角度计算中的常见模型.docx

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1、角度计算中的常见模型模块导航.模块一模块二模块三模块四模块五A字型8字型 燕尾角 风筝型 课后作.业模块一基础知识A字型【条件】ADE-ABC.【结论】ZAED+ZADE=ZB+C.【证明】根据三角形内角和可得，ZAED+ZADE=180o-ZA,ZB+C=180o-ZA,ZAED+ZADE=ZB+C,得证.考点剖析【例1】如图，4BC中，=65。，直线。E交4B于点。，交AC于点七，则280E+nCE0=B. 215A. 180().C. 235D. 245【例2】如图，在ZkABC中，Z,C=90%Z-ABC=70,。是AB的中点，点E是边AC上一动点,将4DE沿DE翻折，使点A落在点4处

2、，当AEIlBC时，则NAOE=【例3】旧知新意:我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：(1)如图1,NOBC与NECB分别为AABC的两个外角，试探究NA与NOBC+NECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：(2)如图2,在AABC纸片中剪去8E,得到四边形A8Z)E,Nl=130。，则N2-NC=50；(3)小明联想到了曾经解决的一个问题:如图3,在A48C中,3P、CP分别平分外角NDBC、NECB,NP与NA有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案NP=90。一：NA.拓展

3、提升：(4)如图4,在四边形ABCO中，BP、CP分别平分外角NE8。、ZFCB,NP与NA、ZD有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.)【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若Nl=I20。，那么/3-42的度数为.【变式2】如图，点。、E分别在的边A8、AC上，连接。C、DE,在Co上取一点尸，连接ER若Nl+N2=180。，Z3=ZB,求证：DE/BC.A上一动点，EF LBC于点F.若乙B = 40。，LDEF = 10,求，C的度数.基础知识B【变式3如图，己知BC中，Z-BZDD.NC=NQ【例2】如图，在由线段4B, CD,O居BF, CA组

4、成的平面图形中，乙O = 28。,则乙4 + B + C +乙尸的度数为().A. 62B. 152C. 208D.236 OAB OCD中,OA = OBtOC = OD,AOB =乙COD = , AC, B。交于 M.【例3】如图,图3(1)如图1,当Q = 90。时,图2乙4M。的度数为_。；(2)如图2,当 = 60。时,求乙4MO的度数为_。；(3)如图3,当仆OCO绕。点任意旋转时,乙4MO与是否存在着确定的数量关系？如果存在,请你用表示乙4MD,并用图3进行证明；若不确定，说明理由.【变式1】如图所示，求乙4+z+ZC+ZD+ZF+4F的度数.【变式2】如图，Z1=60,则A+

5、NB+C+D+E+NF=()【变式3如图，ABCADEfCAD=10,上B=25,乙EAB=120o,DFBDGB的度数.【变式4(1)己知：如图的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A+B=C+D.图(1)(2)如图，AP,CP分别平分NBAD,乙BCD,若4ABC=36o,ADC=16%求ZP的度数.(3)如图(3),直线AP平分nB4D,CP平分乙BC。的夕卜角NBCE,猜想NP与乙8、的数量关系是:图（3）（4）如图（4）,直线4P平分/840的外角乙尸40,CP平分48CO的外角NBCE,猜想乙P与/8、40的数量关系是.图（4）模块三基础知识燕尾角【条件】四边形ABDC如上左图所示

6、.【结论】ND=NA+NB+NC.（凹四边形凹外角等于三个内角和）【证明】如上右图，连接AD并延长到E,则：NBDC=NBDE+NCDE=(NB+1)+(N2+NC)=NB+NBAC+C.本质为两个三角形外角和定理证明.考点剖析【例1.1如图所示，已知四边形4B0C,求证480。=乙4+28+2（7.【例2】在社会实践手工课上,小茗同学设计了一个形状如图所示的零件,如果乙4=52。,NB=250,Z-C=30o,ZD=35o,ZF=72,那么NF的度数是（）.【例3】如图,在A8C中，ZA=20o,N43C与NAC3的角平分线交于DhNABQ与NACD的角平分线交于点。2,依此类推，NABQ与

