2023一模分类汇编-导数、解析几何、圆锥曲线专题汇编（解析版）.docx

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1、目录专题一导数21.1导数大题2专题二直线与圆92.1 直线与圆的位置关系9专题三圆锥曲线112.2 双曲线及其性质112.3 抛物线及其性质132.4 直线与圆锥曲线的位置关系17专题一导致1.1导数大题1. (2022-2023海淀高三下4月一模20-15分)已知函数/(x)=e-X,(I)当时，求曲线y=(x)在点(0,7(x)处的切线方程;(II)求/(x)的单调区间；(ill)若存在Xp/wl-Ll，使得/(%)/(%29,求。的取值范围.【解答】(1)当。=1时，f(x)=ex-f则/(x)=e，-l,得f(0)=l,0)=0,所以曲线y=/M在点(0,7(0)处的切线方程为y=1

2、.X卜8,-等)Inaa/(X)-0+/(X)极小值Z(2)(x)=ev-x,则r(X)=ae-l当0时，(x)o时，令ra)=o,解得X=-小a此时/(X)与/(X)的变化情况如下：由上表可知，X)的减区间为8,-等增区间为(一等,+OO综上，当a0时，/(X)的减区间为(,xo),无增区间当a0时，/(%)的减区间为1,-呼)，增区间为,等,+)(3)将/(x)在区间T,l上的最大值记为x)g,最小值记为/a)小，因为存在知Til,使得3)f(x2)9,所以3xTl,使得If(X)I3成立，即/*)ma.3或/(X)Ini11-3,x-lj,f(x)=ex-x-x-i若3xTl,使得If(

3、X)I3成立，只需/(x)z3,由(2)可知/()在区间上单调或先减后增，故为/(T)与/中的较大者，所以只需当f(7)3或/3即可满足题意，即只需/(T)=e-0+l3或/=e-l3,解得Tn2或In4,综上所述，。的取值范围是(y,-ln2qin4,+?).2. (2022-2023西城高三下4月一模19-15分)已知函数/(x)=ex-cosX.(I)求曲线y=f(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(II)设g。)=Xr(X)-/(x)，证明：g(x)在(0,+)上单调递增;(III)判断3/(5与4/(3的大小关系，并加以证明.34解：(I)f,x)=e*+sinX.1分所以f(0)

4、=0,/(O)=I.3分所以曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y=x.4分(II)由题设，g(%)=x(ersinx)-(er-cosx)=(X-I)e+xsi11+cosx.所以g(x)=x(ex+cosx).6分当x0时，因为e*+cosxe0+cosx=1+cosxO，所以g(x)0.8分所以g(x)在。内)上单调递增.9分(III)34.10分证明如下：设(x)=/(),X(0,+co).11分X则,(x)=XWa)=驾.12分由(II)知g。)在(0,3)上单调递增，所以g(x)g(0)=013分所以(幻0,即(x)在(0,E)上单调递增.14分所以力(；)%),即3/

5、(,4/(.15分3. (2022-2023东城高三下4月一模19-15分)已知函数f(x)ax2-xlnx.(I)当。=0时，求/(力的单调递增区间：(II)设直线/为曲线y=(x)的切线，当。时，记直线/的斜率的最小值为g(),求g()的最小值；I311(In)当。0时，设M=yy=r)(丁,7),=jy=,(),x(-求2a4a4。2a证：M建N.解：(I)当4=0时，/(x)=-xlnX,定义域为(0,+oo).,(x)=-Inx-I,令尸(X)=0,得=一，当XE(Oj)时，,(x)O,e当X(J,+8)时，fx)Oe所以/(x)的单调递增区间为(02)5分e(II)令(X)=f,(

