控制工程基础第3章时域分析法.docx

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1、第三章时域分析法教学时数：8学时教学目的与要求：1 .熟练掌握、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数,特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2 .了解阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3 .正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。4 .正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。5 .熟练掌握计算稳态误差的方法。6 .掌握系统的型次和静态误差系数的概念。教学重点：时域分析介绍、一阶和二阶系统分析与计算、系统稳定性分析、稳态误差分析及计算。教学难点：稳定性判据和稳态误差计算。控制系统的数学模型，是分析

2、、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上。3-1时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。二、典型初始状态，典型外作用1 .典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。(a)(b)(c)图3-1典型外作用(d)2.典型外作

3、用单位阶跃函数l(t)其数学表达式为：/(l) = l() = 00 r0其拉氏变换为：(r)=F（八）=k-r=-0S单位斜坡函数其数学表达式为：/(z)=z,(z)=t0t00r0)6一阻尼比例-无阻尼振荡频率二阶系统的反馈结构图0-.3A-IS(S+2眄)图3-7二阶系统的反馈结构图二阶系统的传递函数：G(三)=闿开环传递函数：s(s+2n)CG)_,一闭环传递函数：R(三)s2+2go”s+二阶系统的特征方程为：*+2,必s+成=解方程求得特征根：2=-血S必7?0Si,S2完全取决于？，COn两个参数。当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：c(f)=4+A2*式中为由r(l)和初

4、始条件确定的待定的系数。特征根分析?l（过阻尼）512=-nlly2-此时si,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。特征根分析一6二0（零阻尼）sl2=-nny2-1=此时si,s2为一对纯虚根，位于虚轴匕SI,2=jn特征根分析一一l,0(负阻尼)5lt2=-lljj-2,此时si,s2为一对实部为正的共扼复根，位于复平面的右半部。特征根分析一1)二阶系统的单位阶跃响应W=/L_!1(5-51)(5-5,2)S(4+1)S+l)SSl=一眄+&27=-1/7；邑=一眄一nJ-=-1/7；取C(S)拉氏反变换得:h(t) IheT2Ti-+J一 i过阻尼系统分析：衰减项的导指数的绝对值一

5、个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；衰减项前的系数个大，个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统单位阶跃响应与阶系统阶跃响应的比较:二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析:1 .误差C=Iimr(f)-c(f)=O2 .响应没有振荡cr%=O对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论心，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面,但确定L的表达式是很困难的，一般根据(314)取相对量刀及

6、工/乙经计算机计算后制成曲线或表格。2.欠阻尼(0, + arccos )得:-5iz(z)max = h(tp) = 1, sin(- + arccos ) -1 +2所以:% =力2 力(8)00% =产值 100%/7(8)4.调节时间4写出调节时间的表达式相当困难。在分析设设计系统十，经常采用下列近似公式。当阻尼比？0.8时3 5、=轰(取5%误差带)I=募(取2%误差带)三、二阶系统举例2设位置随动系统,200, 1500, 13. 5 时, 并分析比较之。其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA= 输出位置响应特性的性能指标：峰值时间调节时间L和超调量o,例题

7、解析(1)输入：单位阶跃系统的闭环传递函数：(S) =s + 34.5S + 5K ； /1例题解析(2)当KA=200时系统的闭环传递函数：(S) =IOOO52+34.5j + 1000与标准的二阶系统传递函数对照得:l=i=31.6=-=0.54524峰值时间：t=O.12秒超调量：c%=e1Y=13%3O调节时间：4=22=0.17秒例题解析(3)当KA=1500时系统的闭环传递函数：(三)=、5x150_52+34.55+7500与标准的二阶系统传递函数对照得：t=7500=86.6=-=0.22峰值时间：t=;=0.037秒Pi三784.85超调量：o%=e忘r=52.7%调节时间

8、：4=辿=0.17秒例题解析(4)当KA=13.5时系统的闭环传递函数:=67.5s + 34.5S + 67.5与标准的二阶系统传递函数对照得:34Sco=67.5=8.21=2.1峰值时间：/=?超调量：(7%=02例调节时间：4=(6.45g-1.7)=1.44秒系统在单位阶跃作用下的响应曲线四、改善二阶系统响应的措施1 .误差信号的比例一微分控制图321比例一微分控制二阶的系统系统开环传函为：G(Sq=WRE(三)s(s+2血)闭环传函为：=2脸F)RG)s2+(2n+TM)s+或等效阻尼比：d=Tdl可见，引入了比例一微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可

9、以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制(和称为超前控制)，能在实际超调量出来之前，就产生个修正作用。前面图的相应的等效结构q）和C2）及c）的大致形状如下一方面，增加7；项，增大了等效阻尼比的，使Ce）曲线比较平稳。另一方面，它又使,（Z）加上了它的微分信号。2），加速了c（t）的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比心的平稳作用。总结：引入误差信号的比例一微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数刀。若7；大一些，使CIQ）具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。2 .输出量的速度反馈

