：设一个温馨提示牌X元，一个垃圾箱y元，依题意得：x+2y=2702x+y=180,（x=30解得：g，y=120答：一个温馨提示牌30元，一个垃圾箱120元；（2）设购买温馨提示牌。个，垃圾箱（60-）个，总费用为W元，则：«<y（60-<7）,解得：a20,W=30a+120（60-）,即：W=-90«+7200,回女二-90Vo,13W随的增大而减小，13当=2O0寸，W取最小值，W=-90x20+7200=5400,此时：垃圾箱：60-20=40(个)，答：应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元.【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组和一次函数解析式，利用一次函数的性质解答.2. (2022河南许昌市建安区第三高级中学八年级期末)小刚的爸爸在两个学校门口开了两家文具店(分别简称甲店、乙店).一天，小刚的爸爸购进了A、8两种文具各10箱，预计每箱文具的盈利情况下表：A种文具8种文具甲店/(元/箱)1117乙店/(元/箱)ab如果甲店按照A种文具5箱、B种文具5箱配货，那么小刚的爸爸甲店能盈利元.如果乙店按照A种文具3箱、8种文具7箱配货，可盈利118元；如果乙店按照A种文具8箱、8种文具2箱配货，可盈利98元.请求出乙店A、B两种文具每箱分别盈利多少元？(3)在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使小刚的爸爸盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？【答案140(2)乙店A、8两种文具每箱分别盈利9元/箱，13元/箱，(3)甲店配A种文具3箱，8种文具7箱.乙店配A种文具7箱，5种文具3箱.最大盈利254元【分析】(1)根据表格数据，甲店A种文具盈利11元/箱，8种文具盈利17元/箱，列出算式进行计算即可求解；(2)根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；(3)设甲店配A种文具工箱，分别表示出配给乙店的A文具，8文具的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利=A种文具甲店盈利XA8种文具甲店盈利X(10-x)+A种文具乙店盈利X(10-x)+8种文具乙店盈利。；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可.(1)解：依题意，如果甲店按照A种文具5箱、B种文具5箱配货，那么小刚的爸爸甲店能盈利:ll×5+17×5=(ll+17)×5=140(元)故答案为：140(2)解:依题意3+76=118&7+2人=98解得 = 9b = 3国乙店A、"两种文具每箱分别盈利9元/箱，13元/箱,(3)设甲店配A种文具X箱，则甲店配8种文具(10-x)箱，乙店配A种文具(IO-X)箱，乙店配8种文具IO-(Io-X)=X箱.09×(10-x)+13XNlo0,0x2-,2经销商盈利为w=llx÷17×(10-x)+9×(10-x)+13x=-2x+260.0-2<0,国卬随X增大而减小，团工为正整数，团当x=3时，卬值最大.甲店配A种文具3箱，8种文具7箱.乙店配A种文具7箱，8种文具3箱.最大盈利：2x3+260=254(元).【点睹】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，次函数的实际运用，找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题.3.(2022山西临汾七年级期末)“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药."平遥推光漆器因其历史悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器.某漆器厂清明前生产A、8两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件3首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件3首饰盒，共需投入成本3800元.B每件A,8首饰盒的生产成本分别是多少元？该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于3首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？（3）将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件8首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利.【答案】（1）每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元.共有4种生产方案.