专题20概率、随机变量与分布列（解析版）.docx

专题20概率、随机变量与分布列一、知识速览二、考点速览知识点1随机事件的概率与古典概型1、事件的相关概念2、频率与概率的关系(1)频率：在次重复试验中，事件彳发生的次数人称为事件彳发生的频数，频数人与总次数的比值&,叫做事件力发生的频率.n(2)概率：在大量重复尽心同一试验时，事件Z发生的频率A总是接近于某个常数，并且在它附近摆n动，这时，就把这个常数叫做事件力的概率，记作PJ).(3)概率与频率的关系：对于给定的随机事件4,由于事件力发生的频率4随着试验次数的增加稳定n于概率P(4),因此可以用频率&来估计概率尸(彳).n3、事件的关系与运算(1)包含关系：一般地，对于事件力和事件5,如果事件力发生，则事件8一定发生，这时称事件8包含事件4(或者称事件4包含于事件8),记作834或者力工8.(2)相等关系：一般地，若8=力且/=8,称事件4与事件8相等.(3)并事件(和事件)：若某事件发生当且仅当事件/发生或事件5发生，则称此事件为事件/与事件8的并事件(或和事件)，记作4U8(或4+3).(4)交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件Z发生且事件B发生，则称此事件为事件力与事件8的交事件(或积事件)，记作力ClB(或48).(5)互斥事件：在一次试验中，事件/和事件B不能同时发生，即4118=0,则称事件N与事件8互斥；如果4，4,，4中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件4，.A2.,4彼此互斥.(6)对立事件：若事件4和事件8在任何一次实验中有且只有一个发生，即NUB=C不发生，A11B=0则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为，.4、概率的基本性质(1)对于任意事件N都有：0P(4l.(2)必然事件的概率为1,即P(C)=1；不可能事概率为0,即P(0)=O.(3)概率的加法公式：若事件4与事件5互斥，则尸(4118)=2(4)+尸(8).推广：一般地，若事件4，A24彼此互斥，则事件发生(即4，A2t.»4中有一个发生)的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：p(4+4+4)=p(4)+p(4)+p(4)(4)对立事件的概率：若事件力与事件8互为对立事件，则尸(4)=1-尸(8),P(B)=I-P(Z),且UB)=p)+P(B)=I.(5)概率的单调性：若A=B,则P()P(B).(6)若力，8是一次随机实验中的两个事件，则尸(4UB)=尸(+尸(8)-尸(4(18).5、古典概型(1)古典概型的定义：一般地，若试验E具有以下特征：有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.2、古典概型的概率公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间C包含个样本点，事件/包含其中的左个样本点，则定义事件4的概率Pw)=I=招.知识点2相互独立事件与条件概率、全概率1、相互独立事件(1)相互独立事件的概念对于两个事件4,B,如果P(8%)=P(8),则意味着事件4的发生不影响事件8发生的概率.设P(J)>O,根据条件概率的计算公式，P(B)=P(BM)=C幽，从而P(NB)=尸(4)尸(8).尸(力)由此可得：设力，8为两个事件，若P(AB)=P（八）P(B),则称事件力与事件5相互独立.(2)概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件4与8,若尸(4)>0,则P(AB)=P（八）P(BA).我们称上式为概率的乘法公式.(3)相互独立事件的性质：如果事件力，8互相独立，那么彳与耳，N与6,N与与也都相互独立.(4)两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,neN)个事件的相互独立性，即若事件4，4,，4相互独立，则这个事件同时发生的概率P(444)=P(4X4)P(4)2、条件概率(1)条件概率的定义：一般地，设力，8为两个事件，且尸(4)>0,称尸(Bm)=今卷为在事件4发生的条件下，事件B发生的条件概率.(2)条件概率的性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(84)l.必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0.如果B与C互斥，则一(BUCM)=C(BI)+P(C14)3、全概率公式(1)全概率公式：P(B)=P（八）P(BIA)+P（八）P(BA)：(2)若样本空间。中的事件4，4,，4满足：任意两个事件均互斥，即44=0，iJ=L2,，i工人4+4+4=。；P(4)>0,i=l,2,.则对Q中的任意事件8,都有B=BA,+8A2+B4,且P(B)=2P(BAj)二'P(Ai)P(BIAi)./=1/=14、贝叶斯公式P()P(84)P(A)P(B J) + Pq)P(Bl A)(1)一般地，当O<P()<1且尸(5)>0时，有P(力网=P(”常(2)定理2若样本空间C中的事件4,4,，4满足:任意两个事件均互斥，即44=0，3/=1,2,，i工人4+A1HFAn=；0<尸(4)<1，/=1,2,«.则对中的任意概率非零的事件B,都有6=§4+64+BAn,且W) = 乂施P(Aj)P Ai) P(4)P(B4) r=!知识点3随机变量的分布列、均值与方差1、随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,y,S小表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.2、离散型随机变量分布列(1)离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为,当，为，X取每一个值(i=1,2,，)的概率P(X=XJ=Pj,以表格的形式表示如下:X苦-V2XiXnPPxPlPiPn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X=Xi)=Pj,i=1,2,表示X的分布列.(2)分布列的性质：(1)p,0z=l»2,»/?;(2)pl+p2卜Pzf=13、离散型随机变量的均值与方差：(1)均值：E(X)=玉p+P2+WP,+%P.=1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值的性质E(C)=C(C为常数).若Y=X+b,其中,b为常数，则Y也是随机变量，且E(X+6)="E(X)+b.E(X+X2)=E(Ar1)+E(X2).如果,X1相互独立,则E(XlX2)=E(XJE(X2).