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专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点3阿波罗尼斯圆与向量专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点3阿波罗尼斯圆与向量【微点综述】涉及线段定比的有些平面向量题，或是涉及数量积的等式，可以转化成三点共线问题，构造阿波罗尼斯圆，建立平面直角坐标系，利用阿波罗尼斯圆解决问题.【典例刨析】例11.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量C满足则o+力-c+2c-Zil最小值为.【答案】I【分析】建立坐标系，设A(I，B(0,1),设OA=，OB=b，贝匕+方一。|+2|。一|=。£)+23。，构造相似三角形，设七(I?),可得AAECSacD,所以|。+一4|+2花-ZH=Co+28C=2(BC+CE).24E=T.【详解】如图，A(l,0),8(0,1),设OA=,O6=力，则向量C满足IlaI=J,设OC=c,所以点C为以A为圆心，以!为半径的圆上的一点，所以|。+一Cl=IC£)|,同理2c-b=26C,则K = F，又因 NCAE = ND4C,AC AD所以AECsaCZ),CF1所以=5,即CD=2CE,所以+h-c+2c"=CD+28C=2CE+2BC=2(8C+CE),由三角形的三边关系知2(8C+CE)2BE=2.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题.2y?2 .已知Be=6,AC=2AB,点£满足AD=7J他+2(1+(AC,设/(兑y)=卜日,若/（“，”/&,），0）恒成立，则/优,为）的最大值为.【分析】将已知但系AB +点寸C变形为京R网+工AB至点、F,使得IAq=2AB,取AC的中点E,并通过本+大=1得出点。在E尸上，再通过与已知条件得出/（%,yo）=An=AG,设IAM=m,再通过面积法与正、余弦定理得出IAGI即可利用一元二次方程最值与根式性质得出答案.【详解】延长48至点凡使得4F=2AB,取AC的中点E,连接EF,2VV则3耳所帚产,2A8)+x + y -AF +x+y x+yx+yx+y点。在EF上，过点A作AGJ.EF于点G,E由“边角边''公理可得：ZAM=ZXABC,：.EF=BC=6,./(为用=卜4，且/(,y)(M,%)恒成立,.(0,y0)=ADLin=AG,设A8=m,根据面积法知:2msinA+ 144-×12 = 4, 3m + 4m - 361m 2m当且仅当m=25时等号成立,"(%,%)a=4,故答案为：4.例3(2022浙江省宁波市邺州中学高三其他)3 .已知向量。也C满足IaI=Bgl=ICl=I,。乃=1,则c+1+glj的取值范围是.【答案】"7【解析】根据几何关系，设点4B,。的坐标，点C在单位圆上，故M=ca+lc-,=l(EC+BC),当8,EC三点共线时，即点C在Cl处时，取最小值，以及数形结合分析出最大值，计算得到答案.【详解】因为Ial=IJbl=2,ab=1,所以&方=?,设QA=，OB=b»OC=c>即4(1,0),B(l,3),D(-,0),点C在单位圆x2+=l±,因为c+a+1c-Z?|=IOC-0D+1OC-OB=IDC+11BC,设I£>CI=fEC,C(x,y),E(m,)，即J*+g)2+y2-1y(一m)2+(y一Uy,故E(-2,0),所以M=卜+引+*_*1忸。卜|明),如图，(I)当凤旦C三点共线，即点C在G处时，取最小值.因为M=卜+1+/C叫=名用+1叫)加国=G所以Mgn=G(2)当C位于G处时，取最大值，=(EC2+C2)=7,因为2(EeF+BC2)=(2CCl)2+(EB)2(4)2+(23)2=28,pEC2+c2i4,所以|£C|；3C|J型y8Cf",当且仅当IECI=IBCl取等号，故答案为：a【点睛】关键点点睛：本题考查向量模的最值问题，主要考查转化分析，数形结合分析，属于中档题型，本题的关键是根据根据条件设出定点和动点的坐标，根据数形结合分析,转化为点C位置讨论的问题.例44 .已知等边ABC的边长为2,点尸在线段AC上，若满足尸AP8-2l+l=0的点尸恰有两个，则实数/1的取值范围是.31【答案】24oZ【详解】分析：设QA=MOX2),根据PAPS22+1=0得到关于4的函数，由题意可得该函数在区间口2上有两个不同的零点，然后根据二次函数的相关知识可得实数4的取值范围.详解：如图，设QA=Mox2),则PC=2-冗，则PB=PA+AB=AC+ABy又ACAB=2x2xcos600=2,：,papb=-ac-ac-ab=-ac2-acab=x2-x.2I2)42;满足?4,8-22+1=0的点尸恰有两个，关于X的方程f-2l+l=0在区间0,2上有两个不同的实数根.设f(x)=x2x-2/l+l,则函数/(x)在区间0,2上有两个不同的零点，=l-4(-2+l)>0/(0)=-2÷l0,'/(2)=3-20，解得3V%<5.0<-<22实数几的取值范围是佶，!.点睛：(1)用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的运算律求解.