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专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点1阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点1阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现.处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.阿波罗尼斯(APolIOniUS约公元前262192),古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究.他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点48,设。点在同一平面上且满足普=4,当2>0且1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆.(义=1时尸点的轨迹是线段AA的中垂线)2、阿波罗尼斯圆的证明PA【定理1】设P(x,y)，A(a，o)，8(dO).若菽=A(>05.l),则点尸的轨迹方程是(X-碧+),2=(簧j,其轨迹是以(驾口,o)为圆心，半径为的圆.证明：由RA=/IP8及两点间距离公式，可得(x+a)2+y2=42(-)2+y2,化简可得（I-尤卜2+02）y2+20+42）奴+（-砌2=0，（1）当义=1时，得X=0,此时动点的轨迹是线段A3的垂直平分线：（2）当ll时，方程两边都除以1_万得¢+2+辿上士+6=0,化为标准形,，2式即为:2-l的圆.+T爱j,点P的轨迹方程是以（nT为圆心，半径为MB NB理及勾股定理得QB? = MB BN = 孚-,QA2 = AB2 + QB2 = "?，于是I2-II2-Iz4WWcIn图图图阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】A,3为两已知点，M,N分别为线段A8的定比为4（4"）的内外分点，则以MN为直径的圆C上任意点尸到48两点的距离之比为九.证明：以义1为例.如图，设A8=2a,坐=丝=4,则AN=半，BN=生一2a=/.过B作A8的垂线圆C交于Q,R两点，由相交弦定MQ,N同时在到A,B两点距离之比等于义的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，.圆C上任意一点尸到48两点的距禽之比恒为4.同理可证0v2vl的情形.3、阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当ll时，点B在圆C内，点A在圆。外；当0义1时，点A在圆C内，点B在圆C外.性质2：因AQ2=AMAN,故AQ是圆C的一条切线.若已知圆C及圆C外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =卢，4兀a/，面积为(力_/.性质4：过点A作圆C的切线AQ(Q为切点)，则QM,QN分别为NAQB的内、外角平分线.性质5：阿波罗尼斯圆的宜径两端是按比例内分A5和外分A5所得的两个分点，如图所示，M是48的内分点，N是AB的外分点，此时必有PM平分NAPB,PN平分NAPB的外角.证明:如图,由己知可得附嗡嚼，於。且eSNBM MB又 SyAM =；PA pMSin ZAPM，SAPBM=-PB PMsinZBPM 2PA PMsinZAPMPB PMSm/BPM -.sinAAPM=sinZBP,/.ZAPM=ABPM,/.PM平分/APB.由等角的余角相等可得NBPN=NDPN,PN平分/APB的外角.性质6：过点3作圆C不与QR重合的弦m，则AB平分/EAF.证明：如图，连结ME,MF,由已知W=普=4，,普=会"=警(4>0卜BEBkBrASgBFkB且ll),又cI,./AAdcIAfiAEsinZBAEEBAESMBE=-BAEsinNBAE,SMBF=-AHAFsmZ.BAF.-=22AB-AFsnZBAFFBAF:.sinNBAE=sinBAF,.ZBAE=乙BAF,48平分ZEAF.sin/BAE=sinZBAF,./BAE=/BAF,AB平分ZEAF.【典例刨析】例I.(2022河北盐山中学高二期中)1.已知两定点A(-2,l),B(2,-l),如果动点尸满足IPAl=P3,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.【答案】40;T【分析】设尸(,y),根据题设条件，结合两点距离公式列方程并整理即可得P的轨迹方程，即知轨迹为圆，进而求其面积即可.【详解】设P(%,y),由题设得：(x+2)2+(y-l)2=2KX-2)2+(y+l)2,(X-6)2+(y+3)2=40,故尸的轨迹是半径为月的圆，图形的面积等于40万.故答案为：40;T例2.(2022四川涪陵月考)2 .若ABC满足条件AB=4,AC=2BC,则ABC面积的最大值为.【答案】y【分析】设BC=X,则AC=2x,由余弦定理得出cos3,根据三角形任意两边之和大于第三边得出工的范围，再由三角形面积公式，结合二次函数的性质得出答案.