6、x)=2ax-nx-,孙一，,、-12ax-l则h(x)=2a=.XXe1当一时，令(x)=0,得x=.22a当x(0,;)时，z,(x)0,*)单调递增；2a所以当X=时，h(x)最小值为g(a)-(一)=ln(2a).2a2a当士时，ln(24)的最小值为1,2所以g()的最小值为1.11分113(III)由（三）知r(x)在一,上单调递减，在一,士上单调递增,4a2a2a4a3I3I1I又,)二不Tn,，ff(一)=-l11-f4a24a4。24。1311所以M=(ln(2o),-In),N=(ln(24),In-),24a24。111331(In-)-(In)=lnInl=ln3-l0

7、,24。24。4。4。所以MSN.15分4. (2022-2023朝阳高三下4月一模19-15分)已知函数f(x)=e2-Or-1(eR).(I)求F(X)的单调区间;(II)若f(x)0对Xw(0,+oo)恒成立,求的取值范围；(In)证明：若/O)在区间(0,”)上存在唯一零点不,则与o,所以AX)在区间(y,y)上单调递增.若0,令/(x)=0,fx=-ln-.22当x(M,gl吟)时，f,(x)022所以Ja)在区间j4收)上单调递增.综上，当时，/U)的单调递增区间为(y,y)；当白0时，/S)的单调递减区间为(吟)，单调递增区间为(Nngy).5分2222(II)若.W2,当/0时

8、，2e2x2,(x)=2e2x-a0,则/(X)在区间(0,y)上单调递增.所以/(x)/(0)=0.所以1W2符合题意.若a2,则;呜0.由(I)可知/3在区间(0-In号上单调递减，22所以当x(0,;Ing时，/(x)2,XOO且erO-I=O,即。=.欲证：x0a-2,p2_I只需证：X0只需证：e2%(x0+1)2,即证：e-一+l.由（三）知，e2*-2x-l0在区间(0,+)上恒成立,所以e-xT0在区间(0,+oo)上恒成立.所以x0+1.所以玉v-2.15分5.(2022-2023丰台高三下4月一模20-15分)已知函数/(x)=x+3(0).e(1)求函数力的极值;(2)若

9、函数/(另有两个不相等的零点七，X2.(i)求的取值范围；（三）证明：xx+X221nq.【详解】(1)因为/(x)=x+:,所以()=1一=My因为0ecc由f(x)0有：XIn6Z,由f,M。有：xna所以函数/(外在(-8,Ina)单调递减，在(InqE)单调递增所以函数“无极大值，有极小值f(ln)=l+lno(2) (i)由(1)有：函数/CO在(-,ln)单调递减，在(Ina,)单调递增若函数/(x)有两个不相等的零点七，巧，则/(Ina)=I+lnv,解得。寸所以O+所以*) = X+5在(Y),ln)上有1个零点综上，当0。,时，函数f(x)有两个不相等的零点与，/ e(ii)

10、由(i)有：当0!时，函数f(x)有两个不相等的零点巧， e不妨设 ln Iniz,所以 F(x,) F(ln) =/(ln6)-(216z-ln) = 0即尸(2)=(w)-/(2Ina-W)0,即F(W)2Ina-Z),又/(/) =)(%)所以/(%)/(2皿。一天)，又 Mln4X2,所以 Zina - % 21na-七即+x221n,结论得证专题二直线与圆2.1 玄婉与BI的柱直关东1. （2023丰台一模03）已知圆（x2）2+（），-3）2=/（r0）与）,轴相切，则r=A.2B.3C.2D.3【答案】C【分析】求出圆心和半径，即可求解.【详解】Ia（A2）2+（匕3）2=产Go

11、）的圆心为（2,3）,半径为厂因为圆与轴相切，所以r=2故选：C2. （2023海淀一模06）已知直线y=x+力与圆O：d+V=4交于AI两点，且zMO5为等边三角形，则小的值为A.2B.3C.2D.6【答案】D【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出机的值即可.【详解】圆O:/+y2=4的圆心为ao,o）,半径r=2,若直线y=x+?与圆。交于48两点，且/108为等边三角形，则圆心。到直线y=+机的距离d=6，又由点到直线的距离公式可得3.解得m = 土卡 ,故选：D.3. (2023朝阳一模04)已知点A(-l

