专题1-3直线与圆的方程20类题型汇总.docx
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1、专题13直线与圆的方程20类题型汇总如“题型解读知识点梳理模块一:直线方程【题型1求直线方程【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数(易错)【题型3】三角彩的三线问题【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围【题型5】光的反射问题模块二直线与圆【题型6求Bl的方程【题型7】I的切线性质以及求切线方程【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程【题型9直线与圆的位置关系【题型10】圆与BO的位置关系:公切线,公共弦【题型11直线与圆的综合问题【题型12】与基本不等式结合,乘“法求最值【题型13阿波罗尼斯BO【题型14直线与圆的双切线模型模块三:直线与圆的最值问题【题型15定点到含参直线距离最短问题
2、【题型16过定点的弦长最短【题型17】点Bl型最值【题型18直线与BI上的点距离最值【题型19由直线与圆心的距离求参数的范围【题型20)三角换元求最值知识点梳理一、直线的5种方程斜截式一般式方程l.y=kx+bh.y=k2x+b2l1:A1x+Bly+C1=O(fB?0)l22x+B2y+C2=O(2+B20)相交kkAxB2A2Bx0(当42B2O时,记为空筌)/12x2垂直kk2=-l44+BB2=O(当B20时,记为会赍=-1)平行用=%2且bbzfAB2-A2B=0(AiB2-A2B1=OB1C2-B2C10或A1C2-A2C10(当4昆C2O时,记为*=等/)A2x2O2重合kk2且
3、b=bA=A2,B=B29C=C2(0)(当友昆。?=#。时,记为今=叠=)二、两点关于某直线对称设点X(XOjO)关于直线/的对称点为8,y).x+x。=/2-.yyoX=X0(2)直线/的斜率为0时,设直线切=E,则V+外_.=t直线I的斜率存在且不为0时,设点力GO,%)关于直线/:而+为+c=0的对称点为8(,y).k.4B.ki=-l则人中+8-+C=0由此可求出8a刃.三、其它公式两点距离公式:AB=Ja-X2)2-(M%)2斜率的2个公式:k=-=tanXIf,Axa+By.Cl点到直线距离公式:d=!)-QI42+52四、阿波罗尼斯圆PAC定义:已知平面上两点A,B,则所有满足
4、IPBI=44W1的动点P的轨迹是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆*y核心题画7模块一:直线方程【题型1】求直线方程1 .(2023上广东深圳高二翠园中学校考期中)过点(3,-2)且在X轴,歹轴上截距相等的直线方程为【答案】2x+3y=0和x+y-l=0【分析】根据斜率是否为0,分两种情况,结合直线的截距式方程即可求解.【详解】当直线经过原点时,此时直线方程为2x+3y=0,且在X轴,N轴的距离均为0,符合题意,当直线在X轴,J轴均不为。时,设直线方程为+=l(W0),aa3-2将(3,-2)代入得一+=1,解得=l,故直线方程为x+y-1=0aa2 .(2023
5、上浙江嘉兴高二统考期末)已知直线/与直线4:2x-y+2=0和/2:%+-4=0的交点分别为46,若点P(2,0)是线段的中点,则直线力B的方程为.【答案】x+4y-2=0【详解】因为直线/与直线/2x-y+2=0和Qx+y-4=0的交点分别为48,设N(XI,2d+2),3氏,4-2),因为点P(2,0)是线段48的中点,由中点公式可得J;+;:_n,IZX+Z+4-XfU214f4x22X121解得再=-二,X,二一,所以直线48的斜率为*=!一=-T,332x4所以直线18的方程为y-0=-L(x-2),即x+4y-2=043 .(2023上江苏苏州高二统考期末)如图,在平面直角坐标系X
6、ay中,已知四边形048C满足IOH=MM=4,ZOAB=12O5C1OBQC/AB.(1)求直线的方程;(2)求点C的坐标.【答案】(1)Iy歹一M=O:(2)C,45).【详解】(1)由图知NO5=12(T,则直线的倾斜角为60:,直线的斜率&8=6,点44,0),所以直线45的方程为y=5(x-4),即JILy-45=0(2)因为OC/AB,则直线。的方程为y=J5x,而ICMl=Ha=4,则直线。8的倾斜角为30,斜率%邛,r-3v直线06的方程为y=3,由F3A解得x=6,y=2jj,即点8(6,2i),3x-j-43=0又BC工OB,则有直线BC斜率L=-J,因此直线BC的方程为丁
