概率论与数理统计C课件第四章_反常积分的收敛性.docx

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1、习题&2反常积分的收敛判别法1 .证明比较判别法(定理8.2.2)；举例说明，当比较判别法的极限形式中/=O或+8时，J：。a)公和7)公的敛散性可以产生各种不同的的情况。解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在4+co)上恒有0f(X)K(x),其中K是正常数。则当风幻心:收敛时/(X)公也收敛；当/()公发散时jo()公也发散。证当收敛时，应用反常积分的CaUChy收敛原理，W0,30a,VA,A,Aq:J；xdx于是JA/(x)daKe(X)叫0,VAO,3A,A,o:f(x)cbcKo于是J；(xdx卜；(x)dx,所以J：/*)公也发散。(2)设在0,+8)上有f(x)0,(x)0,

2、且Iim=0o则当+f(x)dxXT+0(x)Ja发散时，J7(x)dx也发散；但当JfV(X)公收敛时，J7(x)dx可能收敛,也可能发散。例如/*)=4，(x)=(OP2),则Iim这=0。显然有Xxpx+x)rf(x)dx收敛，而对于广e(x)dx,则当lvpv2时收敛，当0-)，则Iim4=+oo0显然有xxp2XTye(X)广7*)公发散，而对于(外公，则当gl时收敛。2 .证明Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。证定理&23(CaUChy判别法)设在,+8)u(0,+oo)上恒有/(%)0,K是正常数。若/(x)匹，且pl,则r(x)公收敛；xpJ(2)若/(x)t,

3、且pl,则厂/(XMX发散。推论(CaUehy判别法的极限形式)设在k+oo)u(0,+8)上恒有U)0,且IimXPf(X)=I,+则若01时，积分J:卢公收敛，在其余情况下积分j,+xp井上公发散。Jl+p4 .证明：对非负函数/(x),(cpv)O(x)d收敛与公收敛是等价的。证显然，由70)办收敛可推出(CPV)J:x)办收敛，现证明当/(x)0时可由(cpv)IZfMdx收敛推出J二7(X)公收敛。由于(CPV)J=f(x)公收敛，可知极限IimF（八）=Iimaf(x)dxl+ool+ooJ-A存在而且有限，由Cauchy收敛原理，e0,30,VAA0:F（八）-F(Ar),于是A

4、,A)与8,90,成立Hfa)NI/（八）-尸（八）IVE与(x)F(B)-F(Bt)l时，誓=7,而/0-L公收敛，所以当pl时积分X1X1XpJ:处心绝对收敛；Jlp当0pl时，因为尸（八）=J:SinMr有界，；在口,+oo)单调，且Iim-L=O,由Dirichlet判别法,积分广皿公收敛;但因为当01+xjvPXP时积分J1应IdX发散，所以当0l时，sinxarctanx-,而-L公收敛，所以当时XP2xpj,XP积分sinxar;tan、x绝对收敛;当0pl时，因为尸（八）=J:SinMr有界，”写叫在1,+8)单调，且Iim吧吧=0,由DiriChlet判别法，积分J；SinX

5、arCtan收敛;但因x+coXPJlP为当0pl时积分8罩斗in加发散，所以当0m+ 1且X充分大时，有Sin工 q)与,可知当 m+1时 X积分厂器M绝对收敛。当=7+1时，因为尸（八）=J；sinxdx有界，且当X充分大时，1qQ)单调且Iim29=(),由DiriChlet判别法可知9SinMX收敛；但XTeq“(x)Jaq,l(x)由于当工+8时，区回J易知广 qn(x) X J,PmM .Sinx4(外公发散，所以当=加+1时，积分也3sinxdx条件收敛。纵(R)当机+1时，由Iim=A,A为非零常数、+8或-8,易知+8qn(x积分厂器M发散。6.设/(X)在W,切只有一个奇点