10、控制将输出量的速度信号c（t）采用负反馈形式，反馈导输入端并与误差信号e（t）比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。C(S)ts图3-25输出量的速度反馈控制系统闭环传函为:(s)=丝2=R(三)S2+(2n+K成)5+OT等效阻尼比：t=K,n等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。3 .比例一微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例一微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较日4口J贡o从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，

11、但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。五、高阶系统的时域分析定义：用高阶微分方程描述的系统称高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。一、二阶系统的极点分布如下：3-3系统稳定性分析本节主要内容:线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的判定方法。一、

12、系统稳定的概念是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。二、稳定性的数学条件设系统的线形化增量方程为:dtn-dc(t) dmr(t) l+ +. + anc(t) = + b.n- dt n 0 dt,n 1dm-r(t)dtm-i+ - + -1对上式行拉氏变换得:(05n+1,14FanAs+an)C(s)=(b0sm+blsm14卜bm_s+bm)R(s)+Mq(三)或简写为：O(三)C(三)=M(三)R(三)+MOG)其中：D(三)为系统闭环特征

13、式，也称输出端算子式；M(三)称为输入端算子式。R(三)为输入,C(三)为输出，MO(三)为总的初始条件，与系统的初始状态有关的多项式。则有:C(S) =M(S)Rs) +MO(S)DG)假定：O(三)=/fl(s-*)其中Si互异。/=1将C(三)等式右的两项分别展开成部分分式，可得C(三)=S4+为上+f工=STjR-SrjS-Si再进行拉氏反变换，得Aiest+ByevJ=I=11=1Z与e%该部分为稳态分量，即微分方程的特解，取决于输入作用。7=1Xa/7,tG-该为瞬态分量，即微分方程的通解，运动规律取决于心，由系统的结构I=II=I参数确定。系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决

14、定。此时系统的输入为零。故：稳定性定义可转化为：IhnX(Ao+C1)=O式中，Ai,Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根Siil的性质。特征根的性质对系统稳定性的影响当Si为实根时，即Si=Oi：(7i0时:Iim(A+Ci)es,t=0(J.=0时：Iim(A+C)es,t=Aj+Ci0时：Iim(A,+C)es,t=I80图3-26 实根情况下系统的稳定性特征根与系统稳定性的关系(2)当Si为共规复根时，即S/+=6 jiIimKA, +C)/ +(4川 +Cl.+1)- = lime( +Ci)et +(Ai+l+Ci+l)eoo=Iim e,Asin(it + i) OO若

15、50,则Iim e, A sin(cojt 1) = 00 18共朝复根情况卜.系统的稳定性:图3-29共物复根情况下系统的稳定性结论：系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：SE(三)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另种表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虚轴之左。三、稳定性判据判据之一：赫尔维茨(HUrWitZ)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk(k=l,2,3,.n)全部为正。赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：O(三)=aQsn+alsn-l+an,ls+

16、all=0(一般规定%0)各阶赫尔维茨行列式为：举例：系统的特征方程为:2+53+352+55+10=0试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解0(三)=2/+/+3/+55+10=0第一步：由特征方程得到各项系数4=2ai=1a2=33=54=10第二步：计算各阶古尔维茨行列式。0=0=22=q=la.a.15D)=I3=l3-25=-7a0a223判据之二：林纳德一奇帕特(Lienard-ChiPard)判据系统稳定的充分必要条件为：1 .系统特征方程的各项系数大于零(必要条件)，即ai0(/=0,1,2,n)2 .奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即奇或。偶单位负反馈系统的开环传递函数为

17、：、KG(三)=5(0.1+1)(0.255+1)试求开环增益K的稳定域。解：第一步：求系统的闭环特征方程D(三)=5(0.15+1)(0.255+1)+r=00,025s3+0,35s2+s+K=O第二步：列出特征方程的各项系数a0=0.025al=0.35a2=14=K第三步：系统稳定的充分必要条件是：(1)a,.0,要求K0。20即：D2=a-=35K=0.35-0.025C0旬生00251解得：KV14开环增益K的稳定域为：0K+l)s+K2 .引入比例一微分控制在原系统的前向通路中引入比例一微分控制。KH$2(5)-图3-33引入比例一微分控制H(s)_K(s+)而TJF小+(+K)

18、其闭环特征方程为：Tms3+s2+Ks+K=O由稳定的充分必要条件：4o,则Tln，K均大于零；D2OyD2=axa2-4%则K-KTmO=T7;rt引入比例一微分控制后，补上了特征方程中S的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。3-4稳态误差分析计算一、误差与稳态误差系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值一实际值图3-34控制系统的典型结构误差:(1).e(t)=r(t)-c(t)(2).e(t)=r(t)-b(t)稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间I趋于无穷时，e(t)极限存在,则稳态误差为：%也二、稳态误差的计算若e(t)的拉普拉斯变换为E(

