北师大版（2019）选择性必修一第三章空间向量与立体几何章节测试题(含答案).docx

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1、北师大版(2019)选择性必修一第三章空间向量与立体几何章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.己知=(1兀2/1,0)=(3,Z),则忸一。|的最小值()A.亚B.叵C.-D.叵33332.在正方体48CO-4BCa中,点E为上底面Aa的中心,若4巨=A4,+jMB+y4),则XJ的值是()A.X=,y=B.X=1,y=C.=Ly=lD.X=1,y=122223 .如凰在三棱柱ABC-小产中,Q分别是CRA8的中点,pQ=A8+ZMC+cA。,则+b+c=()A.lB.-lC.0.5D.-24 .已知正四棱柱48CO-48CQ中,4A=2A8,则C。与平面BDG所成角的正弦值等于()

2、A.-B.立C.立D.133335 .如图,在底面为正方形的四棱锥P-45。中,己知PA_L平面ABC。,且4=AB.若点M为PO中点,则直线CM与PB所成角的大小为()P,CBA.60oB.45oC.30oD.90o6 .如图三棱柱48。-486中，6是棱械的中点,若比1=，水;%，3=。，则。6=()7 .在空间直角坐标系。孙Z中,已知A(l,2,0),3(0,1,2),C(l,0,2),则点O到平面ABC的距离是()A0B3c5d228 .如图,在平行六面体ABCr-4gCa中,ab+AO-CG=()CDBD-DB1二、多项选择题9 .在如图所示的空间直角坐标系中，48CO-A4G。是棱

3、长为1的正方体，贝J()A.平面AB与A的一个法向量为(0,1,0)B.平面BC。的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABCR的一个法向量为(0,1,1)10 .如图,在三棱柱ABC-A1BCI中,侧棱AAlI底面AqG，NKAC=90。，AB=AC=AAi=IiD是棱CC1的中点,P是AD的延长线与AG的延长线的交点.若点。在直线旦P上,则下列结论错误的是()A.当Q为线段用尸的中点时,OQ_L平面ABQB.当Q为线段BF的三等分点时,OQ平面ABDC.在线段BF的延长线上,存在一点Q,使得OQ_L平面ABDD.不存在点。,使与平面AiBD垂直1

4、1 .在棱长为2的正方体ABCO-A4GA中，P是棱AB上一动点,则P到平面ACQ的距离可能是()d2212 .在三棱锥A-BCD中,OAQBQC两两垂直,且OB=DC,E为BC的中点,则直线AE和BC()A.垂直B.相交C.共面D.异面三、填空题13 .已知空间向量i(2,1,2),0=(1,2,2),则忸。卜.14 .已知平面。一个法向量为=(一1,一2,-2),点A(U,0)为内一点,则点尸(1,0,T)到平面的距离为.15 .如图,在三棱锥O-ABC中,。是BC的中点,若OA=兄,08=OC=C，则Ao等于16 .如图,在长方体CD-AgCQ中百尸分别为40,3G的中点,G是线段EF上

5、一点,满足EF=4GF若D1G=xf1A+yD1B1+ZAC,则x+y+z=.四、解答题17 .如图,四棱锥尸-ABCD的底面为正方形,尸DJ_底面ABCD设平面玄。与平面PBC的交线为/./DcyV(1)证明：/_L平面PDC;(2)已知H)=Ae=1,Q为/上的点,求PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值.18 .如图,在四棱锥尸ABCD中,平面尸8C_L平面ABeQ,底面ABCO是矩形,。石分别是BC1PA的中点,平面经过点0,D,E与棱PB交于点、F.(1)试用所学知识确定尸在棱PB上的位置；(2)若尸B=尸C=6,8C=2AB=2求E/与平面PC。所成角的正弦值.19 .如图，在直三

6、棱柱4BC-AMG中，。,E分别为BC,AC的中点，A3=8C.求证：(1)44平面。EC;(2)BEIC1E.20.如图，正方形ABCo的边长为2,四边形3。所是平行四边形，B。与交AC于点G,。为GC的中点，Fo=且b。_L平面45CD求证：(1)AE平面BCF；(2)CF_L平面AEF21 .如图，己知空间四边形ABC,E,”分别是边A3,AO的中点，F,G分别是边CB,Co上的点，且C户=C8,CG=CD.用向量法证明：四边形K汨是梯形.22 .如图,在直三棱柱48C-AAG中,AC=LBC,E产分别为四，CR的中点,且EF_L平面AAIGC.(1)求AB的长；(2)若A41=2,求二