6、X=。，证明定理8.2.3和定理8.2.5。定理8.2.3,(CalIChy判别法)设在上恒有AX)0,若当X属于人的某个左邻域g-外,力时，存在正常数K,使得f(x)y且V1，则M攵敛；(2)f(x)S*，且1,则hafxdx发散。证(1)当P0, BOV(O,S):dx0,V30,V(0,5):0由于仁”(汹仁念T。，所以*(x)公发散。推论(CaiIChy判别法的极限形式)设在值切上恒有/(x)0,且lim(b-x)pf(x)=I,XTb-则若0v+,且pl,则/(冗M收敛；若0v+,且pl,则J：f(X)公发散。证(1)由Iims-X)P/(x)=/(pl,0Z0,Pxe(b-,b):

7、f(x)-1-1-,(Dp再应用定理8.2.3,的(Do(2)由IimS-X)P/(x)=/(p1,00,PXn,b):f(x)-，2(b-x)p再应用定理8.2.3,的(2)o定理8.2.5，若下列两个条件之一满足，则J(x)g(x)公收敛:(1) (Abel判别法)/(%)公收敛，g()在,6)上单调有界；(2) (Dirichlet判别法)/()=J/(x)dx在(O,b-上有界，g()在a,。)上单调且Iimg(x)=0。XTb一证(1)设Ig(X)IG,因为J(x)办收敛，由CaUChy收敛原理，V0,0,VA,A,(b-,b):f(x)dxo由积分第二中值定理，J：f(x)g(x)

8、dx伞(4J(x心卅g（八）“：f(x)dxGJ；f(x)dx+GJF(X0,30,VXS-5,0),有Ig(X)I。由积分第XTb-4M二中值定理，J：f(x)g(x)dx伞(硼(不同市(4)f(x)dx2Mg（八）+2MIg(A,)=.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有)g(x心收敛的结论。Ja7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性:IflInxhE公CJ一；。匕等公；jcos2xsn2X)pJ；IInXl公；T(I-X)2公；xp,d-xr,IlnxUx.解(1)因为-r=X=A(x0+),1-(x1-),m2(17)1x2(-x)(1_x)5所以积分J、dx收敛。0

9、Ijx2(I-X)(2)因为Iim?，=L且对任意OS即当x0Xfr2_12x0X2_1充分小时，有I聋。，所以积分1署公收敛。(3)因为;(x0+),=-(xg-),cosxsinXXcosxsinx(乙_%)22所以积分12I2公发散。J。cos-xsn2X(4)因为a丝L丁(0+),所以当p3时积分3些公收xp2xp-2jXP敛，当p3时积分”公发散。(5)首先对任意的OV5O0+充分小时，有IlnMP-1时,积分J；IlnXIP公收敛，当p-1时，积分J；IIn%I。公发散。(6) XPT(I-X)I-(X0+),K(l-x尸T(x1-),所xi-pd尸以在pO,qO时积分J；XkI(

10、I一)M公收敛，在其余情况下积分J：XpT(I-x)gdr发散。(7) XPT(I-X尸TlInXl一i(xl-),且(DFHmx2(P-(1-)-1IIn%I)=O,即当xO充分小时，有0+xp-,(l-x)1lnxO,gT时积分J；XPT(I-工尸IC1X2收敛，在其余情况下积分jZ(Jx)gIlnxldx发散。8.讨论下列反常积分的敛散性:。-nx(PMeR+)；1。及X-1)2(”2产;厂也3厂胆言公;*0JoXp小舞Z；广1xp + Xqdx ；J；xpln47xdx.解(I) J；中也办J Inx1 YP-I fl Jo Inx1dx-i3In X,f XPTTIdx+.dx o2

11、 Inx2当0,90时积分公与积分点高公显然收敛，且当xl一时,-T=k+(D)X_1_卜+(JT)ZTI(-。-1)InXln(l+(x-l)X-I即”一JyH公不是反常积分,所以积分J：片士公收敛。InxjoInx(2)Jr1dx=J：dx+j/1dxx(x-1)2(x-2)x(x-1)2(x-2)x(x-1)2(x-2)r+1,+Ldxcyx(x-l)2(x-2)因为V%U-1)2(x-2) 一点;(x0+),X3f1=(X1-)，V%U-D2(x-2)公收敛;因为-1)2(x-2) (Dg1 1 1(x 1+),V%U-D2(x-2) V2 I所以积分比1 dx收敛；y X(X I)2