7、NAC”的角平分线交于点。5,则NBDsC的度数是（）A.240B.250C.30oD.36【变式I】如图，己知OE分别交2L4BC的边48、AC于0、E,交BC的延长线于F,B=62,ACB=760,Z-ADE=93,求NOEC的度数.Ii【变式2】如图，若乙EoC=115,则乙4+z+ZC+ZD+ZE+ZF=.【变式3】模型规律：如图1,延长CO交AB于点。，则48。C=Zl+48=乙4+NC+B.因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有2B0C=乙4+乙8+ZT”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.模型应用（1）直接应用：如图2,A=60。,4B=20。,4C=30,则ZBO

8、C=；如图3,A+B+C+D+E+ZF=；（2）拓展应用：如图4,乙480、乙4C。的2等分线（即角平分线）8。1、Col交于点。1，己知MOC=120,Z-BAC=50,则4BOle=。；如图5,BO、Co分别为乙48。、乙4C。的10等分线(i=1,2,3,.,8,9).它们的交点从上到下依次为。1、。2、O3O9.已知48。C=120o,BAC=50,则48。7。=;如图6,Z-ABO.NBAC的角平分线80、40交于点。，已知=120。,乙C=44。，则ADB=；如图7,LBAC,乙BoC的角平分线A。、。交于点。，则上8、乙C、乙。之间的数量关系为风筝型风筝型【条件】四边形ABPC,

9、分别延长AB、AC于点D、E,如上左图所示.【结论】ZPBD+ZPCE=ZA+ZP.【证明】如上右图，连接AP,则：NPBD=NPAB+NAPB,ZPCE=ZPAC+ZAPC,ZPBD+ZPCE=ZPAB+ZAPB+ZPAC+ZAPC=ZBAC+ZBPC,得证.考点剖析【例1.1如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后(3个顶点不重合),图中+N2+N3+N4+N5+N6=.【例2】如图，在四边形ABC。中，C+D=240o,E、尸分别是A。、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形CTrEF,UF交AD于点G,若EFG有两个相等的角,则ZEFG=.BFC【例3】(

10、2022春铜山区期中)如图1,把ZkABC沿QE折叠，使点A落在点处，请直接写出/1+2与NA的关系：.(2)如图2,把AABC分别沿产G折叠，使点A落在点4处，使点B落在点9处,若Nl+N2+N3+N4=220。，则NC=0(3)如图3,在锐角AHBC中，8W_LAC于点M,CNLAB于点N,BM、CN交于点H,把ABC沿OE折叠使点A和点”重合，则/8C与N1+N2的关系是.A. ZfiHC=180-(Z1+Z2)2B. /BHC=/1+/2C. ZBHC=9O0+(Z1+Z2)2D. ZBHC=90o+Zl-Z2(4)如图 4, 8平分NA8C, CH 平分NAC8,把AAHC沿OE折叠

11、，使点4与点H重合，若Nl + N2=100。，求/8C的度数.【变式1】如图, ABC中，乙A = 60。，将AABC沿。E翻折后，点A落在BC边上的点A处.如果ZyrEC = 70,那么乙4g8的度数为【变式2】已知是张三角形的纸片.图图A,图IBlS课后作业1.如图，在ZL48C中，EF/BC, ED平分8EF, HzDEF = 65ABDC巴则乙B的度数为()A. 40C. 60D. 70B. 50(1)如图，沿力E折叠，使点A落在边AC上点4的位置，NDVE与Nl的之间存在怎样的数量关系？为什么？(2)如图所示，沿OE折叠，使点A落在四边形BCEO的内部点4的位置，NA、Zl与N2之

12、间存在怎样的数量关系？为什么？(3)如图，沿OE折叠，使点A落在四边形BCEO的外部点A的位置，NA、Zl与N2之间存在怎样的数量关系？为什么？图图图【变式3】AABC,直线。石交AB于。，交AC于旦将AADE沿。石折叠，使A落在同一平面上的4处，NA的两边与B。、CE的夹角分别记为/1,Z2如图，当4落在四边形8。EC内部时，探索/A与N1+N2之间的数量关系，并说明理由.如图，当4落在BC下方时，请直接写出NA与N1+N2之间的数量关系.如图，当4落在AC右侧时，探索NA与NI,N2之间的数量关系，并说明理由.2.如图，在团4BC0中，E为CD上一点,将A40E沿AE折叠至A40E处，40