7、面角C-AE-A的余弦值.参考答案1 .答案：B=即酒喟*解析：由题可知,b-=(2+f,T+l),故W-N=+2)2+(1-1)2+=J3/+2Z+5423故选:B.2 .答案：A解析：根据题意,结合正方体的性质，故选：A.3 .答案：B解析：如图,连接CQ.因为RQ分别是CEAB的中点，Pe=PC+Ce=FC+(CA+CB)=-AD+(-AC+AB-AC)=AB-AC-AD,贝IJa+b+c=-故选：B.4 .答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设AB=AD=I,AA1=2则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2)设平面BDCl的法向量为=(%,y,z)

8、,则卜=f=,令z=l,则y=-2,x=2,所以=(2,-2,l)小。G=y+2z=0设CD与平面8。G所成角为,则Sine=,dc=-.Hl-W3故选：A.5 .答案：C解析：如图所示：以A为坐标原点,以AB,AO,AP为单位向量建立空间直角坐标系A-Xyz,设网=1厕A(W),C(l,l,0),M(0,g,；p(0,0,l),5(l,0,0),故PB=(LoT,MC=(W),PBMC叫即向.岛,由异面直线夹角的范围是(0。,90。,故直线CM与PB所成角的大小为30。.故选：C.6 .答案：B解析：由己知可得M=BA-3A=1-，因为G为棱AAl的中点,则11Z11CG=CA+AG=BA-

9、BC+AA=a-b+-c-a=-a-b+-c22、,22故选:B.7 .答案：B解析：依题意可得A8=(T-l,2),8C=(l,T0),OA=(l,2,0),设平面ABC的一个法向量为=(X,y,z),ElnAB=-x-y+2z=0八rlll-hr.z、则，令X=I,则可得y=l,z=l,即=(LI/)，nBC=x-y=O故选:B8 .答案：B解析：连接AC、AC,可得AB+AO=AC，又Cel=A4,所以A3+ACG=AdAA1=AC故选:B.9 .答案：AC解析：由题意，知A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,l,0),D(),l,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1)，D1

10、(0,l,l),AS=(0,1,0),A_L平面AB耳4，故A正确；CD=(-1,0,0),fi(l,l,l)(-l,O,O)=-lO,.(1,1,1)不是平面BCD的法向量，故B不正确；B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(l,1,l)(0,1,-1)=0,(1,1,1)(-1,0,1)=0,又4LCR=C,.(1,1,D是平面BCA的一个法向量，故C正确；BC1=(OJJ),且(0,l,l)(0JI)=2w0,.(0,l,l)不是平面ABCQ的法向量，故D不正确.10 .答案：ABC解析：如图,以A为坐标原点,44，ag，AA所在直线分别为X轴、)，轴、Z轴建立空间直角坐标

11、系，易知,A(0,0,0)，片(l,0,0)，G(，l，)，B(l,0,l),0(0,l,g)p(0,2,0),所以44=(1,0,1)，40=(。,1；)，4户=(一120),。玛二(1,一1,：设平面A1BD的一个法向量为=(X,y,z),nAiB=x+Z=O则彳1,取z=-2,则x=2,y=l,nA1D=y+-z=O所以平面43。的一个法向量为n=(2,1,-2).假设。Q_L平面AB。,且4Q=几4P=九(_1,2,0)=(-几,2Z0),j,(1、则OQ=O4+4Q=1-,-1+22,-2)因为。也是平面AiBD的法向量，所以=(2,1,-2)与OQ=(I-4-1+24-|共线，1所

12、以1一义一1+2221成立，=I=I=21-24但此方程关于4无解,因此不存在点。,使。与平面A3。垂直,所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：ABC.11.答案：BC解析：如图,以为坐标原点,以AA,AG的方向分别为X轴J轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),8(2,2,2),PQ,4,2)(02),0(0,0,2),C1(0,2,0),故AG=(-2,2,0),A。=(-2,0,2)，设平面AGQ的法向量Zi=(X,y,Z)，由，小x+2取2A1D=-2x+2z=0则1=(IJl)为平面AGD的法向量，A户=(0,42),所以P到平面4G。的距离d=叫=比与.因为0a