19、s),且Iime(f),limsE(s)存在，则有=lime，)=IimsE(s)X50XT50在计算系统误差的终值(稳态误差)时,遇到的误差的象函数E(三)一般是S的有理分式函数,crcxIimea),IimsE(三)这时当且仅当SZi(三)的极点均在左半面，就可保证S8ST)存在，式6C=Iime)=limsE(s)-8STo就成立。SE(三)的极点均在左半面的条件中蕴涵了闭环系统稳定的条件。对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)B(三)=诙(s)R(s)+M(三)N(三)其中.(s)为B(s)对R(s)的闭环传递函数，8N(三)为BG)对NG)干扰

20、信号的闭环传递函数。从而得:E(三)=R(三)-br(三)R(三)-bn(三)N(三)=1br(三)R(三)一bn(三)NG)-11+G(S)G2(S)H(S)= ER(S)称之为系统对输入信号的误差传递函数O-=FR (S)l + G1(s)G2(s)f(s)称“砒(三)为系统对干扰的误差传递函数。综上述各式有:E(三)=ER(三)R(s)+EN(三)N(三)若具备应用终值定理条件，则%=IimsE(s)=IimSERG)+IimsEn(三)=esr+exsnSTOSToSTo例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=l(l),干扰n(t)=l(t)时，求系统的总的稳态误差图3-36 系统结构

21、解：判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数人|*2大于零，系统就稳定。求E(s)o(s)r0svDq(三)qp(c-ect=Iim=Iim8) =GIw5。SgOG)+KN0(s)s-SlA(三)+KN。6)当U=O时，Q=急当H=I时，exx=0当用2时，ess=0要消除阶跃作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。2 .斜坡输入下的稳态误差r(t)=V0tl(t)RG)=F%=lim 5)(”so-AG) +KNO(S)7=当U=O时，08W=I时，=后当l=2时，esx=0要消除斜坡作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。3,等

22、加速输入下的稳态误差制=竽3R(三)/ess=HmSF=Iim尸。ST。svDq(三)+KNo(三)s3sosvD0(s)+KNOG)当U=0时，essoo当Iz=1时，ess要消除等加速作用卜的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。由以上分析可见，要消除系统在幕函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。V =0的系统称为0型系统；V =1的系统称为I型系统;V =2的系统称为H型系统;例：系统结构如下图：若输入信号为r)=l+f+Q产试求系统

23、的稳态误差。Km?5).(SI)包K1(rs+1)图3-38系统结构图解：判别稳定性。系统的闭环特征方程为S2(TmS+1)+KIKKIs+1)=OnTms3+/+.Kms+KlKm=0稳定条件：(1)TmfK,Km,幽应大于零；CTln根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求3从结构图看出，该系统为单位反馈且属H型系统。因此当输入r(入=l(t)时,essl=0；当输入r(f)=时,ess2=0；当输入Nt)/时，心=&=一2KKxKm所以系统的稳态误差C=4s+4+%3=SSSS1SS/KSDjrzFTzFKIKnI四、干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系图3-38 干扰作用下系统

24、结构图用一待定的Gl(三)来代替上图中的K-然后找出消除系统在干扰n(t)作用下的误差时G(三)需具备的条件。选择GIG)首先要保证S(三)的所有极点在S平面的左半平面。这时即=IimsNG),当为单位阶跃干扰时，有STO5+G1G)21-VN(三)=-,则e=limsS2。s+GK?设Gl(三)具有以下形式GK伍s+l)C)则,s+-e=limK1I=Iim*S(率+1)(7+1)%s+Gi(s)K2iSlNX(T+1)0s+l)+K(印+1)(句s+l)K?要使Q=O,则GI(三)中至少要有一个积分环节，即1为保证系统稳定，取GG)=I)(K0/0)s在满足稳定性前提下，就可使系统在阶跃干

25、扰作用下的稳态误差为零。以上分析表明，GG)是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间事函数干扰作用下的稳态误差与“与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=l(t),试求干扰作用下的稳态误差图3-41比例积分控制系统解：判断稳定性。系统开环传函为G(三)JK式平+1)*WS+1)所以闭环特征方程为：4+/+KiK2S+l2i=o稳定条件：(I)刀石，4，勺均应大于零。(2)TiT2求稳态误差从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有个积分环节，所以可得出，系统在阶跃干扰作用下的稳态误差匕血为零。实际上：RxG)=-en52(T2s+1)+(KlK2Tl)(+Tls)在满足稳定的条件下，因N(三)=Is,所以有qsn=limsFN(s)N(s)=OSTO本章知识点及联系：误差的定义终值定理判德