13、与CE交于点F.若乙B二52。，DAE=20o,NAEC的度数为.3 .如图，点。，E分别在等边AABC的边AB,BC上,将BDE沿直线DE翻折，使点B落在点BI处,DB1,EBI分别交边AC于点凡G.ADF=80,则“EG=.4 .如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB,BC上,将BMN沿MN翻折,得FMN,若MFHAD,FNHDC,ZA=100o,ZC=70o,WJzB=.5 .如图，在4BC中NBAC=48。，ABC=60,乙4BC的角平分线与乙4C8的角平分线交于点M,将乙MBC以直线CM为对称轴翻折得到MCD,延长MD与BA的延长线交于点E.求匕E的度数.6 .如图，BP平分乙4

14、BC,交CO于点F,OP平分乙40C交48于点E,AB与C。相交于点G,乙4=42.(I)若乙40C=60,求/4EP的度数;(2)若乙C=38,求乙P的度数.7 .如图，求N4+NB+NC+NZHNE+N尸+NG+NH六个角的和.9 .已知，在A4BC中，点E在边48上，点。是BC上一个动点，将乙B沿七、O所在直线进行翻折得到乙EFD.（1）如图，若48=50。，则乙4EF+NFOC=；（2）在图中细心的小明发现了乙4EF,FDC,乙B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明.10 .在A48C中，Z.ABC=Z-ACBf点。在直线Be上（不与8,C重合），点E在直线AC上（不与力，。重

15、合），.ADE=AED.（2）若点。在BC边上（点8,C除外）运动（图），试探究NBAD与NCDE数量关系并说明理由：（3）若点。在线段BC的延长线上，点E在线段AC的延长线上（如图），其余条件不变，请直接写出NBAD与aDE的数量关系：_；（4）若点。在线段CB的延长线上（如图），点E在直线AC上，BAD=22,其余条件不变，KJzCDF=.（友情提醒：可利用图画图分析）参考答案【例1】【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出乙4OE+41EO,根据平角的概念计算即叽【详解】解：.n4=65,；.ADE+Z-AED=180-65=115,乙BDEZ.CED=360-115=245,故选：D

16、.【点睛】本题考杳的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.【例2】【答案】115。或25。【分析】当4EIlBC时,n4E4=ZC=90。,分两种情况考虑,根据翻折可得乙4E0=AED=45。或135。，再根据三角形内角和定理，即可解决问题.1.ABC=70,zl=90o-70o=20o,由翻折可知：A,ED=AED=A,EA=45,.ADE=180o-A-AED=18020-45=115.或者：由翻折可知：A,ED=AED=I(360-90)=135,：.DEC=45,故答案为：115。或25。.【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的

17、性质.【例3】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出ZDBC+ZECB,再利用三角形内角和定理整理即可得解；(2)根据(1)的结论整理计算即可得解；(3)表示出NDBC+NECB,再根据角平分线的定义求出/PBC+NPCB,然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；(4)延长BA、CD相交于点Q,先用NQ表示出NP,再用(1)的结论整理即可得解.【解答】解：(1)ZDBC+ZECB=180o-ZABC+180o-ZACB=360o-(ZABC+ZACB)=360o-(180o-ZA)=180o+ZA;(2) VZl+Z2=Z180o+ZC,130o+Z2=180o

18、+ZC,Z2-ZC=50；(3) ZDBC+ZECB=180o+ZA,VBPCP分别平分外角NDBC、ZECB,ZPBC+ZPCB=-(ZDBC+ZECB)=-(180o+ZA),22在APBC中，ZP=180o-i(180o+ZA)=90o-iZA;22即NP=9()TnA；故答案为：50o,ZP=90o-ZA;(4)延长BA、CD于Q,则NP=90。-TNQ,/.ZQ=180o-2ZP,：ZBAD+ZCDA=180o+ZQ,=180o+180o-2ZP,=360o-2ZP.【变式1】【答案】60。【分析】根据平角的定义求出乙4,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.【详解】解：如图l3/A