12、(X 2)因为(X - 2一)，11 IzI Cr(x2+),V%U-D2(x-2)2-V1(x -1)? (x - 2)-(x +)，所以积分广x(x - l)2(x - 2)d收敛。由此可知积分Vx(X-I)2U-2)公收敛。zoXf+x1(1x).ri1(1+x).+1(1x)f(J)八dx=Ldx+IdxoJOpJpJIXp由蚂片击(x0+3可知当”2时，积分；电衿公收敛,当p2时，积分广，泮公发散；3，-1fz1、当时，Iim.(+x)=0,即当x0充分大时，有xxXP蚂匕义l时，积分8蚂SdV收Xpzl2JlXPX2敛，当Pl时，积分厂蚂詈1八发散；综上所述，当lp2时，积分厂叫R

13、dX收敛，在其余情况下X积分Jr蚂/公发散。zz1r+arctanXffarctanx.f+ooarctanx.(4) dx=FdIdxoJopJOPJlP由华竺一口0+),可知当p2时积分，蚂含公收敛；xpxpxp由牛算(3+如可知当“I时积分JF*公收敛。所以当12时积分J胆产公收敛，在其余情况下积分X9竺公发散。JOP(5) /、.2Jtanxr4tanxf2tanx(6) 1.XTL公=Jo由巫算T(XfO+3可知当p3xPF2Xl当p5时积分4号EA发散；由地手_2L_(x_b可知积分J：里手公收敛。Xp(-xY2Xp所以当p0时积分JdKeT公收敛，当p0时积分fC发散。(8) -

14、dx=7-!_drOJop+qJN+/j,xp+xq当p=g时，显然积分JUT；公发散；当PW夕时，由于1 111r-(x0+),”+KXmm(PW+/XmaX(PM所以当min(p,q)Vl,且max(p,4)1时积分JJ公收敛，其余情况0xp+xq下积分/一发散。j0p+x(f(8)设pl,则对任意的勿当X充分大时，有一!,可知积分jr丁厂公收敛。2J2XPIngX设pl,则对任意的夕，当X充分大时，有1,因为XPinqX四X21时积分r07公收敛，在其余情况下积分JrP公发散。9.讨论下列反常积分的敛散性：/1、c+cxT/c、f+*sinx/(1)0-dx(2)J1-dx(p0);j1

15、+x2JI+P“、f+es,nrcosx./八f+es,nxsin2x.JoXP公;JO3f11,(5Lcosdx；IJoNx2(p).尸XPT1”IXp1,J0:dx=I-dx+WdXCJl+x2jo1+x21+x2rP-1丫一1由7-(x0+),7二一*+8),可知当Ov”2时l+x2/-Pl+x2x3-p积分JuA办收敛，在其余情况下积分LrM公发散。(2)当夕p-1时，由且应用人由二萼(x0+),可知当时积分CegSXdX收敛,xpxpXp在其余情况下积分C之浮公发散。当pl时，易知积分J火警Udx发散；当p0时，易知积分/巴萼公发散。x,当()vi时，因为sin*coszx-,-L单

16、调减少，且Iim-L=O,由DiriChIet判别法；可知积分广”;。SXdX收敛。Xf+ooPJ|XP综上所述，当0pl时，积分J(Te-:。SQX条件收敛,在其余X情况下积分J:三篙公发散。/八f+es,nvsin2x,fes,nvsin2x,r+es,nvsin2x,(4) 0=Jo1dx。由.f2x-r*0+),可知当2时积分/产一，2%公收XXX敛，在其余情况下积分CeSEF2x公发散。X当lp2时，显然积分8出粤到公收敛；当p时，易知XI积分r之粤却以发散；当po时，易知积分厂之警公发散。XX当Opl时，因为jnsin2j=0,可知JjeSinXSin2zZt有界，且-L单调减少，

17、Hm-L=O,由DiriChlet判别法，可知积分XPXT+00XP(火詈，X收敛。综上所述，当1”2时积分广二2、X绝对收敛,当op时积分r出等公条件收敛，在其余情况下积分出出2公发XX散。(5)令7=1，则Xf111j1+oo1.1.cos-r=IcostatoJOXP22jl2pt2于是可知当”1时积分J(JTrCOS-X绝对收敛；当lpl时，因为M;,可知积分IP丁L绝对收XXX敛。sinx+-L.7L当023,而级数叫X1(bn+-I2J一!一发散,I /k、P=1 njr-I 2)所以积分.(nsin X + X)XP八发散；又因为 X+ X), -dxXps in I收敛，所以积