13、0,即BC选项的数值才符合. 3解析:因为E为BC的中点,则直线AE和BC相交于点所以选项B,C正确,选项D不正确.因为E为BC的中点,所以AE=OEOA=；(O8+OC)D4,因为在三棱锥A-BCD中,OAQBQC两两垂直,且DB=DC,所以AE8C=DB+DCyDA一(DC-OB)=J(IQC一|。=0,所以AEJ.BC,故选项A正确.故选:ABC13 .答案：2解析：因为空间向量i(2,l,2),b=(l,2,2),则b-=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),因此加一代J(T)2+F+02=万故答案为：&.14 .答案：1解析：由题意知：AP=(L-L-I)所以财W18三三

14、詈i故答案为：115 .答案：-a+-b+-c22角军析：由图可得AO=Ao+08+30=04+08+，(0C08)=a+，Z?+，c.2、f22故答案为：-a+-b+-c-2216 .答案：1/0.875.8解析：建立如图所示空间直角坐标系,设A(6t,0,0),C(0,Z?,0),D1(0,0,c)(0,Z?0,c0),所以 EF = (U,0),因为EF分别为AA,BC1的中点,所以唱,0,9,呜力,|）又因为E户=4G户,所以Ge号,所以QlG=又因为D1A=(a,0,-c),DE=(aS,O)，AC=(O,b,c),G=%A+)，S+zC,=xa+ya12=x+y1X=-8所以,型=

15、yb+zb,所以4=y+z,解得,4y-所以x+y+z=N88C13=-XC-ZC=-x-zZ=-228故答案为:N或0.875.817 .答案：（1）证明见解析;(2)亚3解析：证明：在正方形ABCz)中,aD8C,因为Ae)U平面P3C,8Cu平面P8C,所以AO平面PBC,又因为a。U平面外。,平面PAor平面P8C=/，所以AV,因为在四棱锥P-48Cf)中,底面ABC。是正方形，所以Ae)J.DC,./_LZ)C且POj_平面ABCR所以AD工PD，；.UPD，因为CfPf=O,所以/1平面POC(2)方法一【最优解】：通性通法因为。PQA,。C两两垂直,建立空间直角坐标系。-Ayz

16、,如图所示：因为PD=AD=L设D(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(O,O,1),B(1,1,O)设(m,O,l),则有DC=(0,1,0)，DQ=(w,O,l),PB=(1,1,-1)设平面QCD的法向量为n=(乂y,z)，oc”(MDQn=O令X=1,则Z=T,所以平面QCD的一个法向量为=(1,0,_2),则 cos =nPB_10+W7pb3m2+根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于Il+w6/1+211+w2Icos=L,=JL3w2+13V6+1H2J+型3g=,3Vw+1

17、3Vw2+l33当且仅当机=1时取等号,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为远.3方法二：定义法如图2,因为/u平面P8C,Qe,所以。平面PBc在平面尸QC中,设PBQC=E.在平面布D中,过尸点作PFQD友QD于忆连接EF.因为平面ABCD,DCU平面ABCD以DC工PD.又由。C_LAD,AoPD=。,尸Z)U平面。，40：平面p40，所以。CJ_平面PAO又尸产U平面以D所以DC_1尸产.又由PF_LQO,QDOC=。，QoU平面QOC,。CU平面Q。，所以P平面QQC,从而NFEP即为PB与平面QCo所成角.设尸Q=4,在APQD中,易求PF=l；6Z+1方法三:等体积法

18、如图3,延长CB至G,使得BG=PQ,连接GQ,GR则PB/QG,过G点作GM，平面QDC,交平面QDC于M连接QM,则/GQM即为所求.设PQ=X,在三棱锥Q)CG中DCG=LPd,cO(C8+8G)=L(1+x).326在三棱锥G-Qr)C中QDC=gGMgc3QO=gGMgmr.由NQ-DCGVG-QDC得工。+工)=彳GM-Jl+2，O32解得GM=黑=符强斥当且仅当X=I时等号成立.在RtNDB中,易求PB=后=QG，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为sinNMQG=18 .答案：(1)见解析(2)正3解析：(1)过P作直线/与BC平行,延长与/交于点G,连接OG,OG