19、4V+44=180o,Zl=120%Z4=60o,%z.3=z.244,z.3-z.2=z.4=60%故答案为：60.【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题.【变式2】【分析】先利用平行线的判定定理判定ABEF,利用平行线的性质定理得到/3=NADE,利用等量代换得到NB=/ADE,最后利用同位角相等，两直线平行判定即可.【解答】证明：VZ1+ZDFE=180o,Zl+Z2=180o,：Z2=ZDFE.AB7EF.Z3=ZADE.VZ3=ZB,AZB=ZADE.DE/7BC.故答案为：240.【变式3】【答案】60【分析】先根据垂直的定

20、义得到乙EFD=90。，进而求出NEDF=80。，利用三角形外角的性质求出乙BAD=40。，则由角平分线的定义求出乙BAC=80。，则由三角形内角和定理得到ZC=180o-ZB-ZLBAC=60.【详解】解：TEFJ.BC,AzEFD=90,VzDEF=10,zEDF=900-ZDEF=80,VzB=40,zBAD=ZADC-ZB=40,.AD平分NBAC,zBAC=2zBAD=80zC=180o-Z.B-ZBAC=60.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂直的定义等等，正确求出乙BAC=80。是解题的关键.【例1】【答案】D【分析】利用三角形的外角性质

21、，对顶角相等逐一判断即可.【详解】YZ+ZAOD+ZD=180o,ZC+ZCOBZfi=180o,ZA=ZC,ZAOD=ZBOCf：,/B=ZD,VZ1=Z2=ZA+ZD,Z2ZD,故选项A,B,C正确，故选D.【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.【例2】【答案】C【分析】如图标记41,42/3,然后利用三角形的外角性质得，1=ZFZF=ZD+z3,z2=乙4+NC,再利用乙2,乙3互为邻补角，即可得答案.【详解】解：如下图标记41,n2,n3,Vzl=z+zF=Z.D+z3,%-乙D=28,*z.3=NB+乙F289又.z.2=z/l+Z.C

22、,Z.2+z.3=NA+Z.C+乙B+Z.F28o乙2+43=180180o=A+C+B+F-28,.A+C+B+F=180+28=208,故选C.【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键.【例3】【答案】(1)90(2)120(3)AMD=180-a【分析】(1)根据乙4。B=ZC0。=a,可得乙4OC=i8OO,可证得AOCWAB。，从而得到乙OAC=Z。80,再由三角形外角的性质，即可求解；(2)根据乙40B=4C0D=,可得乙IoC=Z80。，可证得40Cm80。，从而得到OAC=OBD,再由三角形外角的性质，即

23、可求解；(3)设CA交80于KjgftUAOB=Z.COD=,可得/AOC=乙BOD,可证得ZiAOCWhBOD,从而得到上。8。=204C,再由三角形内角和定理，即可求解.【详解】(1)解：VzjIOB=COD=a,.DOC+AOD=乙AOB+AOD,RIJZAoC=乙BOD,在ABOD和40C中，OA=OBZ-AOC=BODOC=ODB0D三OC(SAS),.OAC=OBD,.AMD=ABM+BAC=ABO+BAO,VaAOB=90,ABO+BAO=90。，即乙4MO=90；故答案为：90(2)解：；乙AoB=4CoD=a,.DOC+上AoD=AOB+乙AOD,即Z71。C=乙BOD,在Z

24、kBOD和AAOC中，OA=OBAOC=乙BODOC=ODFODTlOC(SAS),，乙OAC=OBD,AMD=ABM+BAC=ABO+BAO,AOB=60,.ABO+BAO=180-60=120,即乙4MD=120；故答案为：120(3)解：如图3中，设C4交Bo于K.图3VA0B=C0D=a.A0C=乙BOD,在ABOD和ZkAOC中，OA=OBA0C=乙BOD，OC=ODJZkBOD三UOC(SAS),ZOfiD=0AC,：LAKO=LBKM,A0K=乙BMK=a./.AMD=180o-a.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，证得ZkBO