【详解】设BC=X,则AC=2文，由余弦定理可得cos8=S+.72x)2=3二支2×4×x8x由三角形任意两边之和大于第三边得解得U<x<4,即袅/<16x+4>2x39SaAiC=T"MSinB=2xJ1-c<b=zJX，二I=J蜉当V4时，AABC面积取最大值与故答案为：牛【点睛】本题主要考查了求三角形面积的最值，涉及余弦定理的应用，属于中档题.3 .已知圆O：V+y2=9,点8(-5,0),在直线08上存在定点A(不同于点3),满足对于圆。上任意一点P,都有为常数，试求所有满足条件的点4的坐标,并求再【分析】根据两点距离的坐标运算可得(IO/+2?1+34/12-/_9=0,进而得,即可求解.102+2a=03422-2-9=0【详解】设Pay),A(w)M-5,设丽=2>0(舍去),PAPB化简得：(10乃+2卜+3472-"-9=o,该式对任意的xw-3,R恒成立，故102+2a=0342-«2-9=04 .在平面直角坐标XOy中，已知点A(LO),3(4,0),若直线x-y+m=0上存在点。使得IPAI=JPB则实数制的取值范围是.【答案】-22,22【分析】根据P4=gP4得出点尸的轨迹方程，又点产在直线x-y+帆=。上，则点。的轨迹与直线必须有公共点，进而解决问题.【详解】解：设洋乂1则IPAk(x-l)2+(y-O)2,PB=(x-4)2+(y-0)2,因为IM=JP川，所以有(x-D2+(y-0)2=(x-4)2+(y-0)2,同时平方，化简得/+y2=4,故点P的轨迹为圆心在(0,0),半径2为的圆，又点尸在直线X-y+?=。上，故圆/+V=4与直线工-)，+帆=0必须有公共点,所以IznlF+T2,解得一2五m2五.【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆的位置关系的问题，解题的关键是能从题意中转化出动点的轨迹，并能求出点的轨迹方程.5 .阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距禽之比为2(>0,且；ll),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,8间的距离为2,动点尸满足相=6,则IPAr+P8的最大值为()A.16+83B.8+43C.7+43D.3+3【答案】A【分析】设A(To),8(1,0),P(x9y)f由翳=石，可得点P的轨迹为以(2,0)为圆心,半径为5的圆，又归1+仍呼=2(炉+丁+),其中f+),2可看作圆-2)2+y2=3上的点(,y)到原点(0,0)的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设A(TO),8(1,0),P(xfy)f因为黑所以忙卑£:必,即(-2)2+y2=3,附J(I)2+y2I7-所以点P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为"的圆，因为IPAl2+PB2=(+l)2+y2+(7)2+y2=2(2+y2+),其中9+,2可看作圆(丸-2)2+丁=3上的点(尤田到原点(0,0)的距离的平方，所以(3+y2)g=(2+4y=7+43,所以2(+y2+)L=6+8J,即附2十附2的最大值为16+8j,故选：A.例6.(2022四川.成都外国语学校高二月考)6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数2仕>0且攵=1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A(T,0),8(2,0),圆C：a-2)2+(ym)2=；(m>0),在圆上存在点产满足|网=2归同，则实数用的取值范围是()住kifa(呷d.ff【答案】D【分析】设尸(,y),根据I尸a=2pb求出点P的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设尸(X,y),因为点A(TO),B(2,0),P=2PBt所以J(X+1)2+y2=2J(X-2p+y2即2+y2_6x+5=0,所以(x-3)2+),2=4,可得圆心(3,0),半径R=2,由圆C:一2)2+(丁一根)2=；可得圆心6'(2,加)，半径r=g,因为在圆C上存在点。满足I尸A=2P8,所以圆(x-3)2+y2=4与圆C:(工一2+(-"=；有公共点，所以2-3J(3-2)+痴2+(,整理可得：1+"P彳，解得：或22所以实数制的取值范围是冬耳,故选：D.【针对训练】7.在平面直角坐标系Xay中，己知圆O:/+y2=,Q-4p+y2=4,动点P在直线x+J)i=O上，过P点分别作圆O,的切线，切点分别为AI,若满足尸8=2¼的点P有且只有两个，则实数匕的取值范围是.20【答案】(-y,4).【分析】设出点的坐标，将原问题转化为宜线与圆相交的问题，求解关于力的不等式即可求得实数b的取值范围.【详解】由题意。(0,0)0(4,0).设PaJ),则：PB=2PA,Ja-4)2+)尸-4=2yx2+y2-1，(L4)2+y2=4(x2+y2),圆心坐标为Ho),半径为g,动点P在直线x+5厂氏0上，满足PB=ZPA的点P有且只有两个,工直线与圆X2+y2+X-y=0相交，I-I-J圆心到直线的距离,3/8,a=1<l+33.416,416.<b<+,3333即实数b的取值范围是卜弓,4).【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.ICAlIDAl8 .