生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元.【分析】（1）设每件A首饰盒的生产成本是X元，每件8首饰盒的生产成本是丁元，根据“生产10件A首饰盒和20件8首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元"列二元一次方程组，求解即可；（2）设该厂生产8首饰盒机件，根据用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍列一元一次不等式组，求解即可；（3）设该厂总获利W元，表示出W与，的函数关系式，根据次函数的性质即可确定获利最大时的生产方案.(1)解：设每件A首饰盒的生产成本是X元，每件4首饰盒的生产成本是y元,根据题意，得10x÷20y=310020x+l0y=3800解得x = 150y = 80答：每件A首饰盒的生产成本是150元，每件3首饰盒的生产成本是80元.（2）设该厂生产B首饰盒用件,100-/n2m根据题意，得ji50(100-W+80m1290(f解得30m,3m取正整数:30,31,32,33,共有4种生产方案.（3）设该厂总获利卬元，根据题意，得W=K）O（100-m）+40m=-607+10000,Q-60<0,丁w随着M的增大而减小，当相=30时，W取最大值，最大利润=-60x30+10000=8200（元），100-30=70（件），生产A首饰盒70件，8首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意建立关系式是解题的关键.考点三用一次函数解决行程问题例题：（2021吉林长春市赫行实验学校九年级阶段练习）张师傅开车到某地送货，汽车出发前油箱中有油50升，行驶一段时间，张师傅在加油站加油，然后继续向目的地行驶，已知加油前、后汽车都匀速行驶，汽车行驶时每小时的耗油量一定.油箱中剩余油量Q（升）与汽车行驶时间，（时）之间的函数图象如图所示.张师傅开车行驶小时后开始加油，本次加油升.求加油前。与/之间的函数关系式.如果加油站距目的地320千米，汽车行驶速度为80千米/时，张师傅要想到达目的地，油箱中的油是否够用？请通过计算说明理由.【答案】3,31（2）=-12/+50（0r3）不够用，理由见解析【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以写出张师傅开车行驶几小时后开始加油，本次加油多少升；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出加油前。与f之间的函数关系式；（3）根据图象中的数据，可以计算出每小时耗油多少升，然后再根据后来加油后油箱中的升数，即可计算出可以最多跑的路程，再与320比较大小即可.（1）解：由图象可得，张师傅开车行驶3小时后开始加油，本次加油4514=31（升），故答案为：3,31.（2）解：设加油前。与，之间的函数关系式是Q=h+b,国点（0,50）,（3,14）在该函数图象上，f6=5013k+0=14k=-2解得。=50,即加油前。与f之间的函数关系式是Q=-12r+50（0r3）.（3）解：张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用，理由：由图象可得，汽车的耗油量为：（50-14）÷3=12（升/时），45÷12×80=×804=300（千米），03OO<32O,团张师傅要想到达目的地，油箱中的油不够用.【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答.【变式训练】1.（2021江苏西安交大苏州附中八年级阶段练习）甲、乙两人沿相同的路线由A地到8地匀速前进，A、B两地间的路程为20公，他们前进的路程为S（M1）,甲出发后的时间为，（力），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：甲的速度是km/h,乙比甲晚出发A；分别求出甲、乙两人前进的路程S与甲出发后的时间/之间的函数关系式；甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离8地还有多远？【答案】5,1甲的函数关系式为5=5/；乙的函数关系式为$=20L20440甲经过/?被乙追上，此时两人距B地还有:加2【分析】（1）根据函数图象可以求得甲的速度和乙比甲晚出发的时间；（2）根据函数图象可以分别设出甲、乙两人前进的路程S与甲出发后的时间之间的函数关系式，然后根据图象中的数据即可解答本题；（3）令（2）中的两个函数值相等，即可求得f的值，进而求得S的值，然后再用20减去S的值即可解答本题.（1）解：由图象可得，甲的速度为：20M=5kmh,乙比甲晚出发1小时，故答案为：5,1.（2）解：设甲出发的路程S与/的函数关系式为s=k,贝I20=4*,得&=5,团甲出发的路程S与，的函数关系式为$=5八设乙出发的路程S与t的函数关系式为s=ai+b,J+b=O,J=202a+b20t叫6=-20，回乙出发的路程S与t的函数关系式为s=20l20.