25、O三ZiAOC是解题的关键.【变式1】【答案】360。.【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解.【详解】解：VZ1=ZA+ZB,N2=NC+ND,Z3=ZE+ZF,XVZI+Z2+Z3=360o,/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360o.【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360。，理解定理是关键.【变式2】【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到NB与NC的和，然后在五星中求得Nl与另外四个角的和，加在一起即可.【详解】解：由三角形外角的性质得：Z3=ZA+ZE,Z2=ZF+ZD,VZl+Z2+Z3=180o,Zl=60o,Z2+

26、Z3=120o,即：ZA+ZE+ZF+ZD=120o,VZB+ZC=120o,/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=240o.故选A.【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决木题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起.【变式3【答案】DFB=90o,Z-DGB=65【分析】由aABCwa10E,DAE=BAC=EAB-CAD),根据三角形外角性质可得乙。尸8=乙凡48+NB,因为乙凡48=乙。4。+乙&48,即可求得乙DFB的度数；根据三角形外角的性质可得乙DGB=DFB-40,即可得乙。GB的度数.【详解】解：tABC1DE,*.BAC=DAE

27、f乙B=乙D,*：EAB=120o,CAD=10o,B=25,zD=B=25,1DAE=乙BAC=-UEAB-Z-CAD)=(120-10)=55,.DFB=FAB+B=乙CAD+乙CAB+乙B=100+55。+25=90。，DGB=乙DFB-D=90-25=65.DFB=90o,DGB=65.【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，采用了数形结合的思想方法.找到相应等量关系的角是解题的关键.【变式4】【答案】(1)见解析：(2)26；(3)ZP=90。+“48+ND)；(4)NP=180。-HN8+【分析】（1）根据三角形的内角和等于180。和对顶角的性质即可得证;设4BAP=P

28、AD=XsBCP=PCD=y，j：父当解方程即可得到答案；X十乙1y十Z./1L/C(3)根据直线AP平分乙84。，CP平分Z8C。的外角乙8CE,得到PAB=PAD=BAD,乙PCB=乙PCE=T乙PCD从而可以得至J180-2(4P48+乙PCB)+乙D=乙B,再根据NP+NO=/尸Cz)+NO,N84O+NB=NBCZ)+/。得到4P-B=PAD+乙PCB=PAB+乙PCBRJ可求解；(4)连接P8,Po根据乙4P8+NPBA+ZPAB=180,4PCB+乙PBC+匕BPC=I80得到APC+ABC+乙PCB+乙PAB=360,同理得至J:APC+ADC+乙PCD+/.PAD=360,再

29、根据NPCE+2PCD=I80。，PAB+PAF=S0otFAP=Z.PAO,乙PCE=乙PCB,11T求解.【详解】解：(1)乙4+4B+A08=180,ZC+D+ZCOD=180,：Zjl+乙8+乙AoB=Zr+4。+COD.VZ-AOB=/.COD,A+B=C+ZD；(2) -AP,CP分别平分，84D,乙BCD,设乙BAP=4PAD=x,BCP=PCD=yt则有产乙题=y+,jtx+zP=y+ADCt(ABC乙P=乙PZ-ADC：.P=(ABC+ADQ=I(36+16)=26(3) 直线为P平分48A0,CP平分匕BCD的外角48CE,乙PAB=PAD=-BAD,乙PCB=乙PCE=L

30、乙BCE,22.2PAB+LB=180-2匕PCB+ZD,180-2(KP48+乙PCB)+乙D=乙BVZP+ZD=ZPCDZD,NBAD+NB=NBCD+NDP+PAD-乙BAD-乙B=CPCD-乙BCD.乙P-乙PAB-乙B=PCB,；乙P乙B=乙PAB+PCB：180。-2(乙P-NB)+乙D=乙B,BPzP=90o+(z+zD).(4)连接P8,PD直线AP平分乙BAD的外角/FAD,CP平分乙BCD的外角WBCE,.FAP=乙PAO,PCE=乙PCB,APB+PBA+LPAB=180,乙PCB+乙PBC+乙BPC=180.APC+乙ABC+PCB+PAB=360同理得到：APC+AD

