2023-2024学年湘教版必修第二册4-2平面学案.docx

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1、4. 2平面最新课程标准学科核心素养1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解关于平面的三个基本事实.L了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(数学抽象)2 .能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(直观想象)3 .能用三个基本事实证明简单的共面、共线问题.(逻辑推理)S3囱即!陶课前预习教材要点要点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的画法通常用一个平行四边形来代替平面表示方法(1)用小写希腊字母：如,B,Y，来表示；(2)用表示平面的平行四边形顶点字母表示；(3)用

2、表示平面的平行四边形的对角顶点字母来表示.状元随笔(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量;(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的.要点二空间中点、线、面的位置关系的符号表示数学符号表示文字语言表达图形语言表达点A在直线1上点A在直线1外/点4在平面a内/,人/点A在平面a外AzCV直线/在平面o内Z=L%直线/在平面。外/或/直线人位相交于点力平面。相交于直线14j7要点三平面的基本事实与推论内容图形符号推论基本事实1如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A三Lg/且Ja,BGQ=_X基本事实2过力，B,C三点不共线=存在唯一的平面o使AfB,C

3、Qa推论1一条且线和直线外一点确定一个平面.推论2两条相交直线确定一个平面.推论3两条平行直线确定一个平面.的三点，有且只有一个平面基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P且PW=X状元随笔（D基本事实1的作用：用直线检验平面（常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆）；判断直线是否在平面内（经常被用于立体几何的证明中）.（2）基本事实2的作用：确定平面；证明点、线共面.基本事实2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的.同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上

4、的四点，不一定有平面.因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性.（3）基本事实3的主要作用：判定两个平面是否相交；证明共线问题；证明线共点问题.基本事实3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线.以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面.基础自测1 .思考辨析（正确的画“J”，错误的画“X”）有一个平面的长是50m,宽是20m,厚20cm.（）（2）一条直线和一个点可以确定一个平面.（）（3）空间不同的三点可以确定一个平面.（）四边形是平面图形.（）2 .如果au。，Zxza,Ina=A,b=B,那么下列关系成立的是（）A.IUCIB.IqaC

5、.7a=AD.Iea=B3 .如果空间四点4B、C、不共面，那么下列判断正确的是()A. 4、B、C、四点中必有三点共线B. 4、B、C、四点中不存在三点共线C.直线”与相交D.直线月6与切平行题型1文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1(1)若48表示点，a表示直线，。表示平面，则下列叙述中正确的是()A.若力u,Baa,则ABaaB.若力W,Bea,则ABeaC.若照a,3Ua,则4省aD.若4a,au,则力如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图1方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用

6、文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“e”或“6”表示；直线与平面的位置关系只能用“u”或Q”表示.(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)己知是不同的平面，/,如是不同的直线，P为空间中一点.若aD=ltg,u,mCn=P,则点尸与直线/的位置关系用符号表示为.(2)根据下列条件画出图形：aC8=M,aua,kB,a/AB,b/AB.题型2点、线共面问题例2己知：如图所示，7iliAy23=昆71li=C.求证：直线上,h,4在同一平面内.方法归纳证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一

7、个平面，再证明有关点、线在此平面内.(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面再证明其余元素确定平面,最后证明平面a,重合.跟踪训练2如图，己知直线abc,J11a=ArICb=B,c=C求证：直线a,b,。和7共面.题型3三点共线、三线共点问题例3如图所示，在正方体力心G中，E,少分别为例，JU的中点.求证：CE,DiF,加三线交于一点.EB方法归纳(1)证明三点共线的方法;首先找出两个平面，然后证明这三点都是：方法一这两个平面的公共点，根据基本事实3可知:这些点都在两个平面的交战上：方注一遍舁熹审词二C氟山后值就八;另一点也在此直线上：(2)证明三线共点的步骤步骤一明法条董线荚面值云至二

8、餐：牛骤一二赢w存w7：步骤一产面相交:步骤三一海国a,y:跟踪训练3已知aN8C在平面a外，Ana=P,AC11a=R,BCCa=Q,如图.求证：AQ,/?三点共线.易错辨析忽略基本事实的重要条件致误例4己知4B,C,D,五点中，4B,C,共面，B,C,D,E共面，则4B,C,D,E五点的位置关系是()A.共面B.不共面C.共线D.不确定解析：分两类进行讨论.若&C,三点不共线，则它们确定一个平面。.因为力，B,C,共面，所以点力在平面a内.因为8,CyD,E共面，所以点在平面a内.所以点力，E都在平面o内，即4B,C,D,E五点一定共面.若B,C,三点共线于/,若,EWl,则力，B,C,D

9、,E五点一定共面，但平面不唯一；若儿中有且只有一个在/上，则力，B,3D,E五点一定共面；若力，E都不在,上，则力，B,3五点可能共面，也可能不共面.答案：D易错警示易错原因纠错心得解本题时易误认为因为力，B,C,共面，所以点力在8,C,所确定的平面内，因为8,C,D,共面，所以点E也在周3所确定的平面内，所以点力，E都在吊C,所确定的平面内，即Af昆G，E五点一定共面.以上错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三个点”这个重要条件.实际上反C,D三点有可能共线.对于确定平面问题，在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.课堂十分钟2 .空间中，可以确定一个平面的条件是（）A

