第十八章 隐函数定理及其应用.docx

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1、第十八章隐函数定理及其应用一.填空题1 .椭球面f+2V+3z2=6在(1,1,1)处的切平面方程,法线方程2 .隐函数存在惟一性定理的条件是条件.3 .由方程7(x,y)=一元一;Siny所确定的隐函数y=/(x)的导数为.4 .设T-3yz=2,则=.xy2225 .曲线/+户=aj(a0)上任一点处的切线方程为.6 .螺旋线x=cosf,y=sinf,z=在4=y处的切线方程为,法平面方程.7 .设siny+ex-xy2=0,贝IJ=.dx8 .在曲面Z=孙上点处,法线垂直于平面x+3y+z+9=0.9 .利用拉格朗日乘数法是将条件极值化为极值.10 .由方程尸*,y,Z)=型3+2+y

2、3-z=0所确定二元隐函数的偏导数为z_z_瓦一,y.二.计算题1 .设Z=X2+)3,其中y=/(X)为由方程V一肛+y2=1所确定的隐函数,求z；zj2v2z22 .确定正数；l,使曲面种=4与椭球面=+4+f=1在某一点相切(即在该点有公abc共切平面).3 .求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.4 .在平面My上求一点，使它到X=O,y=0,及x+2y16=0三直线的距离平方之和为最小。2225 .求平面曲线X7+/=aj(a0)上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.6 .设arcsinxlny-e2x+tgy=0确定隐函数y=y(x),求y(0).7 .

3、抛物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.8 .验证二元方程F(My) = xy + 2-2, = O在点O的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐 函数y = (x),并求“(x).9 .求出曲线x= ,y =/,Z = /上的点，使在该点的切线平行于平面+2y + z = 4.10 .设ex - xyz = 0,求 zx填空题答案：1.切平面方程x+2y + 3z = 6,法线方程 =12322.充分条件.3. fx)=2-cosyzVZ z XZx z2-xyy y z2 -xy5.0-3+y0_3y= fl3 .ay3 1X ya zb6 .切线

4、方程 一4 = 2_ = J- Eaba 7法平面方程当/a. a .3 . z 7 l 八a(x-)-(y-a) + b(z-b) = 0.7 dy= y2-ex dx cos y - 2xy8 .(-3,-1,3). 9.无条件.10.zxyz3+ Ix 1-3xyz2zXz3+ 3y21 - 3xyz2计算题答案：L解：由f一肛+V=I得半=空2,由Z=/+/,得axx-2ydz0Jdy2(x2-/)=2x+2y-=dxdxx-2y4(x-yy,)(x-2y)-2(x2-y2)(l-2y,)故Zw=记旃4x-2y6x=-H.x-2y(x-2)32 .解：设两曲面在点6(%,y,Z。)相切

5、,则曲面孙Z=Z在点k的切平面%Zo(x- XO)+ Zo/(y - X)+ XoY)(z - Zo) = O.与椭球面在点综的切平面所以_y()_zo_12-V7了一瓦一/一32w_abc 33 ,3 .解：设球面方程为f+y2+z2=Q2,(,y,z)是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点,则此长方体的长、宽、高分别为2x,2y,2z,体积为V=Sxyz令L(x,y,z)=Sxyz+(x2+y2+z2-2)Lx= Syz + 2x = 0, 由 Ly = Sxz + 2y = 0,Lz = Sxy + 2z = 0,4yz+2x=0,4xz+y=O,解得X=j=z=-,R4x2+ y2 +

6、 z2 =a2, 得2 = 一)为惟一驻点，由题意可知长4xy+2z=0,方体的最大体积存在，所以当长方体的长、宽、高都为定时其体积最大。4.解：设所求点为(x,y),则此点到三直线的距离依次为：3,W，x+ 2y-6*JHL.三距离55.平方之和为z = x2y2+-(x + 2y-16)2,az-& %由=2x+ (x+2y-16) = 04,= 2y + - (x + 2y-16)=0求得驻点由于驻点惟一,根据问题本身可知,距离平方和最小的点必定存在,故所求点即为3(5 5)222j解：令S)3yf则 S=/, Kg) =产.II2于是,曲线上任一点(XO,%)处的切线方程为：xqx+y

7、y = a31 212切线与两轴的交点分别为(X(JM3(),(),XJM3),而(X(Ja3)2+(%褊3)2=a3(J+y03)=2.6 .解：方程两边对X求导得萼=+竺血.y-2+*=0,解得l-x2yCoSy,=.也不由原方程y(0)=.arcsnx1八,4+2-yCOS-y故/(O)=l-lln.7 .解：令L(x,yyz,y)=X2+y2Z2+2(x2+y2-z)+x+,z-1),则有Lx=2x+2x+/=OLy2y+2y=0/3,/=-7V3,x=y=f,z=2+3.由于所求问题存在最大值与最小值，故由/(苦且,匚芋,2干G)所求得的两个值9千50，正是该椭圆到原点的最长距离)9

8、+5后与最短距离也-56.8 .解：函数工(y)=y+2ln2与4(x,y)=x-2ln2在点(0,0)邻域连续，且F(O5O)=0,F(0,0)=-ln20由隐函数存在定理，在点0的某个邻域(-5)存在唯一一个有连续导数的函数y=9(x),使Fx,(x)0,且。(O)=0._y+22n2“x-2vln29 .解：.=l,y=2/,z；=3/，设所求点对应的参数为,则曲线在该点处切向量可取为T=（1,2玲,3记），而平面的法向量为3=（1,2,1）,切线与平面平行，得l+4ro+3ro2=O,解得4=-l/o=-g,于是所求点为（一1，1）或_L1_J_3,9,2710 .解：设F(X,y,z)=e-AyZ,则Fx=-yz,Fz=e-xyt丁日，Kyz于是ZX=-二一一Fze2-xyzxx