（3）解：由题意可得，5r=20-20,4解得，/=,4420当=1时，s=5'=5x3=3,“204020=,33440即甲经过;h被乙追上，此时两人距B地还有方km.【点睹】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.2.（2022江苏涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在一条笔直的公路上有A,B,C三地，C地位于A,B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从8地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离X（单位：km）,y2（单位：km）与甲车行驶时间/（单位：）之间的函数关系如图.请根据所给图象解答下列问题：（1）甲车的行驶速度为km/h,乙车的行驶速度为km/h；当lf4时，求乙车与C地的距离刈与甲车行驶时间，之间的函数关系式;（3）当乙车出发小时，两车相遇；【答案】甲车行驶速度是60切混，乙车行驶速度是80前?；80/+280(1<t<-)(2)y2=2；80r-280(-<r4)219乙车出发了小时，两车相遇.【分析】(I)根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；(2)根据待定系数法分类讨论求解乙车与C地的距离”与甲车行驶时间，之间的函数关系式；(3)设乙车出发小小时，两车相遇，根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=200+240列方程求解即可;(1)7解：甲车行驶速度是240÷4=60(km/h),乙车行驶速度是200÷(-1)=80(kmg团甲车行驶速度是60kmh,乙车行驶速度是SOhn/h；故答案为60,807解：当lVf时，设=K+b,k+b=2007-k+b=O12P=-808=280'y2=-80/+280；7当Vf4时,270(4-)80=40(km),2团图象过点(4,40),设y2=kf+b,团图象过点(4,40),(-,0),24攵+。=40团47，-k+b=012k=80M=-2800J2=80/-280.-80/+280（1<r<-）团为=（72;80r-280（-<r4）（3）解：设乙车出发用小时，两车相遇，由题意得：80w+60（m+I）=200+240,19解得：/=亍.19团乙车出发十小时，两车相遇.故答案为蔡【点睹】本题主要考查了元一次方程及一次函数的应用，能从图象中获取有效信息，熟练运用待定系数法求解一次函数的关系式是解题的关键.3.（2021辽宁沈阳八年级阶段练习）请根据实际问题情景列出y与X之间的函数关系式.两名老师带领X名学生到动物园参观己知成人票每张50元，学生票每张20元，设门票的总费用为y元,则y与X的函数关系式为.某市出租车白天的收费起步价为14元,即路程不超过3千米时收费14元,超过部分每千米收费2.4元.如果乘客白天乘坐出租车的路程为X（X>3且X为整数）千米，乘车费为y元，那么），与X之间的函数关系式为甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升.如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：?）与气球上升时间X（单位：min）的函数图像.在上升过程中，气球速度较快（用“甲"或"乙"填空），该气球所在位置的海拔y与气球上升时间X之间的函数关系式为.【答案】y=2()+oo(2)y=2.4x+6.8甲；y=+5【分析】(1)根据题中成人的人数乘以成人的票价，加上学生人数乘以学生的票价，和为A即可得到函数关系式；(2)只要不超过3千米就是14元，这位乘客已经超过3千米了，所以3千米以内14元，超过的部分(x-3)千米，是每千米2.4元，根据乘车费用=起步价+超过3千米的付费即可列得式子；(3)从图中来看，起点在)，轴上且位置靠下的直线，为甲的函数图像，起点在)，轴上且位置靠上的直线，为乙的函数图像，在同样时间内，下面的直线即甲上升的比较快，所以可知甲的速度较快；根据海拔的起点和交点可得到有关气球的函数关系式.(1)解：成人票每张50元，两名老师所以是两名成人，故需要2x50=100(元)，X名学生，学生票每张20元，故学生共需要20X(元)，总和为y,即可列函数为y=20x+100;(2)解：白天乘坐出租车的路程为X(X>3且彳为整数)千米，03千米外的路程为(无-3)千米，即超过路程的费用为2.4x(x-3),团路程不超过3千米时收费14元团这位乘客白天的乘车费为y=14+2.4x(x-3)=2.4x+6.8,故函数关系式为y=2.4x+6.8;(3)解：从图中来看，起点在y轴上且位置靠下的直线，为甲的函数图像，起点在)，轴上且位置靠上的直线，为乙的函数图像，在同样时间内，下面的直线即甲上升的比较快，所以可知甲的速度较快；设甲气球的函数表达式为，=履+"由图可得起点为(0.5),交点为(20,25),5=bTk=IX皿,，解得%V，25=20k+b也=5所以甲的函数表达式为y=+5.