12、,0),5(1,0).若直线y=米-2上存在点尸，使得ZAP8=90,则实数k的取值范围是A.(-00,-5/31B./3,+00)C.-,3D.(x),-1U3,+oo)【答案】D【分析】将问题化为直线y=丘-2与圆/+V=I有交点，注意直线所过定点（0,-2）与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求左的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点（0，-2）的直线），=依-2与圆/+）,2=1有交点,故选：D4. （2023石景山一模09）已知直线/:履-y-24 + 2 = 0被圆C长为整数，则满足条件的直线/有A. 6条 B. 7条 C. 8条 D.9条【答案】B+ I）? =25所截得

13、的弦专题三国锋曲线3.1 双曲战及其性质1. （2023石景山一模04）已知双曲线工-1=1S0）的离心率是2.则b=4b-A.12B,23C.3D.g【答案】B2. （2023朝阳一模06）过双曲线*-g=l30力0）的右焦点歹作一条渐近线的垂线,垂足为A.若NA=2NA（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为A2B空C.2D.毡或2233【答案】B【分析】由题意易得所以ZAo尸=30,从而tan30=g=q,再由e=?=求解【详解】解：在mZVW7O中，因为NAFO=2NAO所以ZA*30,则tan30q邛，故选：B3. （2023西城一模07）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则

14、“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为），=J费”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】充分性：因为e=2,所以力=岛，当焦点在），轴上时，渐近线为a+3y=X,3充分性不成立；必要性：因为一条渐近线为y=6j所以双曲线方程为q-V=当焦点在)，轴上时，C=挛，a3必要性不成立；故D正确。4(2023海淀一模已知双曲线U,I的渐近线方程为y = v,则C的离心率为.【答案】2【详解】由题意，得e=：=,+(5I=g=2.5. (2023东城一模13)已知双曲线三-=l(40/0)的一个焦点是(4,0),且与直线aby=2x没有公共点

15、，则双曲线的方程可以为.【答案】x2-4=14【解析】由题C=有,c2=a2+b2,a2+b2=5,b2=5-a2双曲线与y=2x无公共点.双曲线渐近线的斜率的取值范围为J2,0)(0,2,.0-2,0b24a2105-a24a2,a25,00)的顶点为0,且过点A8.若AOAB是边长为的等边三角形，则=.【答案】1【解析】O=43,ZAO8=60)%=4Jsin30=2-xa=43Xcos30=6A(6,2拘，代入丁=2四(23)2.p=1266. (2023朝阳一模13)经过抛物线/=4)，的焦点的直线与抛物线相交于A8两点，若A8=4,则AOAB(O为坐标原点)的面积为.【答案】2【分析

16、】求出焦点坐标，设直线AB方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得。点到直线AB距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线-=4)，的焦点/(0,1),设A(1,y),B(x2,j2),直线48：y=kx+,y+J联立方程：y1,消去X可得尸_(2+4&2)y+=0,x=4y=(2+4A2)2-4=16A4+1620,韦达定理得y+%=2+4AM=I,因为IABI=IAF|+|罔=乂+%+2=2+4公+2=4,所以公=o,即攵=0,所以直线49:y=t所以点。到直线/8的距离为IOFl=1,所以S(M&=5。尸HAM=TXlX4=2.故答案为：23.3 直婉与BI

17、碓曲婉的优置关东1. (2022海淀一模19)已知椭圆E：5+，=1360)的左、右顶点分别为A，A，上、下顶点分别为孙鸟，IB1B21=2,四边形4鸟人鸟的周长为4.(I)求椭圆E的方程；(II)设斜率为k的直线/与.r轴交于点尸，与椭圆上交于不同的两点M,N,点加关于y轴的对称点为M,直线MN与)，轴交于点Q.若AO尸。的面积为2,求左的值.【答案】(1),+V=1已【分析】(1)由短轴长，即四边形Aq&区的周长得a,b的值，得椭圆的方程；(2)设直线/的方程为y=云+L由题Z0,m0,与椭圆联立方程，得%+W=-翳;，XR=当二，表示出aOPQ的面积，解得左的值.【详解】(1)由14解卜

