第7讲隐零点.docx

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1、第7讲隐零点利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异可分为以下两类：(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.(2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点.我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下：第一步:用零点存在性定理判定导函数

2、零点的存在性,列出一阶导函数零点方程/(与)=0,并结合一%)的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围.第二步:以一阶导函数零点/为分界点,说明导函数r(x)在/左、右两边的正、负号,进而得到了(力的极值表达式与).第三步:将零点方程广(/)=0适当变形,整体代人极值式子/K)进行化简证明.有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代人即可.请注意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用累函数替换,这是简化函数的关键.无参隐零点问题隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数/(X),导函数

3、方程r(x)=o的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为：第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程r()=o的根为%.第二步:写出零点等式r(%)=o成立.第三步:取点找出注意确定与的合适范围。第四步:把零点等式变形反带回了),进行简化,从而求解.例1已知函数力=3e*+x2,g(x)=9x-L证明:/(x)(x).【解析】证明：设X)=f(x)-g(X)=女，+幺-9x+l,.(x)=3e*+2x-9为增函数，.可设/()=0.(0)=-6vl)=3e-7o(O,1).当x/时,/(x)0.当x/时，(x)O,J7(x)minO,(x)(x).【例2】已知函数冗)=e-ln(x+2)

4、,求证:x)0.【解析】证明：:(力=-+在区间(-2,+8)上单调递增,又(-)(o,r(o)o,(X)=O在(-2,+oo)上有唯一实根x0,且%(-l,0).3x(-2,题)时,V0.当xw(%,+a)时J(x)O.从而当X=XO时,/（X）取得最小值.由/a）=。,得得=1Xo + 2Jn(Xo+ 2) = T0,/(x)J()=+/=(A：+0/(J)人CI4I乙【例3】已知函数/(Jv)=V-X-Jdiu.证明:/(x)存在唯一的极大值点与,且e(Xo)24.【解析】证明：/(x)=x2-x-xlnx,r(x)=2x-2-lnx.设MX)=2x-27nx,当XW(0,；卜j,z(x

5、)O.力（无）在（0,；单调递减,在（；,+/单调递增.又人32）0,仁）0,刈1）=0,.（x）在（。，；零点只有与，在；,+8）零点只有1,且当尢（0,）时,A(x)0.Sx(,1)时,力(%)0.当x(L+e)时,P(0.,(x)=A(x),X=%是/(x)在(0,1)上的唯一极大值点.由Z()=OWInr0=2(-1).,()=(1-)由毛(0,l)得0f(不)O得/()(e,)=e-2e2()0时/(x).2a+6zln-.【解析】/(力的定义域为(0,+e)J(x)=2e2xq(x0).当0W,(x)0,(x)没有零点.当a0时,.e2v单调递增,-q单调递增.X.J()在(0,+

6、。)单调递增.又r(G)O,当b满足0匕：且方时,r（八）0时，r存在唯一零点.(证明)由(1)题,可设尸(可在(0,+8)的唯一零点为小,当工.0,不)时，r()o当5,+0.故“X)在(0,0)单调递减,在(%,+力)单调递增，.当Jr=Xo时,/(x)取得最小值,最小值为/().由于2e?-q=0,a22./(j)=f+4fln-.2a+Hn-.2%)aaz9故当0时,/(x).2+ln-.【例2】已知函数/(x)=e*-In(X+m).当典,2时,证明:/(x)0.【解析】证明：函数/(力的定义域为(-n也),则r(x)=e=,=(i)el.x+mx+m设(x)=(x+n)ex-l.g

7、(x)=(x+m+l)e0,.g(x)在(-肛+)上单调递增.又，(-n)=-10,(2-w)=2e2-w-121-10.g(x)=0在(-加,+8)上有唯一实根x0.当xw(-m,x0)时,g(x)vOJ(x)O.当xw(%,+0,/(工)0,从而当工=冗0时，/(可取得最小值为/()由方程g(x)=0的根为X0,得e=3,ln(x0+M=To故f(0)=-+x0=-+(/+/W)-.2-机，当且仅当/+m=l时,取等号.x0+mx0+z又.,，2时,.j(%).0./(毛).0取等号的条件是+m=l,e%=M匕及?=2同时成立,这是不可能的,()0,(x)0.例3已知函数/(x)=e*M,