(2)对于一元二次方程根的分布问题，可根据"三个二次''间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式(组)，通过解不等式(组)可得所求.CADA5 .已知AB是平面上两个定点，平面上的动点满足网=网=?，若对于任意的相3,不等式|。4叫叫恒成立，则实数左的最小值为.【答案】44【分析】建立坐标系，得点C。的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设IABl=1,以A为原点，AB所在直线为X轴建立直角坐标系，则A(0,0),8(1,0),设 C(X,y"mR +VmiTTItT- 1故动点CD的轨迹为圆，由C*MM恒成立，则"？ImmaX3故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题6 .已知点A(O,1),B(1,O),C(r,O),点O是直线AC上的动点，若A02|恒成立,则最小正整数1二.【答案】4【解析】设点D(x,y),根据IAO218。I列出关于O(X,y)的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点(,y),因为点。是直线AC上的动点,故上9=n*+。T=。由 IAOI2BZ) 得/+()，l)24(x-1)? + /,化简得(xgJ+(9依题意可知,直线AC与圆卜J+(y+gj=至多有一个公共点，所以b一3|、以解得f2+J或2-L所以最小正整数f=4.故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距离列式求解.属于中档题【针对训练】(2022广东广州高二期末)7 .古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点4、8的距离之比为定值/I(>0jl)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，A(-2,0),8(2,0),点P满足保=3,则点P的轨迹方程为.(答案写成标准方程)，R4P8的最小值为./、2【答案】x-+y2=-3【分析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对EVPB化简，结合轨迹方程可得X的范围，然后可解.【详解】设P点坐标为，)，则由黑=3,得WX+2)：+:=3,化简得IPSlJ(X2)2+.X2+y2-5x÷4=0,BP(x-)2+y2=.HPA=(-2-xi-y)yPB=(2-x,-y),x2+y2=5x-4所以PAP4=J2-x)(2-x)+y2=炉+),2_4=5x_8因为点P在圆(x-)2+y2=W上，1X4所以-3A4P812,故PAPB的最小值为-3.故答案为：fx-j+V=',一3(2022江苏高邮一中高二期末)8 .阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆''是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A,8的距离之比满足g=r(r>O且Zl,f为常数)，则P点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系Xoy中，4-3,0),B(3,0),动点P满足钏=2,则P点的轨迹为圆，该圆方程为：过点A的直线交圆于两点CO,且AC=CD，则ICa=.【分析】设尸(,y),根据M=2可得圆的方程，利用垂径定理可求ICQI=2«.【详解】设尸(,y),则Y(I+'=2,整理得到f+y-o+9=o,&-3丫+9即(x-5)2+r=16.因为AC=8,故C为Ao的中点，过圆心(5,0)作A。的垂线，垂足为M,则M为8的中点,3则IAM =故JT 时=Jl6 *联解得ICDI=2«,故答案为：(x-5)2+y2=16,2y9 .阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数M%>(U1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为4,动点尸满足局=6,则动点尸的轨迹所围成的图形的面积为PAPB最大值是.【答案】2;T24+163【分析】以经过A,8的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为丁轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方程，可得半径，从而得面积.由P(X,y),利用向量数量积的坐标表示求出PAP8,结合户在圆上可得最大值.【详解】以经过A,8的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为丁轴，建立直角坐标系，如图，则A(-2,0),8(2,0),设P(x,y),r=超，：=G>pby(x-2)+y2得：x2+-8x+4=0=>(x-4)2+=12,点尸的轨迹为圆(如图)，其面积为12笈.PAPB=x2-4+y2=Pi-4f如图当P位于点。时，Iopr最大，|。Pr最大值为(4+2jf=28+l6J,故¼P8最大值是24+16L故答案为：2g24+163.10 .在平面四边形ABCD中，NMZ)=90°,48=2,AD=I.