31、C+乙PCD+PAD=3602APC+ABC+ADC+乙PCB+LPAB+乙PCD+PAD=720：2APC+ABC+乙ADC+乙PCE+乙PAB+乙PCD+PAF=720VzPCE+ZPCD=180o,PAB+4P力尸=180。2APC+ABC+乙ADC=360,CAPC=180o-(z4FC+ADCy)【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【例1.1】【答案】见解析【分析】方法1连接BG根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD,根据三角形的外角性质得到乙3=NB+41,乙4=NC+42,两式相加即可得到结论；方法3延长B。

32、，交AC于点两次运用三角形外角的性质即可得出结论.【详解】方法1如图所示，连接BeB在A48C中，A+ABCACB=180,即乙4+4力80+41+4ACo+乙2=180.在ABCO中，4BOC+41+42=180,：.乙BDC=A+ABD-ACDi方法2如图所示，连接AO并延长. 乙3是力BD的外角，.Z3=1+ABD.同理，Z4=Z2+ACD.Z.3+Z4=Zl+z.2+ABD+ACD.即NBOC=A+ABD+LACD.方法3如图所示，延长8D,交AC于点E 乙OEC是43E的外角， DEC=Z-A+ABD.48。C是AOEC的外角， 乙BDC=DEC+Z.ACD. 乙BDC=A+ABD+

33、ACD.【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任外角等于与之不相邻的两内角的和.也考杳了三角形内角和定理.【例2】【答案】B【分析】延长BE交C厂的延长线于0,连接A0,根据三角形内角和定理求出乙80C,再利用邻补角的性质求出WE。，再根据四边形的内角和求出乙。尸0,根据邻补角的性质即可求出40尸C的度数.【详解】延长8E交b的延长线于O,连接Aa如图，9.90AB+/B+LAOB=180。，：.A0B=180o-LB-Z.0AB,同理得乙4。C=180一0AC-CftAOB+A0C+Z-BOC=360,B0C=360o-AOB-AOC=360o-(180o-Z-B-Z.

34、OAB)一(180o-OAC-ZC)=48+/C+BAC=107,.:乙BED=72。，;,乙DEO=180o-Z-BED=108。，：.乙DFO=360o-ZD-乙DEO-EOF=360-35。-108-107=110,.,.DFC=180o-DFO=180o-110=70,故选：B.【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180o(n-2)【例3】【答案】B【详解】VZA=20o,NA+NA8C+

35、NACB=180。, ZABC+ZACB=160, NABC与NACB的角平分线交于Dh：.ZABD=ZABC,NACowNAC8YNABQ与NACD的角平分线交于点D2, ZABD2=ZABDABC,NAC2ENACo/=；NAC8,2424同理可得：ZABD5=ZABCf/ACD5寺NACB,：,ZABD5+ZACDs=j160o=5o,ZBCD5+ZCBD5=155,：,ZBD5C=180o-ZBCD5-NCBDs=25,故选：B【变式1】【答案】LDEC=135.【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解：在AABC中，zLi4=180o-z-Zi4C=180o-62o-76o=

36、42o,/.NDEC=乙4+乙40E=93+42=135【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180。及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键.【变式2】【答案】230【分析】根据三角形外角的性质，得到NEoC=E+N2=I15tZ2=ZD+ZGZEOC=Z1+ZF=1150,Z1=ZA+ZB,即可得到结论.【详解】解：如图VZEOC=ZE+Z2=115o,Z2=ZD+ZCZE+ZD+ZC=115o,VZEOC=Z1+ZF=115o,Nl=NA+NB, ZA+ZB+ZF=115o,ZA+ZB+ZC+ZZ)+ZE+ZF=230o,故答案为：230.【点睛