8、g(x)=用nx+Z(x+l).求司的单调区间.证明:当攵0时,方程x)=Z在区间(0,+8)上只有一个零点.设MX)=/(x)-g(x),其中Z0,若MX).0恒成立,求人的取值范围.【解析】f(x)=xex+l,.(x)=ex+,+ex+,=(x+l)ev+1,令r()o得.令r(x)o得xO9则(x)=+l)e叫由题可知力在(T+8)上单调递增，又r(0)=-MOj=屁-=MeE-10,.j(x)在(0,+e)上只有一个零点.故当人0,方程/(x)=A在区间(0,+力)上只有一个零点.(3)由题意得MX)=/(x)-(x)=ev+l-lnx-A:(x+l),(x0,Z:0),.(x)=(

9、x+)ex+l-k=(xex+,-A:).令/f(x)=0,贝IJXeM女=0.由题得MX)=m川-左,Q0,在区间(0,+。)上单调递增且只有一个零点.不妨设r(x)的零点为与，则当冗(0,x0)时,r(x)0,即h,(x)0,即,(x)0,此时A(x)单调递增，/.函数MX)的最小值为(毛),且(为)=与户“一Ah/-Mg+1)由与e。一A=0得Xo=-,故ev,+1h(xo)=k-kn-r-k(x0+1)=攵一kink.e根据题意(小).0,即k-dnk.O,解得0e=x0e,=IoIn(XOe)=Inx0+x0=0【例i】求函数/)=+i+(o)的最大值.【解析】由已知得1+xer-(

10、x+l)ex(x+lnx+l)F(X)(Xel)-(x+l)(x+lnj)x2ex.令(冗)二冗+Inr(X0),则“(x)=1+0.函数x)在(0,+)上单调递增.-l=-(o,()=)o,ee.存在XO(L1,使得*(%)=毛+1叫)=0,其中X()+ln%0=0XOe%=1(指对互化).当OVXVxO时,e(x)(0,F,(X)0.当X/时,(x)0,F(X)V0.打力在(0,%)上单调递增,在(%,+8)上单调递减./(X)max=f()=+*+l=1.XOe【例2】求尸()=x(et-l)-lnx+2,x0时的最小值.【解析】F(x)=ev-l+xev-=eA(x+l)-=(x+l)

11、fev-O.XXXj(x)=ev-,x0.令/(x)=e*+J0.MX)在(0,+上单调递增.=e-2(,(l)=e-l),存在唯一的小(；,1)使得Mxo)=e%-1=0当OVJrV不时/(x)0,即尸X。时/(x)即尸(冗)。故尸(X)在(0,瓦)上单调递减,在(如+8)上单调递增.FU)min=(ejb-1)-Inx0+2=XoeM7。-InXO+2,由于(%)=1-=fxoe=1,XO再对XoeAO=1两边取对数得x0+Inx0=0.F()min=%e-XO-InXO+2=1-0+2=3【例3】求G(X)=匕詈一e+2的最大值.X-(1+111)_ir22【解析】,(x=5e、=TnX

12、，0.v7X2X2令(X)=TnA:-x2ev,则“(X)=-工一(2xe*+x2ex)=-xev(2+x)0),./(6在(0,+。)单调递减又4(1)=1-ee20,/(1)=-e及时，x)L则g(x)=.X-l(X-I)令(X)=X-InX-2,贝W(X)=1一-./.当X(1,+8)时以X)0,则MX)单调递增,(3)=l-ln3(,(4)=2-21n2),.丸3,4),使得/7(/)=0。当x(1,0)时笈(力(0/,+05)时(力)0.gQ)min=g(/)=3。：”XOT.z（八）)=M-1叫)-2=0,1叫)=x-2.,g(%)min=g(毛)=GJ+”=(3,4)./一】.办

13、,不3,4),即正整数部J最大值为3.【例2】已知函数/(x)=2InX-20r+2,g(x)=d2一2(R),若z,且不等式fOg(x)在(O,-)上恒成立,求。的最小值.【解析】不等式/(x)g(x)为21nx-2ax+2,ax2-2x(0,+)上恒成立，/.不等式2(InX+1)”0r2+2dx-2x在(,+e)上恒成立.21nx + 2 + 2xx2+2x在(0,+8)上恒成立.设 MX) =21nx + 2 + 2xX2 +2x贝小)=-2(x + l)(x21nx)(x2 +2x)当x0时,x+l0,(2+2X)-0.设夕(X)=X+2InX.夕(犬)=1+-O,9(x)在(0,+