(3)方差："X)=f(XLE(X)2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(的平均偏离C=I程度，称其算术平方根J5而为随机变量X的标准差.(4)方差的性质若y=X+力，其中,6为常数，则丫也是随机变量，且O(X+ZO=Lo(X).方差公式的变形：D(X)=E(X2)-IE(X)J2.知识点4两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称P=P(X=I)为成功概率.X01PLPP2、二项分布(1)次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.【注意】独立重复试验的条件：每次试验在同样条件下进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2)二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用X表示事件/发生的次数，设每次试验中事件力发生的概率为，不发生的概率9=Jp,那么事件/恰好发生"次的概率是P(X=A)=C：PwT(k=0,1,2,，)，于是得到X的分布列X01knP由于表中第二行恰好是二项式展开式(4+p)n=CPW+Clnpqn-+C：pkqn-k+C：pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为，P的二项分布，记作X8(，p),并称P为成功概率.(3)二项分布的期望、方差：若XB(MP),则E(X)=叩,D(X)=np(-p),率为P(X = Z) =豆争 CN3、超几何分布：在含有“件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则事件X=4发生的概A=O,2,.,m,其中?=min,且N,MN,n,M,NgN",称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.(1)正态曲线：我们把函数0Sa)=xe(- , +8)(其中是样本均值，b是样本标准差)X01mPX-1-4、正态曲线与正态分布的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间窗，两边低.(2)正态曲线的性质曲线位于X轴上方，与X轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线X=对称；曲线在X=处达到峰值(最大值)云)；曲线与X轴之间的面积为1；当。一定时，曲线的位置由“确定，曲线随着的变化而沿X轴平移；当一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，(3)正态分布：一般地，如果对于任何实数。，b(a<b),随机变量X满足尸g<X6)=1'fy(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数，b确定，因此正态分布常记作NW。?).如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.(4)3。原则若XN(",2),则对于任意的实数>0,尸(-。<犬:+)="/0(.1)(11为下图中阴影部分的面积，对于固定的和。而言，该面积随着b的减小而变大.这说明b越小，X落在区间(-的概率越大，即X集中在周围的概率越大特别地，有尸(一b<X"+b)=0.6826；尸("-2b<X"+2b)=0.9544；P(-3<X+3)=0.9974.由P(4-3b<X"+3b)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(-3b,+3b)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N®,/)的随机变量X只取(一3°,4+3)之间的值，并简称之为3。原则.一、随机事件的频率与概率1、频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2、随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【典例1】(2023全国高三对口高考)下列说法：设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件次品；做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是；随机事件力的概率是频率的稳定值；随机事件4的概率趋近于0,即尸(趋近于0,则力是不可能事件；抛掷骰子100次,9得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是言；随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有.【答案】【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种名件的频率总在个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率.通过概率定义可以分析出，出现的事件是在个固定值波动，并不是个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不定出现10件次品，错误；100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是，错误；随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件4的概率是频率的稳定值，正确;随机事件彳的概率趋近于0,说明事件力发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误；抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是卷=看，正确；根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误;综上，正确的说法有.故答案为：【典例2】(2021上四川成都高三石室中学校考开学考试)在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.,0.4B.,0.5C.,0.5D.,【答案】C【解析】某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，40所以出现正面朝上的频率为丽=04,因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，所以出现正面朝上的概率是，故选：C二、判断互斥、对立事件的两种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.