18、分01 1 X + XPdx条件收敛。./1、.11.1sm(x+-)sincosx+cossnxsinrAa=F*-*注意到当X充分大时，DJ，XpJlXPXPcosSinl与一U都是单调减少的，由DiriChlet判别法可知积分0-X10 .证明反常积分J；XSinX4SinX公收敛。证对任意AAA,由分部积分法,sinxcosxr COSX4 COSX显然，当A+8时，等式右端的三项都趋于零，由CaUChy收敛原理,可知反常积分J；XSinX4SinMX收敛。11 .设F(X)单调，且当x0+时f(x),证明：f(x)cbc收敛的必要条件是Iimxf(x)=Oox0+证首先由F(X)的单

19、调性，对于充分小的O(x)=Oo12 .设/(x心收敛，且*(x)在,+oo)上单调减少，证明:Iimx(ln)(x)=Oo证首先容易知道当x时，*(x)单调减少趋于O,于是有xfx)O,且Ox(lnx)f(x)丘炉,；没=JA/力。然后由CaUChy收敛原理，吧J2f(f)d”0,于是得到Iimx(lnx)f(x)=Oo13 .设/*)单调下降，且Iimf(X)=0,证明：若尸(X)在0,+8)上连续,则反常积分/(X)Sin2不小收敛。证首先由分部积分法,(x)sin2xdx=JJsin:df(x)=一()/(X)Sin2不八由于尸（八）=JjSin2x公有界，/*)单调下降，且lim(x

20、)=O,由JU+DiriChIet判别法，可知积分J/(x)sin2Mx收敛，从而积分JfY(X)SiMX公收敛。14 .设/(x)心绝对收敛，且Iimf(X)=0,证明广尸(x)公收敛。Jax+ooa证首先由Iim/(x)=0,可知HAa,VxA,有If(X)I4时,x+11成立2()(刈。因为积分7(幻公绝对收敛，于是由比较判别法,积分J：尸。)公收敛。15 .若J:尸公收敛，则称/(X)在k+8)上平方可积(类似可定义无界函数在凡句上平方可积的概念)。对两种反常积分分别探讨了(X)平方可积与/(X)的反常积分收敛之间的关系；对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；对无

21、界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。(1)/公收敛不能保证尸公收敛，例如:4、sinx则7(乃公收敛，但尸公发散；尸(X)办收敛不能保证J：”XMX收敛，例如：/(X)=-,则X:/2。心收敛，但7(外公发散。(2)j：尸公收敛不能保证力公绝对收敛，例如：八X)=皿X则“产公收敛，但7(XMX不是绝对收敛的；7/(x)dx绝对收敛不能保证7f1xdx收敛，例如：f()=n*2L则7杜绝对收敛，但广产公发散。O其他1L 1AX) = 7，则(3)由If(X)Igl+2(x),可知J；尸(XMX收敛保证J(x)dx绝对收敛;但J(x)dx绝对收敛不能保证产公收敛，例如：J

22、(x)公绝对收敛，但J2()公发散。16 .证明反常积分,+oosinXI1:dx“xp+sinX当p;时发散，当;l时绝对收敛。证当pl时，对充分大的,有JnX由于积分8二公Xp+sinxX1,xp收敛，可知积分绝对收敛。Jlif+sinX当0pl时，利用等式sinxsinxsin2x-xp+sinXxpxtxp+sinx)这时积分要公收敛；积分凄V当夫2时收敛当0弓发散。当; p 1时,由于r号n一SinXxp sinx2命.2因为级数/=15 + 1)+1发散,所以积分r个IX发散。综上所述，当-pl时,积分广条件收敛；当op!2JlpsinX2时，积分广一-公发散。1xp+sinX当”0时，因为有广哼SinX小广”曲公也）,由,2+p+sinx八所3216CaUChy收敛原理，可知积分公发散。1xp+snx