专题1.1勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练（解析版）.docx

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1、专题1.1勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练勾股定理中的最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下:长方体将军饮马问题阶梯问题基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。题型1.圆柱有关的最短路径问题【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。要点总结:1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算;2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度

2、后乘以圈数。例1.（2022山东青岛八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫从下底点）（4取3）A处爬到上底8处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（B. 40cm【答案】AC. 30cmD. 20cm【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值.【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题意，得AC=3x162=24,在HAdBC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm.一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，最短路径长为60cm.故选

3、：A.【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用.在解答时将圆柱的侧面展开是关键.24变式1.（2022吉林长春八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径A5=cm,高BC=IoCm,在BC的中点P处有块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点尸的最短路程【答案】13【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即叽【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：48=；底面周长=；x4x=12（cm）,BP=WBC=5（cm）f211所以A尸=JlZ?+5?=13（的），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为

4、13cm,故答案为：13.【点睛】本题考查最短距离问题，化曲为平，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法.4变式2.（2022浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为一cm,高为18cm,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A.24cmB.30CmC.TCmD.4597cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答.【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：ACCDDB;即在圆柱

5、体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对44角线运动到B的路线最短；.圆柱底面半径为一cm,长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2-=8cm;又圆柱高为18cm,J.小长方形的条边长是6cm：根据勾股定理求得AC=CD=DB=IoCm；,AC+CD+DB=30cm：故选：B.【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开一路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.题型2.长方体有关的最短路径问题想【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长

6、方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。要点总结：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、前+上和“左+上”三种情况进行讨论；2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。例2.(2021.陕西八年级期末)如图，长方体的棱AB长为4,棱BC长为3,棱BF长为2,P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点P处吃食物，那么它爬行的最短路程是.,zc方7/B【答案】5【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【详解】解：分三种情况：如图1,AP2=(2+3)2+22=29.如图2,AP2

7、=(2+2)2+32=25,AP=5,如图3,AP2=(2+3+4)2+22=85,25jA,E2+EG2=100cm.由对称性可知AQ=AQ,AQ+QG=4Q+QG=4G=100cm.故小虫爬行的最短路线长为100cm.【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点Al再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解.课后专项训练：1.（2022河南洛阳市八年级期中）如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm,高为16cm,现有一根长为25Cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2J13cvt【

8、答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最小，则在杯内的长度最长，此时若沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，然后用勾股定理即可解决.【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，则吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：122+162=20（cm）所以吸管露出杯口外的长度最少为25-20=5（Cm）故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是构造直角三角形，利用勾股定理解答.2. （2022山东前泽八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉

9、一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘A8=8=20m.小明要在AB上选取点E,能够使他从点。滑到点石再滑到点。的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为()m.(花取3)A.30B.28C.25D.22【答案】C【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于48的对称点匕连接。匕根据半圆的周长求得BC,根据对称求得。尸二28。，在RACD尸中，勾股定理求得。尸.【详解】其侧面展开图如图：作点。关于AB的对称点尸，连接OR中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5Cm的半圆，8C=R=2.5=7.5cm,AB=CD=20cm,CF=2BC=15cm,在RSCDF中,DF

10、=yCF2+CD2=152+202=25cm,故他滑行的最短距离约为25cm.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键.3. （2022江苏八年级专题练习）如图是一个饮料罐，下底面半径是5,上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A.12CD+C=l0+5=15,AD=20,在直角三角形ABO中，根据勾股定理得：/.AB=4BD1+AD=152+202=25;只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图:A图2长方体的宽为1

11、0,高为20,点8离点C的距离是5,.BQ=CQ+8C=20+5=25,在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=jBD2+AD2=102+252=529：只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图:A20D10C图3长方体的宽为10,高为20,点6离点。的距离是5,.AC=+AZ）=20+10=30,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=AC2BC2=302+52=537：:25V5屈V5后，蚂蚁爬行的最短距离是25,故选：A.【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.6. （2022陕西宝鸡八年级期中

12、）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=I8,BC=I2,BF=IO,点M在棱A8上，且A=6,点N是尺7的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为（）A.20B.2U）6C.234D.18【答案】A【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.【详解】解：如图1,VB=18,BC=G尸=12,8尸=10,点N是尸G的中点,f=18-6=12,8N=10+6=16,：.MN=122+162=20；如图2,V=18,BC=GF=12,BF=10,点N是尸G的中点，P=18-6+6=18,NP=10,；.MN=Jig+10?=J424=