（2）集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.事件/的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件力所含的结果组成的集合的补集.【典例1】（2023四川宜宾统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”,事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】由题可知，事件1可表示为：4=135,事件2可表示为:B=2,4,6,事件3可表示为：C=4,5,6,事件4可表示为：O=L2,因为InC=5,所以事件1与事件3不互斥，A错误：因为4c8为不可能事件，N=B为必然齐件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为BnC=4,6,所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为CCo为不可能事件，CDo不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；故选：B.【典例2（2023湖南高三校联考二模）随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育.某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制人制,9人制"11人制"四类足球体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件力=”甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件3="甲乙两人所选课程完全不同"，事件C="甲乙两人均未选择3人制，课程”,则（）A.4与8为对立事件B.4与C互斥C.4与C相互独立D.8与。相互独立【答案】C【解析】依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：有门相同，两门都相同，两门都不相同，故4与8互斥不对立，A错误；当甲乙两人均未选择“5人制”课程时，两人可能选的课程有一门相同，4与C不互斥，B错误；所以P(N)=CgJ=2p(b)=-v=1,p(c)=4=l,且P(4C)=I=P(BC)=O,所以P(XC)=P(N)P(C),C4-C46P(BC)P(5)P(C),即力与。相互独立，8与C不相互独立，C正确，D错误，故选：C.三、复杂事件的概率的两种求法(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式尸(N)=I一尸(4)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少''型题目，用间接求法就比较简便.【典例1】(2023上山西大同高三统考阶段练习)已知某音响设备由五个部件组成，力电视机，8影碟机，C线路，。左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当4与5至少有一个正常工作，C正常工作，。与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为()A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.【答案】A【解析】设能听到声音为方件M,则?()=1-尸(彳耳)尸(7)1-尸(方后)=1-尸(彳)尸3).尸(0.1-尸(方)尸伍)=(l-0.1×0.2)×0.9×(l-0.3×0.3)=0.80262,所以听不到声音的概率?(而)=1-0.80262=0.19738.故选：A【典例2】(2023下四川眉山高三校考开学考试)一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是.【答案】【解析】因为一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，则从中摸出1个球，摸出红球，白球和黑球的事件两两互斥，又摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，所以摸出黑球的概率是1-0.45-0.25=03,所以从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是045+0.3=0.75,故答案为：0.75.【典例3】(2024上内蒙古赤峰高三统考开学考试)位于数轴上的粒子/每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为,，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为:，若粒子力第一次向右移动一个单位长度的概率为g,则粒子力第二次向左移动的概率为.4【答案】【解析】由题意知粒了力第次向右移动个单位长度的概率为g,那么粒子4第一次向左移动一个单位长度的概率为：，112故粒广/1第一次向右移动，第二次向左移动的概率为:x（l.）:222粒广力第次向左移动，第二次向左移动的概率为口1-令）；2244故所求的概率尸=+=，故答案为：四、古典概型的概率用公式法求古典概型的概率就是用所求事件/所含的基本事件个数除以基本事件空间0所含的基本事件个数求解事件4发生的概率尸（4）.解题的关键如下：定型，即根据古典概型的特点有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型.求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间0及事件力所含的基本事件数.求值，代入公式产（力）二包含的基本事件的个数寸“l基本事件的总数【典例1】（2023上四川成都高三校考阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如40=3+37.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）AB.JC.±D.：4515459【答案】B【解析】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个，随机选取两个不同的数共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种，其中和等于30的有7+23J1+19J3+17这3种情况，31所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是三=白故选：B.4515【典例2】（2023上江苏徐州高三统考期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为明则。