7、-26=-石(x-6),即y=-y3x+Sy3,由y=也:解得=:“,即点c(4,4J)【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数(易错)4 .若直线x+(l+m)y2=0和直线机x+2y+4=0平行,则的值为()2A.1B.-2C.1或一2D.3【答案】AA.B.C1【分析】由题知两直线平行,直接列出丁=WWU(儿工,与工2*0)即可求得?4O2C2【详解】直线X+(1+?)y2=O和直线mx+2y+4=O平行,1 2=w(1+加)可得C),得2=1.m-25 .(多选)已知直线4:a+y+l=0,直线,2:工+叼+1=0,则下列命题正确的有()A.直线4恒过点(0,1)B.直线,2的方向向量为
8、。,1),则m=-1C.若2,则卅=1D.若上2,则相=【答案】BD【分析】根据已知直线方程,逐个脸证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.【详解】把(0,1)代入直线4的方程,等式不成立,A选项错误;直线4:x+叼+1=0的方向向量为0,1),则直线斜率左=1=1,得1=-1,B选项正确;m直线乙方向向量为(L机),直线,2的方向向量为(肛T),若2,则有-l=0,解得m=l,当?=1时,4与6重合,C选项错误;若J2,则有机+机=0,即m=0,D选项正确【题型3】三角形的三线问题6 .(2023上广东广州高二统考期末)(多选)&43C的三个顶点坐标为4(4,0),3(0,3),C(6
9、,7),下列说法中正确的是()A.边8C与直线3x-2y+l=0平行B.边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y-12=0C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-13=0D.过点4且平分力BC面积的直线与边8C相交于点0(3,5)【答案】BD【分析】由立线料率判断A,求出相应的直线方程判断BC,求出边BC中点坐标判断D.7-323【详解】直线BC的斜率为左=94=9,而直线3x-2y+l=0的斜率为二,两直线不平行,A错;6-0 3338C边上高所在直线斜率为-1,直线方程为y=-4),即3x+2y-12=0,B正确;过C且在两坐标轴上的截距相等的Jl线不过原点时方程为x+y-
10、13=0,过原点时方程为y=二x,C错:过点力且平分AXBC面积的直线过边8C中点,坐标为(3,5),D正确【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围7 .(2023上广东深圳高二统考期末)己知4(2,-3)、3(2,1),若直线/经过点尸(0,-1),且与线段AB有交点,则/的斜率的取值范围为()A.(),-2U2,+)B. -2,2C.(-oo,-lkjl,-o)【答案】D【分析】作出图形,数形结合可得出直线/的斜率的取值范围.【详解】过点尸作尸C_L4B,垂足为点C,如图所示:设1线/交线段4B于点M,设直线/的斜率为左,且4=三专=-1,“心=2M=1,0-22-0当点M在从点A运动到点C
11、(不包括点C)时,直线/的倾斜角逐渐增大,此时一I=ATM4bQ)t过点(-d)且方向向量为历=(LT)的光线,经直线ab丁=-6反射后过。的右焦点,则C的离心率为()【答案】A【分析】设过点4(-d)且方向向量为万=(LT)的光线,经直线N=的点为3,右焦点为C,根据方向向量为=(LT)的直线斜率为-1,结合反射的性质可得/8_Z8C,再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.【详解】设过点力(-。,0)且方向向量为的光线,经直线丁=-6的点为5,右焦点为C因为方向向量无=(1,一1)的直线斜率为-1,则NaIB=455,38=-1,又由反射光的性质可得凝C=1,故ABJ.BC,所以“SC为等