10、.三个点B.四个点C,三角形D.四边形3 .如果力点在直线a上，而直线a在平面a内，点6在a内，可以表示为（）A.力ua,a,三aB.力a,a。，C.力ua,aGa,BuaD.Ja,a,BGa4 .三条平行直线最多能确定的平面的个数为.5 .已知空间四边形力阅9（如图所示），E,分别是力氏49的中点，G,分别是80,CD上的点，且=&o=g:求证:（DE,F,H,6四点共面；直线小EG,力。共点.ER4. 2平面新知初探课前预习要点二A三1廨/Ja廨aIUaIGa7m=A=7要点三两个点ABda不在一条直线上11B=/且尸/基础自测1 .答案：X(2)(3)(4)X2 .解析：./Ca=力又a

11、ua,4/且力a.同理A/且a.，/ua.答案：A3 .解析：力、B、C、四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线/国与切既不平行也不相交，否则/1、B、C、共面.答案：B题型探究课堂解透例1解析：(1)点与面的关系用符号,而不是u,所以选项A错误；直线与平面的关系用U表示，则18。表示错误；点力不在直线a上，但只要力，8都在平面。内，也存在力氏明选项C错误；la,aua,则4*所以选项D正确.故选D.(2)在图1中，anB=Aaa=Afa=B.在图2中，anB=1,aua,ZXZ,anI=P,bC=P.答案：(DD(2)见解析跟踪训练1解析：因为za,?C,fn=所以尸Wa,且尸又an=7

12、,所以点尸在直线/上，所以尸/.(2)图形如图所示.答案：(I)PGI(2)见解析例2证明：方法一(纳入平面法)：因为JInl2=力，所以人和A确定一个平面a.因为2nI3=8,所以82.又因为Lu%所以BW*同理可证Ca.又因为63,6,3,所以/3Ua.所以直线入，k,A在同一平面内.方法二(辅助平面法)：因为12=/,所以入，人确定一个平面a.因为Anh=H,所以人，A确定一个平面.因为IWA,72Q,所以fa.因为力/2,huB,所以力E.同理可证BG,BG,CW,.所以不共线的三个点4B,C既在平面内，又在平面内.所以平面。和万重合，即直线/“12,/3在同一平面内.跟踪训练2解析：

13、方法一（辅助平面法）因为刘6,所以小6确定一个平面a.因为力&BWb,所以三a.又力/,BGl,所以u1.因为C,所以。所以直线a与点。同在平面a内.又ac,所以直线a,C确定一个平面B.因为CWacu,所以CEf,即直线a与点C同在平面f内.由推论1,可得平面和平面S重合，则CU.所以输b,C,/共面.方法二（纳入平面法）因为&,，所以4。确定一个平面a.因为ia,BQb,所以力,BGa.又ASI,BWl,所以Iua.则a,b,J都在平面内，即人在a,，确定的平面内.同理可证。在小/确定的平面内.因为过a与7只能确定一个平面，所以a,b,cf/共面于a,1确定的平面.例3证明：连接M4昆因为

14、E为47的中点，Z7为44的中点，所以EF%AB.又因为48触Ba所以EFiC.所以E,F,，C四点共面.可设ICE=M又平面4%，C氏平面ABCA所以点为平面AxIXDA与平面力及力的公共点.又因为平面4的C平面ABCD=DAr所以PZM,即绥IXF,为三线交于一点.跟踪训练3解析：证明：因为11=R所以尸,PGAB,而45fc平面ABC,则PG平面ABG同理可得H,平面46G0,0平面力况；所以忆Q,在平面4与平面4回的交线上.所以凡Q,斤三点共线.课堂十分钟1 .解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.答案：D2 .解析：由平面的基本性质及推论得：在A项中，不共线的三个点能确定一

15、个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A项错误；在B项中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B项错误；在C项中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C项正确;在D项中，四边形有空间四边形和平面四边形,空间四边形不能确定一个平面，故D项错误.答案：C3 .解析：力点在直线a上，而直线a在平面a内，点、B在一a内，表示为：力a,m=a,BGa.答案：B4 .解析：当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面.综上最多可确定3个平面.答案：35 .证明：连接团解因为反少分别是月用力的中点，所以/啜抑）.因为G,H分别是SC,S上的点，且CG=渺CH=UfC.所以GH破犯所以EFGfL所以,F,H,G四点共面.由知，EFGH,且EF手GH,所以四边形叫陇是梯形.设两腰EG,用相交于一点T.因为除:平面4EC,屣平面力切，所以平面被7,且飞平面43又因为平面/1欧平面力折/C,所以T4C,即直线比，FH,力。相交于一点K