,4,5能够构成钝角三角形的概率是（）【答案】D【解析】由题意抛掷枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为。，则的取值可能为1,2,3,4,5,6,有6种可能；4,5能够构成三角形时，需满足Iea<9,若4,5能够构成钝角三角形，当5所对角为钝角时，有/+42-52<0,./<9,此时。=2；当。所对角为钝角时，需满足52+42-/<o,./>4,此时没有符合该条件的a值，故用4,5能够构成钝角三角形的概率是，故选：D【典例3】（2023上上海高三控江中学校考期中）某工厂生产A、8两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中A种型号的产品有10件，现从样本中抽出两件产品，此时含有A型号产品的概率为.39【答案】而【解析】依题意样本中8种型号的产品有IOXl=I5件，现从样本中抽出两件产品共有C%种取法，其中含有A型号产品的有C：。+CoC5种取法，所以含有A型号产品的概率P=.C256039故答案为：60五、求相互独立事件同时发生的概率的方法（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立.（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【典例1】（2023上重庆高三重庆一中校考开学考试）某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮7成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为;，则该同学通过测试的概率为（）A2C16厂25C32A-IB万C.-D.-【答案】D【解析】设投篮只成功一次后通过，概率为尸，那么投篮只失败过一次后，下一次若投篮失败,则不通过，故投篮只失败过一次后通过概率为:P,2/212>1212故尸=wK+'尸+?尸尸，解得：尸二篙，2121f212、32故通过的概率为?苫+$序同=岸故选：D【典例2】(2023上江苏高三期中)一个不透明的盒子中装有三个红球，一个白球.从盒子中取两次球，若每次取出1个或2个球的概率均为则最终盒子里只剩下一个白球的概率为.【答案】IO【解析】记“最终盒子里只剩下一个白球”为事件A,第一种情况，第一次先拿1个红色球，第二次拿2个红色球，则概率为：P=l××i×¾=-,2020Io第一种情况，笫一次先拿2个红色球，笫二次拿1个红色球，则概率为：=i×××=-,2C2Io所以最终盒子里只剩下个白球的概率为(力)=+=16168故答案为：O六、求条件概率的两种方法(I)利用定义，分别求P(N)和。(45),得P(8)=p(8/)=也竺，这是求条件概率的通法.P(W)(2)借助古典概型概率公式，先求事件4包含的基本事件数(，再求事件力与事件8的交事件中包含的基本事件数(46),得P(84)=匹【典例1】(2023四川雅安统考一模)甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件8：甲和乙恰好一人选择，典b ID1A，5【答案】由题意知，(4) = A"20, (ZB) = C；A：=8,所以P SM =*7矢宝=£，故选：bn(A) 20 5【解析】【典例2】(2023浙江宁波统考一模)第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为*,200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为亲，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是.3【答案】I【解析】设在200米比赛中站上领奖台为事件A,在100米比赛中站上领奖台为事件6,则叩)4,叩)=叩。可=2，P(B)=I-P(B)=L1U乙1J乙则P(NU力叩)+咽-P(Nn耳用+9iq,则P(An8)=1-叩U可4，故p( “网=髭3 - 5=3 -Io-1 - 2七、全概率公式与贝叶斯公式的使用1、全概率公式P(6)=fp(4)P(例4)在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的1=1概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑.2、利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算尸(Z),即P(4)=tp(耳)P(川耳)；J=I第二步:计算P(43),可利用P(45)=P(B)P(3)求解;第三步：代入尸(8/)="也求解.P（八）3、贝叶斯概率公式反映了条件概率P(84)=冬3,全概率公式P(X)=支口片)尸(小耳)及乘法公式P(4),=1P(AB) = PBP(A I B)之间的关系，即尸(鸟»)=P(BjA)P(Bj)P(AB)=P(B)PB)P(")P'")SP(Bi)P(ABj/«1【典例1(2023河北秦皇岛高三校联考二模)根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为()A 14八.五R 28B-万D.2755【答案】C【解析】设4=”失踪的飞机后来被找到“，4=”失踪的飞机后来未被找到“，8=“安装有紧急定位传送器”,则P(J1)=0.7,P(J2)=O.3,p(84)=O6,p(64)=1-0.9=0.1,安装有紧急定位传送器的匕机失踪，它被找到的概率为尸（4忸）=尸(4)P4)p(4)p(b4)+p(4 )P(8)0.7×0.60.7 × 0.6+ 0.3 × 0.114jy.故选：C.【典例2（2023吉林长春高三统考一模）某学校有A,6两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如果第一天去8餐厅，那么第2天去8餐厅的概率为，则该同学第2天去8餐厅的概率为.【答案】0.3【解析】设4=“第1天去/餐厅用餐”，用="第1天去6餐厅用餐”,4="第2天去A餐厅用餐”，B2="第2天去5餐厅用餐”，根据题意得尸(4)=尸(BJ=O5,P(52Ji)=1-0.8=0.2,P(¾5l)=0.4,由全概率公式，得?（反）=尸（4）尸（员|4）+尸（片）尸（&W）=O5x0.2+0.50.4=0.3,因此该同学第2天去6餐厅用餐的概率为0.3.故答案为：0.3.【典例3】（2023上江苏常州高三统考期中）居民的某疾病发病率为1%,现进行普查化验，医学研究表明,化验结果是可能存有误差的.已知患有该疾病的人其化验结果99%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果1%呈阳性.现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A.0.99B.0.9C.0.5D.【答案】C【解析】记事件出某人患病，事件3:化验结果呈阳性，IQQ/t_、1由题意可知?