19、与PB的交点即为点F.因为底面ABCD是矩形,。是BC的中点，所以AD/BC，且AD=IOB-又WBC，所以WAD.因为E是心的中点,可得pg=AD,则尸G=208,所以小=23斤故F在棱PB的靠近B的三等分点处.(2)因为PB=PC,。是BC的中点,所以PoJ_8C，又平面PBC_L平面ABCD平面PBCn平面ABCD=BC,POU平面PBC,所以尸o_L平面ABC取A。中点Q,连接0。,易知。,OCoP两两相互垂直，如图,分别以。,OeoP为,z轴建立空间直角坐标系,则A(l,-l,0),3(0,TO),C(OJO),D(l,l,0),P(,),AD=(0,2,0),CD=(Lo,0),C

20、P=(O,-1,.则“但。，即”,令ZmCP=Oi-y+2z=0,则y=,所以m=(,l)EF=PF-PE=|=(,-l,-2)-(l,-l,-2)=-p-设Er与平面PC。所成角为。，则 Sin = cos(EF, w) =所以Er与平面PCZ）所成角的正弦值为也.319 .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：取AG的中点4，连接鸟.由题易得，EC,EB,片两两垂直，以石为原点，EC,EB,E&所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐(I则E(),0,0),(,l-c2,),D1c,0,A(-C,0,),B1(,l-c2,G(GO,),所以44=卜,4,0)，ED=,Z,0

21、,所以A4=2EO,所以AiBJZEDf所以A3EO.因为区u平面DEG，AMu平面OEG，所以AA平面DEG.（2）由（1）得或=（OJ-C2,0bEC1=（c,0,）,而E8EC；=0,所以EBLEC；,所以8J_G.20 .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：取BC的中点从连接。，则OHBD.四边形A8C。为正方形,:.ACLBD,.OHlAC,故以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-l,0,0),F(0,0,3),8(1,2,0),aBC=(-2,-2,0),CF=(1,0诉,BF=(-1,-2,),AF=(-3,0,3).设平面BCF的一个法

22、向量为=(x,y,z),-2x-2y=0,+-V3z=0,取z=1,则X=-y3,y=6,.,./=(-3,3,l).四边形斯为平行四边形，.DE=BF=(-1,-2,3),.AE=AD+DE=BC+BF=(-2,-2,0)(-1,-2,3)=(-3,-4,6),:.AEn=-3(-3)-43+31=0,:.AELn,又AEu平面BeF,.AE平面BCF.(2)由(1)知AE=(-3,-4,J).CFA尸=-3+3=0,CFAE=-3+3=0,.CFlAFfCF-LAEt即LAF,CFlAE.又AEnA/=A,AE9AFU平面AEF,.。/_1平面人石尸.21 .答案：证明见解析解析：证明：连

23、接BD,.E,”分别是边AB,4。的中点，111(33、33:.EH=BD=(CD-CB)=CG-CF=(CG-CF)=-FG,.EHHFG,且IEHl=2R77G,4又尸不在EH上，.四边形EFGH是梯形.22.答案：(I)AB=IL2解析：(I).衣上面AACG,又ACU面AAlCG,.EFLAC,又尸为AC的中点，.EA1=EC又在RtZXA4ERt班:C中,8E=E8,易证得ZA耳E学ACBE,故4用=BC.AB=AiB.AB=BC又.AB上BC，AC=桓，故4B=1(2)以点片为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bl-町，z,由题意可知A。，。)，E,C(O,1,)则AE=1C=(-1,1,2)不妨设m=(%,Zo)是平面CAIE的一个法向量,那么AE=O,即inA1C=0y2xo+-zo=-x0+y0+2z0=0令Zo=2,则m=(,-2,2).又与GJ.面AABA,故与G=(M,0)是平面A片84的一个法向量.设为二面角C-AE-A所成平面角，则 cos a =mBiCl2_1hB1C1222,即二面角C-AE-A的余弦值为;.