13、2J1O6.V202i06,J蚂蚁需要爬行的最短路程为20.故选：A.【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解.7. （2022四川达州八年级期末）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则条长16c,的直吸管露在罐外部分。的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.4a5B.3ai6(cm).V210620，蚂蚁沿长方体表面从点M爬到点N处的最短距离为20cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是应用勾股定理的前提条件.18. (2022重庆九龙坡八年级期

14、末)如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米.(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点4处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米.(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米.【分析】(1)设每级台阶的高为X分米，根据题意列方程即可得到结论；(2)先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.(1)解：设每一级台阶的高为X分米，根据题

15、意得，18x(4x)4=432,解得x=2,答：每级台阶的高为2分米；(2)四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为(2+4)x4=24分米，则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长.由勾股定理得：AC=182242=3O(分米)，答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.三角形和矩形中的翻折、旋转问题解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为X,将此三角形中的三边长用具体数或含X的代

16、数式表示，再利用勾股定理列出方程,从而得出要求的线段的长度。例1.（2022江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCO沿E/折叠，使。点与BC边的中点Zy重合.若8C=8,CD=6,则C/的长为.【答案】I【分析】设b=x,在孜ATFO中利用勾股定理求出X即可解决问题.【详解】解：YD是BC的中点，BC=S,CD=6t：.D,C=BC=4,由折叠的性质知：DF=DFt设CF=X,则D尸=Z）尸=S-C产=6%，在用ACFO中，根据勾股定理得：。尸=。尸+S?,即：（6x）2=+42,解得x=,.b=故答案为：I【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的

17、思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型.变式L（2022重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，CQ=3,在CD上存在一点E,沿直线AE将人型）折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且Sa8=6,则二血的面积是（）.256【答案】BD.【分析】根据面积求出BF、AF、CF,设DE为X,列方程求出即可.【详解】解：ABCD是长方形纸片，.AB=CD=3,SAAFB=gABBF,*6=3BF,BF=4,AF=yAB2+BF2=5.AF=AD=BC=5,CF=I,设DE为x,EF=DE=x,EC=3-x,x2=(3-x)2+l解得，X=,/.Smfd-ADED=5-=,故选：B.3

18、2236【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程.例2.(2021四川成都市八年级期末)如图，在长方形纸片ABCO中，A8=4,8C=3,点尸在BC边上,将ACOP沿。尸折叠，点C落在点石处，PE,DE分别交AB于点G,F,若GE=GB,则CP的长为一12【答窠】T【分析】根据折叠的性质可得出。C=O从CP=EP,由NEO产=N5ONB=NE、GE=GB可得出AGE尸经GBP,根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP,设BF=EP=CPr,则AF=4-x,BP=3-x=EFtDF=DE-EF=A-(3/)=x+l,在RaAQ尸中，依据A尸+AQ2=

19、。尸，可得到X的值.【详解】解：根据折叠可知：ADCP9ADEP,DC=DE=4,CP=EP./EGF=/BGPGEFfflGBP,GE=GB,.gOEFAOBP(ASA),：,EF=BP,GF=GP,JBF=EP=CP,NE=NBSBF=EP=CP=Xt则A尸=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=A-(3-x)=v+l,VZA=90o,二RaAD尸中，AF2+AD1=DF2,1?I?12.,.(4-x)2+32=(l+x)2,*,=-,.*.CP-f故答案为：.【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为M选择适当的直角三角形，运用勾股定理

20、列出方程是解决问题的关键.变式L(2022.江苏靖江市靖城中学八年级期中)如图，将矩形ABCD沿E尸折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点。上.若A8=6,BC=9,则8尸的长为D,【答案】4【分析】首先求出8。的长度，设出C户的长，根据勾股定理列出关于线段。下的方程，解方程求出。下的长，即可解决问题.【详解】四边形ABCo为矩形，：,NB=90。；点C为48的中点，AB=6f.BC,=3i由题意得：CK=CT7（设为X）,则BF=9r,由勾股定理得：=32+（9-）2,解得：X=5,.BF=9-5=4.故答案为4.【点睹】本题以矩形为我体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键.例3.（2022全国八年级课时练习）如图，在长方形48CO中，A3=8,AO=IO,点为BC上一点，将沿AE折叠，点B恰好落在线段OE上的点尸处，则BE的长为.【分析】设BE=X,则CE=IOx,由折叠的性质可知AF=8,EF=x,在心ti4O尸中利用勾股定理表示出。尸，在油ZXCO石中，利用勾股定理列方程求解X.【详解】解：设3E=x,则CE=IO-X,由折叠的性质可知，AF=AB=StEF=E=tZAFE=4=