若ABAC+HABC=-CACB,则C8+的最小值为一.32【答案】返2【分析】以A5的中点O为坐标原点，以AB方向为X轴正向，建立如下平面直角坐标系.设C(X,y),根据已知条件可求得C点在以。为圆心，2为半径的圆上，取4(4,0),可得AOBCAOCB-从而有Cg=2C3,因此=；(2C8+C。)=L(Cq+CD),因此只要CB+8最小即可.【详解】如图，以AB的中点。为坐标原点，以43方向为X轴正向，建立如下平面宜角坐标系.设C(X,y),贝J48=(2,O),AC=(X+Ly),4C=(xLy)因为A8AC+8A8。=ABAC+A8C8=4BAB=3C4C8所以A8A8=gAC8C,即：4=(x-l)(x+l)+/整理得：X2÷/=4,所以点。在以原点为圆心，半径为2的圆上.在X轴上取4(4,0),连接四。BCOBC可得A03CA0Cg,所以EK=3=2,所以BC=2BCoCUCCB+CD=(2CB+CD)=(BlC+CD)由图可得：当综CD三点共线时，即点C在图中的也位置时，8C+CO最小.此时C+CD最小为DB1=(4+1)2+12=年.故答案为运.2【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的几何应用.解题关键点有二，一是建立坐标系，求出。点在一个圆上，二是取点与，构造出AOBCA0C3,于是gC=26C,问题转化为求C。+C4的最小值.X2vIUUBrI11.在A8C中，4=120o,AB=2AC=6t点。满足A。=T+,贝IJAD3x+3yx+yIl的最小值为.【答案】噜【分析】令AE=:",A尸=2AC,可得4O=±AE+上A产，即。在直线样上,3+y+y从而当A。_L斯时卜。|最小，结合三角形知识得到结果.【详解】A。=8+红AC=上上(2AC),3x+3yx+y4+)人3)x+yf令AF=2AC则AD=-AE+AF,x+yx+y因为上+上=1,x+yx+y所以。在直线石尸上，从而当A。_L跖时,Ql最小，在AA£E中，AE=AB=2tAF=2AC=6fA=120°,由余弦定理得律=2ii,又Sw=TAE"应"=如尸网mta,26X立l得II_AEAFsinA_zxoxT_3回.Il”仙-2131故答案为：独E13【点睛】本题综合考查了平面向量与解三角形知识，考查三点共线、余弦定理，三角形面积公式等知识，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12.已知圆C的圆心在直线3x-y=0上，与X轴正半轴相切，且被直线/：x-y=O截得的弦长为27(I)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点8(7,6),且点M满足AM=2MB，记点M的轨迹为.求的方程，并说明是什么图形；试探究:在直线/上是否存在定点了(异于原点0),使得对于上任意一点p,都有制为一常数，若存在，求出所有满足条件的点7的坐标，若不存在，说明理由.(x-l)2+(y-3)2=9;(2)(x-5)2+(y-5)2=1,是圆；存在，X竺竺lo,oj,【分析】(1)设圆心(/,3f),根据题意，得到半径r=3卜|,根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出r=±l,从而可得圆心和半径，进而可得出结果；JC"b4I3(2)设M(X,)，)，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到4一一，代入圆CIyA=一12+3y的方程，即可得出结果；假设存在一点丁日。满足黑=丸(其中4为常数)，设尸(苍力，根据题意，得到1.%，、2=，再由，得到(x-5)2+(y-5)2=l,两式联立化简整理，得到J(t)-+(y)-X(IO-I(U2+22)+j(10-102+2U2)-49+492-22t2=0,推出嚷崂*求解得出L即可得出结果【详解】(1)设圆心(/,3f),则由圆与X轴正半轴相切，可得半径r=3”.由7+2/=/,解得/=±1.故圆心为(1,3)或(-1,-3),半径等于3.圆与X轴正半轴相切圆心只能为(1,3)故圆C的方程为(X-1)?+(y-3)2=9；(2)设M(X,y),则：AM=(X-XA,一%)，MB=(7-x,6-y),x-xa=14-2xIxa=-14+3xJf=32y-j%=T2+3y点A在圆C上运动.(3x-14-l)2+(3-12-3)2=9即：(3x-15)2+(3y-15)2=9A(x-5)2+(y-5)2=l所以点M的轨迹方程为(x-5)2+(y-5)2=1,它是一个以(5,5)为圆心，以1为半径的圆；_zxPO假设存在一点丁满足苻=4(其中4为常数)设Pay),则：=T=2JaT)+()，T)整理化简得:X2+/=2x2-2tx+t2+y2-2ty+t2),Yp在轨迹上,(x-5)÷(y-5)=1化简得：+=10x+10y-49,所以IOX+10¥-49=万(10工+10)49一2/工-2/，+2/2)整理得X(IO-IO%2+2fl2)+y(IO-IO42+2/42)-49+492-242/=0IO-IOA2+2r2=0-492-222=49'49解得：，=言,存在，浣）满足题目条件.【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.