=旃，尸（租）=而，尸小团=湎所以，尸"）呻+P/（叩）=焉喘一专卜焉与焉现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是:WMpgp(4"(皿). (I ) P(B) P(B)199吗卿总故选:C.5×103八、求离散型随机变量X的均值与方差的步骤（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值.（2）求X取每个值时的概率.（3）写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求。(.【典例1】(2023上江苏镇江高三统考开学考试)己知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)=g,则D(X)=()8 - 9B.23-27C3 - 12 - 8D.【解析】因为E(X) = g,且各概率之和为1,C 八 1,1-2 + 0×-+ /) = 所以133a+-+b=1314 =一9b = -9所以 O(X) = X 一2 一(号.故选:9B.【典例2】(2022全国高三专题练习)设O<<l则随机变量X的分布列是则当。在(0,1)内减小时，(A. O(X)减小B. Q(X)增大C. O(X)先减小后增大D. O(X)先增大后减小【答案】C【解析】根据题意可得，E(X)=组里=WL所以O(X)在(OB)单调递减，在g,D单调递增，所以。(X)先减小后增大.故选：C.【典例3】(2023上浙江高三校联考阶段练习)设离散型随机变量X的期望和方差分别为E(X)和。(X),且E(X)T,则()A.E(X+I)?)=O(X)B.E(X+I*O(X)C.E(X+1)2)>D(X)D.E(X+1)2)和。(X)大小不确定【答案】C【解析】设E(X)=M+/，n则D(X)=，-E(X)2+(工一E(X)2+-E(X)2,nP(Y+-(xi+1)2+(x2÷1)2+(Xa+l)2n=(X：÷Xj+x：)+2(X+X,+X”)+=(x2÷X1+x；)+2nE(X)+n,=«+¥+片)一(E(X)2.,所以E(X+1)2)-D(X)=2E(XHL而/(X)二二(E(X)+1>>O,n所以E(X+1)2)>O(X),故选：C.九、独立重复试验与二项分布1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征,“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征.判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为,l-p,还要看是否为次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数.2、定参，确定二项分布中的两个参数和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列.4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值.相关公式：已知X6(，p),则尸(*=左)=(：料(1-尸”=0,1,2)，E(X)=np,D(X)=JW(I-p).【典例1(2023辽宁抚顺高三校考模拟预测)(多选)为备战2023年我国杭州举行的亚运会，某国乒乓球队加紧训练进行备战.该国乒乓球队主教练在训练课上，安排甲、乙两名男单主力队员与陪练进行对抗性训练，训练方法如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打两局，两人获胜局数和为3或4时，则认为这轮训练合4格，若甲、乙两人每局获胜的概率分别为。乃，每局之间相互独立，且a+b=.记甲、乙在轮训练中合格轮数为X,若E(X)=I6,则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数可能为()A.24B.26C.27D.28【答案】CD【解析】由题意可知XB(p),则E(X)=叩，设力=训练过关,4=一轮中获胜3局,4=一轮中获胜4局,则力=4U4，P(4)=P(4)uP(4),4«P(4)=。一)bob+a(l-b)ab÷ab(-a)b+aba(-b)=2ab(a+b-2ab)=2ab(2ab)=-ab-4a2b2,P(J2)=aabb=a1h1,QQQ则P（八）=-ab-4a2b2+a2b2=-ab-3a2b2=a6(-3ab)t8_令，”，则?(上沁良考33227由题意可知XB(,尸(力)，则E(X)=尸(力)9?,所以16w7",解得之27.故选：CD.27【典例2】(2023江苏连云港校考模拟预测)某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？“主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是*(1)求抽奖者获奖的概率;(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.【答案】(】)(2)分布列见解析，E(X)=?【解析】(1)设“敬业”卡有张，由已知可得与二，解得=4,Cg6C1C15故“爱国”卡有5张，抽奖者获奖的概率为-Jm=d4C1C15(2)若抽出的为“敬业”卡，则每个抽奖者获奖的概率为dx-jf=*?，9CX215C1C120若抽出的为“爱国”卡，则每个抽奖者获奖的概率为当，9C863所以，新规则下，每个抽奖者获奖的概率为P=捺=,所以XH),P(X=G)=C图O(%=0,1,2,3),则X的分布列为X0123P6472980243100243125729所以E(X)=3xg=g.十、求超几何分布的分布列的步骤第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N,M,的值；第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步：用表格的形式列出分布列。【典例U(2023陕西汉中高三校联考模拟预测)教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚，扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；【答案】(D言；(2)分布列见解析2【解析】(1)5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为:，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为P=CX停JX停卜喘；(2)X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0,1,2.P(X=O)=V=P(X=I)=9尸(=2)=g=3.C三10,7C;1010所以分