已知AB是平面上两个定点，平面上的动点满足网=阿=?，若对于任意的相3,不等式c4%bq恒成立，则实数左的最小值为.【答案】44【分析】建立坐标系，得点C。的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设IABl=1,以A为原点，AB所在直线为X轴建立直角坐标系，则A(0,0),8(1,0),故动点的轨迹为圆，由c4H"恒成立，则"？ICDLX4m3故答案为:4【点睛】本题考查圆的轨迹方程，平面问题坐标化的思想，是难题9 .已知点A(O,D,BQO),仅，0),点。是直线AC上的动点，若IAOl28D恒成立，则最小正整数/=.【答案】4【解析】设点Oay),根据IAoI28Q列出关于。(x,y)的关系式,再数形结合分析即可.【详解】设点Oay),因为点。是直线AC上的动点,故三=亍nr+"T=O/2/、2由IAOI2B0得2+G，一l)24(x-l)2+)，2,化简得卜-g+卜+；j2.依题意可知,直线AC与圆卜-J+(y+gj=至多有一个公共点，所以b一3|、以解得f2+5或Y2-L所以最小正整数f=4.时速故答案为：4【点睛】本题主要考查了直线与圆和向量的综合运用,需要设点的坐标表达所给的信息,再数形结合利用圆心到直线的距禽列式求解.属于中档题.10 .在平面直角坐标系XOy中，己知圆0：X2+y2=,圆a：(x+4)2+y2=4,动点P在直线，：x-2。，+匕=O上(8v),过P分别作圆。，。的切线，切点分别为A,B,若满足PB=2R4的点尸有且只有一个，则实数6的值为.r_.,28【答案】一§.【分析】根据圆的切线的性质和三角形全等，得到IPaI=2pq,求得点P的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解.【详解】由题意得：50,0),O1(-4,0),设P(x,y),如下图所示必、PB分别是圆。，。/的切线，.NP8O=N¾O=90°,又.PB=2M,BO=2AO,：PBOlS最人0,P01=2P0,IPO112=4PO2,(x+4)2+/=4(÷),整理得(XT+丁吟，48点P(x,y)的轨迹是以(*0)为圆心、半径等于2的圆，动点P在直线/：x-2。+力=O上"v),满足P8=2¾的点P有且只有一个，A该直线/与圆(X)+V2=一相切，39-+b?n98圆心(30)到直线/的距离d满足d=r,即一3,解得。=上或-号，312÷(22)233328又因为v,所以=-二.3【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点尸的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.II.在平面直角坐标系XOy中，M,N是两定点，点P是圆。：Y+y2=上任意一点,满足：PM=2PN,则MN的长为.【答案】I【分析】不妨就假设M,N在X轴上，设M(皿0),N5,0),P(x,y),由尸"=2尸N可得/+2+止即/42/=0,然后和方程/+y2=对比，就可以求出7,33【详解】由于M,N是两定点，不妨就假设M,N在X轴上如图所示：设M(m,0),N5,0),尸(x,y),PM=IPN,：.PM-=APN"：.(x-w)2+J2=4(7)2+y2,即X2-2mx+m2+y2=4x2-Snx+4n2+4y2,3x2+(2n-8)X÷3y2+42-m2=O,X +y +2m - 8w 4 - m x +=O与f + y2 =表示同一个圆2m-8/7=0'(/?22-4«2=1m=2tn=-2.,.1或1=n=2 23 MN=-.23故答案为：.【点晴】本题考查的是圆的方程和点的轨迹方程的求法，较简单.(2022辽宁高二期中)12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值“l>O且4工1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系XQy中，4-2,0),IPI13(4,0),动点。满足万j=5.设点尸的轨迹为G.求曲线G的方程；(2)若曲线G和G：。-4)2+(卜-6)2=/(/>0)无公共点，求的取值范围.【答案】(I)(X+4)2+y2=i6(2)(0,6)(14,÷oo)IPAI【分析】(I)设P(,y),然后根据局=5列方程化简计算即可得曲线Cl的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得IGGI>4+r或IGGkr-4,从而可求出厂的取值范围(1)设P(x,y),IPAI1因为A(-2,0),8(4,0),动点尸满足两w÷2)J÷lfJ(X-4)2+),22化简得/+y2+8=o,gp(+4)2+y2=16,所以曲线G的方程为(x+4)2+y2=i6,(2)曲线G的圆心为C(-4,0),半径为4,_C?:(x-4)2+(y-6)2=户(Co)的圆心为C2(4,6),半径为r,因为曲线G和CC2:(A4尸+(y-6)2=r2(r>0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以ICGI>4+r或IGGl<一4,所以J(Y4)2+(0-6)2=10>4+J(T-4)2+(0-6)2=IOVr-4,所以OVrV6或r>14,所以的取值范围为(0,6)(14,+oo)