【点睛】本题考查了列函数关系式，解题的关键是理解题意，根据题意列出关系式.考点四用一次函数解决图形问题例题：(2022湖南永州八年级期末)某中学开设了劳动课，在校园内围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为36米，要围成的菜园是如图所示的长方形A8CD,设BC的边长为X米，AB边的长为y米，则y与X之间的函数关系式是()墙【答案】B【分析】根据长方形的周长=(长+宽)x2,设BC的边长为X米，则A8的边长为g(36r)米，即可作答.【详解】设BC的边长为X米，则48的边长为:(36-幻米.Oy=g(36-x)=-g%+18,故选团B【点睛】本题主要考杳了一次函数的实际应用，正确地理解题意找出等量关系是列出函数关系式的关键.【变式训练】1.(2022陕西咸阳七年级期末)如图，OM是一条垂直于河岸ON的小路，现计划在河岸ON上找一点A,小路OM上找一点C,修建一个长方形OABC区域，作为河道保护工作站，要求OC=2OA,若设OA=X米，长方形。ABC的周长为y米.请求出y与X之间的关系式；当。4的长为20米时，求长方形。4BC的周长y是多少？要使长方形OABC的周长)，为150米，求。4的长为多少？【答案】(l)y=6x当QA的长为20米时，长方形OABC的周长)，是120米(3)要使长方形OA8C的周长)，为150米，OA的长为25米【分析】根据OC=2QA,得出OC=利用长方形周长公式即可得出尸与X之间的关系式;(2)将:20代入(1)中的关系式即可得出答案；(3)将尸150代入(1)中的关系式即可得出答案.(1)BOA=x,OC=204,0OC=Ix,团y=2(OA+OC)=6x：(2)当X=20时，y=6x20=120,即当OA的长为20米时，长方形OABC的周长,，是120米：(3)当y=150时，6x=150,解得=25,即要使长方形OABC的周长)，为150米，OA的长为25米.【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握长方形的周长公式是解题的关键.考点五用一次函数解决其他问题例题：（2022吉林大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）五一节快到了，单位组织员工去旅游，参加人数估计为10至20人.甲，乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了优惠方案.甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折优惠.已知两家旅行社的原价均为每人100元.分别表示出甲旅行社收费V,乙旅行社收费”与旅游人数X的函数关系式；随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？【答案】M=50x+15,%=60x当IOa<15时，乙旅行社收费更优惠：当旅游的人数为15人时，甲、乙旅行社收费一样；当15<x20时，甲旅行社收费更优惠【分析】（1）根据甲、乙两旅行社的优惠方法，找出甲旅行社收费X，乙旅行社收费力与旅游人数X的函数关系式；（2）分必<必，,=必，,>必三种情况找出X的取值范围或X的值，此题得解.（1）解：根据题意得：j1=100×3+I00×（x-3）=50x+150;y2=100×60%x=60x.（2）解：当=%时，即5（k+150=60x,解得：X=15；当X<当时，即50+150<60x,解得：x>15,当%>%时，即50x+150>60x,解得：<I5,综上所述：当IOqVI5时，乙旅行社收费更优惠：当旅游的人数为15人时，甲、乙旅行社收费一样；当15Vx20时，甲旅行社收费更优惠.【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据两旅行社的优惠方案，找出函数关系式；(2)分y<%,%=%，三种情况考虑.【变式训练】1. (2022内蒙古乌拉特前旗第三中学八年级期中)为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水X立方米，应缴水费)，元.求出y关于X的函数解析式；(2)该市一户某月若用水X=IO立方米时，求应缴水费：该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.1.3x(0<x8)(1)V=2.7x-11.2(x>8)当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元该户这月用水量为14立方米【分析】(1)分当0vx8时和当x>8时两种情况，根据所给的收费标准列出函数关系式即可;(2)根据(1)所求关系式代入X=IO求解即可；(3)先判断该户这月用水量大于8吨，然后把y=26.6代入(1)所求式了求解即可.