37、】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练学握三角形外角性质.【变式3】【答案】(1)11。；260；(2)85；99；142；NB-NC+2ND=O【分析】(1)根据题干中的等式直接计算即可；同理可得NA+N8+NC+Nf+NE+N尸=NBOe+NOOE,代入计算即可；(2)同理可得NS。C=NBOCNo80/NoCO/,代入计算可得；同理可得NBO7C=NBOcT(ZBOC-ZA),代入计算即可：利用NAO8=180。-(ZABCh-ZBADy)=180o-(ZBOC-ZC)计算可得；根据两个凹四边形480。和ABOC得到两个等式，联立可得结论.【详解】解：(

38、1)/60C=NA+/8+/。=60。+20。+30。=110。；NA+/8+NC+ND+NE+N尸=/5OC+NOOE=2x130=260；(2)/BOQNBOC/OBoUoCol=ZBOC-CZABO+ZACO)2=NBOC上(NBoGNA)2=ZBOC-(120o-50o)2=120o-35o=85；NBOTC=NBoC品(ZBOC-ZA)=120-(120o-50o)10=120o-21o=99；NAoB=I80。-(ABD+/BAD)=180o-4(ZBOC-ZC)10=180o-(120o-44o)2=142；NBOZ耳N8OC=NB+N*N8AC,联立得：ZB-ZC+2ZD=0.

39、【点睛】本题主要考查了新定义一箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质.【例1.1】【分析】由折叠可知/1+N2+N3+N4+N5+N6等于六边形的内角和减去(ZBFG+ZB,GF)以及(NeHI+NCIH)和(NADE+NAED),再利用三角形的内角和定理即可求解.【解答】解：由题意知，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=720o-(ZB,FG+ZB,GF)-(ZCHI+ZCIH)-(ZA,DE+ZA,ED)=720o-(180o-ZB,)-(180o-C)=(180o-A)=180+(ZB,+ZC+ZA,)又YN

40、B=NB,ZC=ZC,NA=NA,ZA+ZB+ZC=180o,Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360o.故答案为:360.【分析】根据题意户G有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案.【详解】解：分三种情况：(1)当乙尸GE=4尸EG时，设4EFG=%,则4E/C=无，FGE=FEG=(180o-X),在四边形GFCD中，由内角和为360。得：i(180o-x)+2x+zC+D=360,；乙C+乙D=240,工T(180-x)+2x=360-240,解得：X=20；(2)当ZGFEl=NFEG时，Z-FGE=180o-2x

41、,在四边形GFCD中，由内角和为360。得：180o-2x+2x+zC+zD=360o,得180。+240。=420。H360。，显然不成立，即此种情况不存在；(3)当ZFGE=4GFE时，同理有：X+2x+C+D=360,VZC+ZD=240,x+2x+240o=360解得：X=40；综上分析可知，NEFG的度数为：20。或40。.故答案为：20。或40。.【点睛】本题主要考查了图形的翻折，三角形和四边形的内角和，有一定难度，熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键.【例31【分析】(1)根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；(2)根据(1)的结论

42、即可得到结果；(3)根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，ZAMH+ZANH=90o+90o=180,进而求出NA=：(/1+N2),即可得出答案；(4)根据三角形角平分线的性质得出NHBC+NHCB=90-NA,得出NBIe的度数即可;【解答】解：(1)Z1+Z2=2ZA;理由如下：由折叠的性质得：Zl+2ZADE=180o,Z2+2ZAED=180,Nl+2NADE+N2+2NAED=360。，又VZA+ZADE+ZAED=180,2(ZA+ZADE+ZAED)=360。，由得：Z1+Z2=2ZA;故答案为：Z1+Z2=2ZA;(2)由(1)可得，ZA=i(Zl+Z2),ZB=i(Z3+Z4),22ZA+ZB=i(Zl+Z2+Z3+Z4)=-220=110,22ZC=180o-ZA-ZB=70o,故答案为：70；(3)理由：VBMAC,CNAB,/.ZAMH+ZANH=90o+90o=180o,ZMHN+ZA=180,ZBHC=ZMHN=180o-ZA,由(1)知N1+N2=2NA.ZA=-(Z1+Z2).2ZBHC=180-(Z1+Z2).2故选A；(4)由(1)