18、2,得2b=2,即6=1,由四边形AgA?鸟的周长为4,得4荷+2=46,即/=5,2所以椭圆的方程为上+V=L(2)设直线/的方程为F=H+/(A0,w0)1(,rpyl),N(X2,火),则尸(一；,0),M(f,y),X22_1联立方程组二十)二,消去P得，(52+l)x2+0kmx+5m2-5=0.y=k+m5w2-5Iokm=(IOhn)2-4(5k2+l)(5m2-5)0,得5-而一,%+”一天Trg=诏T直线MN的方程为一必=上二(x-w),x1+x2令.0,得y=B(0f)+%=坚坟1Xi+X2X1+X2又因为Ny2+Aiyl=x(5+fn)+/(g+机)=2kxix2+m(x

19、i+x2)=!3,1=2得T，经检验符合题意，DK+1所以。(0,)，AOPQ的面积4xm2所以左的值为士上422I2. (2023石景山一模19)已知椭圆U=+*=13h0)过点(0,J),且离心率为La-Zr2(I)求椭圆C的方程；(II)过点P(TJ)且互相垂直的直线44分别交椭圆C于何，N两点及S,7两点.I PM Il PNIPS PT的取值范围.【答案】(I)因为椭圆过点(0，G),故。=6,e=-=,a2=b2+c2,则a=2,a2故椭圆的标准方程为：一+4=43(II)当直线4斜率不存在1IX=-IJ2:y=分别代入椭圆方程得:M(T1),N(T-),S(-2,l),T(2g,

20、1)2233313s所以：I尸M=1=-JPV=-+1=-,2222IPSl=芈一iJpn=芈+1,33IPMllPM_3IPSIlPTI4当直线，2斜率不存在时，同理可得，黑禽=1IUIl尸/I3当44斜率均存在且不为。时，设直线4斜率为A,则直线，2斜率为K设直线的方程为:j-l=(x+l),(xl,yl),7(2,y2)y-l=k(x+)由*)2+=143得(3+4F)X2+(8&2+8A)X+442+8火一8=O0X1 +X2 =8公+8攵3 + 4公x4公+8攵-83 + 4/PM= 7(x1+l)2+(y1-l)2 = 1 + A:2 x1+l,I PN=7(2 + l)2+(y2

21、-l)2=l + Z:21勺 +11,同理可知：设直线的方程为：y-1 = -(x + l), S(,y3),T(x4,y4) kx3+x4 =8 8181一 832+4-32+44-Sk-Sk2x3 X4=3/+4IPS I=J(X3+ l)2 + ( T)2 =J +部 + II.I PT = (x4D2+(-02 =% +11，IPMIlPNl_ (I + ?,+1%+=/：? k1x2 + xl + X2 +1| 、pspt 一(+、+u=QT3+422-5公3&2+4=3公+442+3-(4j12+3)+-2aJ-%居综上所述:黑喘的取值范围是。，刍I/5U/1I433. (2023

22、西城一模20)已知椭圆Uf+2y2=2,点A,B在椭圆C上，且QA_LQB(O为原点).设AB的中点为何，射线OM交椭圆C于点M(I)当直线AB与X轴垂直时，求直线4?的方程；(II)求明的取值范围.OMI【答案】(I)当直线AB与工轴垂直时，设其方程为X=-4Z0得=2公+2,从而2*.3muUUii设QV=/IOM,其中40.UUUtJJIIruUn2-Okm2m2则av=q(QA+08)=筋+%)=(者乙乙乙K11乙K11将M三等,*-)代入椭圆C的方程，得以2=2严+12212H+1所以=3m1,即矛=3.nV因为所以wl23,即凶Zb)的一个顶点为AQl),焦距为2.(I)求椭圆E的