14、e)上是增函数,06)=；一2巾2(0皿1)=1)。，存在毛(g,使得/(%)=0.当0xa0时,)0,”()0.令F(x)=x(c-l)-lnx+2,x0.F,(x)=ev-l+xev-=(x+1)c-,xO.x+10,设。(X)=e,x0.则(力=e*+50.(力在(0,+?)上单调递增=7e-2,(l)=e-l6存在唯一的与(3，1)使得4%0)=*。-=O当OX/时,(X)。,即尸(x)/时,z(x)O,即F(X)0.故尸(力在(O,W上单调递减,在(%,+力)上单调递增.F(x)min=(ejb-l)-lnx0+2=eb-iu0+2,由于力(XO)=e-=O,Wxoexb=1.Xo再

15、对e%=1两边取对数得/+1咻=0.尸(x)min=/e-X0-Inx0+2=I-0+2=3./.4,3.即实数。的取值范围为3.隐零点缩小参数取值范围分类讨论分类讨论法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,也是按前面的分类讨论的基本步骤.不同的是,在验证某一类参数范围是否满足条件时,要利用隐零点来辅助验证,从而排除并缩小范围.【例1】若不等式b(x-l)e-IrU.O在1,+8)上恒成立,求的取值范围.【解析】由题意,b(x-l)e”-加.0在1,+功上恒成立.(1)若A0,当冗.1时,显然有-1联,0恒成立,不符题意.(2)若0,记ZZ(X)=6(冗一1)。“Inx,则z(x)=Z?X

16、er-L显然少(力在1,+8)单调递增.当s,x1时,“(X)廊e-lO.存在%1,使/(x)=0当X(1,)时,(x)0.z()在(LAO)上单调递减,在优,+8)上单调递增.,.当工(1,)时,(x)(l)=0,不符合题意.综上所述,所求匕的取值范围是+8).注意:本题可用后面章节的端点效应快速【解析】决.【例2】设函数/(%)=(0+1”*(1),对任意工0,+8),/(6，,工+1恒成立,求实数的取值范围.【解析】令Mx)=(办+l)e-l,则力,x+l成立等价于从力”0,若为0,当x.0,则Or+啜1,0()?1,而x+L.l,即/(x),x+1恒成立.若O2,则z(x)=ex(a-

17、1-0t)-l,当工.0,由G)=-l-0r(x)=-a0得r(x)是减函数，Ua)InaX=4。)=。-L,L又ex991,1.Zf(力0,。(可在0,上是减函数，此时当M三)M(x)Zi(O)=O.若tz2,2,()=eo(a-l-aO)-l=a-2O,/(l)=el(-l-a)-l=-e-,-l0,.(x)=0在(0,1)有零点.在区间x(O,l),设g(x)=z(x)=g(x)=e(0r+l-2)e(l-)O.在(o,)为增函数,即MX)在(0,%)上网x)Mo)=o.J()+,不合题意.综上可得,符合题意的的取值范围是(-8,2.注意:本题可用后面章节的端点效应快速解决.【例3】已知

18、F(X)=(X-I)e*-(2+1),龙石1,+8),若/(工).一2+111%恒成立,求实数的取值范围.【解析】令g(x)=(x-l)e-(f_I)TrLX问题转化为g(X).0在X1,+8)上恒成立.g(x)=xe2ax:注意至IJg(I)=0.当”、时,g=e-2-le,.ln(2+l)l,(ln(2t2+l)0.存在x0(l,ln(2tz+1),使g(%J=0.当(1,)时,gx)l,xex-(e-l)l,O-0,8(力在1,+0?)上单调递增.8(%).8(1)=0,满足题意.综上所述,4,曰.2【例4】已知函数Fa)=Xe-Hnx-奴,若对任意x0恒有不等式/(x).l成立,求实数

19、。的值.【解析】由题意知r(x)=(x+l)fex,l当”0时,r(x)=(x+l)卜-力0恒成立,此时一(力单调递增，外”的值域为R,不符合题意.(I11g=ge20时,令,(x)=(x+l)-X)=O可得e-g=O,即ev-=0.X令g(%)=eJ,则g(x)=ex+e=v(x+1)O,.,.g(x)=eX在(0,+单调递增.设存在Ai)(0,+8)使得e*,/=,两边同时取对数可得Ao+l11=Ino.则OX/眈ev-%a,fx)为时,e.%/(冗)O./.当X=XO时，/(x)mhl=Aj)*e%-6111-cixq=a-。(一与+Irk7)-%=a-ana.故只需-4lna.l即可，令MG=Cl-cina(c0),“=I-Ina-ax=-Ana,a由”(QAO可得0vl.由/()1.因此h(a)在(0,1)上单调递增,在(l,+cc)上单调递减,从而z()max=A(I)=I-O=L.()=一勿叫1.又.hc)=a-ana.,.ha)=a-(na=.由以上证明可知MI)=1,.a=.故满足条件的实数的值为1.