(1)解：由题意得：当0<x8时，y=x+0.3x=13x当x>8时，y=8×l÷8×0.3+(1.5+1.2)(x-8)=2.7x-11.2,综上所述,1.3x(<x8)ve2.7x-11.2(x>8)(2)解：0=1O>8,”=2.7x10-11.2=15.8,团当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元;(3)解：01.3×8<26,团该用户这月的用水量超过了8吨，02.7x-11.2=26.6,解得X=I4,即该户这月用水量为14立方米.【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值，正确理解题意利用分类讨论的思想求出对应的函数关系式是解题的关键.2. （2022广东湛江八年级期末）防疫期间，某药店销售一批外科口罩，如果一次性购买50个以上的外科口罩，超过50个部分按原价打8折优惠出售.上个月小王家一次性买了外科口罩90个，花了41元；小李家一次性买了外科口罩120个，花了53元.求销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少？设一次性购买外科口罩工个，花费y元，写出y与X之间的函数关系式.这个月学校一次性购买该外科口罩680个，花了多少钱？【答案】（1）销售一个外科口旱的原价是0.5元，优惠价是0.4元y=0.5x（x50）y=0.4x+5（%>50）学校花了277元【分析】（1）设销售一个外科口罩的原价是。元，优惠价是b元,根据时点,联立二元一次方程组，解出即可得出结果;（2）根据题意，结合（1）中的结论，即可得出y与X之间的函数关系式;（3）根据（2）中的结论,把x=680代入相应函数解析式,解出即可得出结果.(1)解：设销售一个外科口罩的原价是。元，优惠价是b元,根据题意得:50a+(90-50)b=4150a+(120-50)=53,解得。 = 0.56 = 0.4'答：销售一个外科口罩的原价是0.5元，优惠价是0.4元.(2)解：根据题意，可得:y=0.5x(x50)y=0.4x+5(x>50)(3)解：068O>5O,13当x=680时，y=0.4x+5=0.4×680+5=277,答：学校花了277元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一次函数的实际应用，解本题的关键在根据题意，正确找出等量关系，列出二元一次方程组.3. (2022广东八年级单元测试)2020年“中国移动公司提供两种通讯收费方案供客户选择.方案一：按月收取座机费40元，此外每分钟的费用是0.1元；方案二：无座机费用，直接按通话时间计费，每分钟的费用是0.2元.根据以上信息，解答下列问题：设通话时间为4分钟，方案一的通讯费用为M元，方案二的通讯费用为为元，则M与X的函数关系式为,为与X的函数关系式为.当通话时间为多少分钟时，两种方案费用相同？小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，则他选择哪种通讯收费方案更合算？【答案】X=40+0L,y2=0.2x(2)400分钟选择方案一收费方案更合算【分析】(1)根据收费方式列式即可.(2)将(1)中的结果等起来即可.(3)把500分钟分别代入(1)中的两个式子得到结果比较大小即可.(1)解：根据题意得：方案一：M与X的函数关系式为Y=40+0.以，方案二：力与X的函数关系式为=°2x.故答案为：y1=40+0.1x,%=02x;(2)当y=K时，贝Ij40+0.Ix=0.2%,解得：x=400,答：当通话时间为400分钟时，两种方案费用相同；(3)当x=500时，yl=40+0.1×400=90（元），y2=0.2×500=100（元），l>90,答：他选择方案一收费方案更合算.【点睛】本题主要考查一次函数在方案选择上的应用，能够通过条件列出关系式是解题关键.：课后训练：一、选择题1. （2021全国八年级专题练习）某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为X时两种消费卡所需费用分别为价，y乙元，即，九与X的函数图象如图所示,当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（）y（元）100kx：:O1020/次）A.甲种更合算B.乙种更合算C.两种一样合算D.无法确定【答案】B【分析】根据次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可.【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，即在y乙上面，即所%,回当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱.故选：B.【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键.2. （2022山西吕梁八年级期末）菜农张大叔要用63米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在菜地的一边AB边上留有1米宽的人口.设48边的长为,8C边的长为y,则y与X之间的函数关系