23、方程；(II)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于8,C两点，过点8,C分别作直线/：x=r的垂线(点B,C在直线/的两侧)，垂足分别为M,N,记48MP,ZMNR4CNP的面积分别为S,S2,S3试问：是否存在常数L使得上32同总成等比数列？若存在，求出,的值；若不存在，请说明【答案】Ib=I(I)由已知得：C2c=2因为片=十02所以一=2,所以，椭圆E的方程为：+y2=i.5分(II)由已知得：直线交的斜率存在，且点氏。在X轴的同侧.设直线史的方程：y=Mx-2),点5(,y),C(x29y2),不妨设XIVX2,则My20，xlr0,1+2=-,X1-2=TlTTT.因为2S=(Xl)E

24、1,2S2=(2-r)y2-yl,2S3=(x2-r)y2所以，2S12S3=(2-r)(r-xl)y1y2=(x2-t)(t-xi)yly2=(2-t)(t-i)yly2=k2(x2-O(r-x1)(x1-2)(x2-2)=2(xi+x2)-xix2-2xi-x2-2(i+xz)4,2弘、8P-221,Sk2-2k2=k2-r7+41+2公+2k2+2k21+2公=222-2)2-2+2(+2k2)2S2=(2)2(y2-Ji)2=2(2-O2(2i)2=-Z:2(2)(x2+x1)4x1x232/一81+2公2小=E严月要使SLIS213总成等比数列，即4S$=S；,贝啦由T?+2=(-2

25、)2解得：t=所以，存在常数Ql,使得；邑,S?总成等比数列15分5. (2023朝阳一模20)已知椭圆E:+二=I(Ov4)经过点(,T)4n(I)求椭圆石的方程及离心率；(II)设椭圆E的左顶点为A,直线/=%y+l与石相交于MN两点，直线AM与直线x=4相交于点Q.问：直线NQ是否经过大轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】22(I)因为椭圆E：1+E=I(O().设Ma,),N/),Pwy+%=一言)缶=一品直线AM的方程为y=U(+2)令=4,得y=-,则Q(4,-).x1+2n+2所以直线NQ的斜率为%=f-=:口&且即QxO.，人2F42八X勺所以直线

26、NQ的方程为y-%令 y=0,则 x = 2-%(4-xJ(n+2)6y-%(3+2)XJ6y。式N+2)。式4-A2)(内+2)6y1-y2(+2)6%乂-4Ka+2)6y-%(+2)6(,佻+Dy-4/(g|+3)6%-%(町+3)2myly2+6yl-2y2T协力+6y-3%2m(-1)+6(-孚18%=+2+2-/3、乙2加、c一皿一一辽R+6(一一-)-9%?+2zn+2_-18/w-18(m2+2)y2_?-9zn-9(w2+2)y2-所以直线NQ过定点(2,0).15分%-lk（x2+小）1 2x1x2 + 3（xl +x2） k 2 +3（x1 +t2） + 36.(2023东

27、城一模20)已知椭圆E:5+A1(ab0)的一个顶点为A(OJ),离心率e=当.(I)求椭圆石的方程；(II)过点尸(-61)作斜率为我的直线与椭圆E交于不同的两点比C,直线A8,AC分别与,轴交于点MM设椭圆的左顶点为求解的值.b=l,【答案】(I)由题设，得=，解得a3a2=b2+c2.所以椭圆E的方程为+V=.(II)直线BC的方程为y-l=2(x+/).由卜-I二女（X+）,得纵2+以2+（6限2+6幻X+9公+6麻=0X2+3/=3由4=（6&2+6攵）24、（3公+1”（9标+6辰）0,得女、C、6麻2+6A9公+6品设B（py1C（X2,必）.则M+%=一-”2I-XX2=FaiI3k+13k+1直线AB的方程为y=x+l内令y=0,得点M的横坐标为XM=-三二h.X-I（X13）同理可得点N的横坐标为乙=因为点D坐标为则点D为线段MN的中点,所以用M分