12、腰直角三角形,且8到XC的距离为6,又4C=c+”,故+c=2Z;,a2+c2+2ac=4b2=4(a2-c2),贝(35c)(+c)=0,故3q=5c,离心率e=g.19.(2023上湖北黄冈高二统考期末)己知直线/(2-2)x-y-2o=0,Z2:4x-+a-l=0,且l“h求4与,2之间的距离;(2)一束光线从尸(2,3)出发经Z1反射后平行于X轴射出,求入射光线所在的直线方程.【答案】(1)吟,(2)4-r+3-17=0【详解】(1)由44可得:(2-2)(-)-(T)4=0,解得:0=2或-1当a=l时,:-4x-y+2=0,Z2:4x+)-2=0,此时与重合,舍去当=2时,l.2x
13、-y-4=0,4x-2+l=0,此时/14,符合题意42(-2)zIU(2)设尸(2,3)关于人的对称点为P(玉PM),则Xo-22+2_2V_4=022 9 5,5故入射光线所在的直线方程为一=,即4x+3N-17=0模块二直线与圆【题型6求圆的方程20 .矩形488的两条对角线相交于点”(2,0),48边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC所在直线的方程为Xr-2=0.(1)求BC边所在直线的方程;(2)求经过M,A,8三点的圆的方程.答案(I)3x+y-4=0,(2)2+y2_6x+6y+8=0X-3y-6=0Fx=O,、【详解】(1)由oa,得,则力0,2,x-y-2=Qy=因为矩形
14、ABCD两条对角线相交于M(2,0),所以。与彳关于点M对称,=2则 C(4,2),设C(Xo,打),所以因为48边所在直线的方程为X-37-6=0,斜率为BC与AB垂直,所以直线BC的斜率为-3,则5C边所在直线的方程为y-2=-3(x-4),即3x+y-14=0;(2)由(242,故点8的坐标为一1设所求圆的方程为/+/+Z)X+&+尸=0,且02+炉_4户0,4+2。+F = O4-2E + F = 0D=-6E=6,则所求圆的方程为:X2+y2-6x+6+8=O尸=821 .(2023上广东深圳高二统考期末)已知:圆C过点D(O,1),E(-2,l),f(-1,),P是直线4:y=x-
15、2上的任意一点,直线,2:V=X+1与圆。交于a、8两点.(1)求圆C的方程;(2)求IPd+俨城的最小值.【答案】(1)x2+2x-1=0:(2)13.【详解】(D设圆C的一般方程为/+/+“+怎,+E=o,依题意可得,E+F+1=O-2D+E+F+5=0=O=2,E=O,尸=T.-D+y2E+F=3=0所以圆C的方程为:x2+y2+2x-=0.(2)联立,x = -2)二Ty-x-l=0x2+2x-1=0不妨设4(0,1),8(-2,7),P(XJ),则y=x-2,PJ2+P52=x2+(-l)2+(x+2)2+(+l)2=4-4x+14=4-j+13.故PMI2+PB2的最小值为1322
16、. (2023上广东深圳高二统考期末)己知4(2,0),8(1,3).(1)求线段48的垂直平分线/的直线方程;(2)若一圆的圆心在直线x+2y-2=0上,且经过点4B,求该圆的方程.答案(I)X-3y+3=0,(2)x2+(y-l)2=5【详解】(1)因为4(2,0),8(1,3),所以的中点为),斜率=兰=-3,所以线段48的垂直平分线/的斜率为即/的直线方程为=化简得x-3y+3=0.、(x-3y+3=0z、(2)联立C解得X=0,y=l,即圆心为(0,1),x+2y-2=0所以圆的半径=(2-O)2+(1-0)2=5,所以所求圆的标准方程为/+3-1)2=523. (2023上福建福州
17、高二校联考期末)如图,在平面直角坐标系Xoy中,点求直线BC的方程;(2)求/ZMB的外接圆M的方程.【答案】(l)Jx+y-4J=0(xT)2+(y-jy=4【详解】(1)过点B作身W_Lx轴,垂足为由题意可得:Z5Jf=60,则MM=,用COSNB/M=1,忸卜卜3卜后的M=故点以3,百),延长CB交X轴于点N,由题意可得:/ABN=60。,则a8N为等边三角形,可得4M=MM=2,即点N(4,0),则直线8C的斜率=3二9=4.3-4所以直线8C的方程为y=-5(x-4),Hp3+-43=0.(2)由(1)可得:0(0,0)4(2,0),b(3,4).D = -2,解得E = -2J,F
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