线性代数习题与解答.doc

《线性代数习题与解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数习题与解答.doc（20页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、 . 线性代数习题一说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题本大题共10小题，每题2分，共20分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。1设行列式=2，那么=A-6B-3C3D62设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，假设AX-E=E，那么矩阵X=AE+A-1BE-ACE+ADE-A-13设矩阵A，B均为可逆方阵，那么以下结论正确的选项是A可逆，且其逆为B不可逆C可逆，且其逆为D可逆，且其逆为4设1，2，k是n维列向量

2、，那么1，2，k线性无关的充分必要条件是A向量组1，2，k中任意两个向量线性无关B存在一组不全为0的数l1，l2，lk，使得l11+l22+lkk0C向量组1，2，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示D向量组1，2，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5向量那么=A0，-2，-1，1TB-2，0，-1，1TC1，-1，-2，0TD2，-6，-5，-1T6实数向量空间V=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是A1B2C3D47设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，那么以下结论正确的选项是A+是Ax=0的解B+是Ax=b的解C-是Ax=b的解D-是Ax=0的解8

3、设三阶方阵A的特征值分别为，那么A-1的特征值为ABCD2,4,39设矩阵A=，那么与矩阵A相似的矩阵是ABCD10以下关于正定矩阵表达正确的选项是A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零C正定矩阵的行列式一定大于零D正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题本大题共10小题，每空2分，共20分请在每题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，那么det (AB)3)=_12设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，那么t=_13设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，那么矩阵A的逆A-1=_14实向量空间Rn的维

4、数是_15设A是mn矩阵，r (A)=r,那么Ax=0的根底解系中含解向量的个数为_16非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是_17设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，那么=_18设方阵A有一个特征值为8，那么det-8E+A=_19设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，那么|Px|=_20二次型的正惯性指数是_三、计算题本大题共6小题，每题9分，共54分21计算行列式22设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B23设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向

5、量25求以下齐次线性方程组的通解26求矩阵A=的秩四、证明题本大题共1小题，6分27设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：线性无关线性代数习题二说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题本大题共10小题，每题2分，共20分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。1.设3阶方阵A的行列式为2，那么( )A.-1B.C.D.12.设那么方程的根的个数为 A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，

6、假设那么必有 A.B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶方阵，以下命题中正确的选项是 A.B.C.D.5.设其中那么矩阵A的秩为 A.0B.1C.2D.36.设6阶方阵A的秩为4，那么A的伴随矩阵A*的秩为 A.0B.2C.3D.47.设向量=1，-2，3与=2，k，6正交，那么数k为 A.-10B.-4C.3D.108.线性方程组无解，那么数a=( )A.B.0C.D.19.设3阶方阵A的特征多项式为那么( )A.-18B.-6C.6D.1810.假设3阶实对称矩阵是正定矩阵，那么A的3个特征值可能为 A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题本大题共

7、10小题，每题2分，共20分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为_.12.设那么_.13.设A是43矩阵且那么_.14.向量组1，2,2，33，4的秩为_.15.设线性无关的向量组1，2，r可由向量组1，2，,s线性表示，那么r与s的关系为_.16.设方程组有非零解，且数那么_.17.设4元线性方程组的三个解1，2，3，那么方程组的通解是_.18.设3阶方阵A的秩为2，且那么A的全部特征值为_.19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为那么数a=_.20.设实二次型A的特征值为-1，1，2，那么该二次型的规形为_.三、计算题本大题共6小题

8、，每题9分，共54分21.设矩阵其中均为3维列向量，且求22.解矩阵方程23.设向量组1=1，1，1，3T，2=-1，-3，5，1T，3=3，2，-1，p+2T，4=3，2，-1，p+2T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组,1确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？2当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解要求用其一个特解和导出组的根底解系表示.25.2阶方阵A的特征值为及方阵1求B的特征值；2求B的行列式.26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(此题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明习题一答案

9、习题二答案线性代数习题三说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分,共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多项选择或未选均无分。1.设A为3阶矩阵,|A|=1,那么|-2AT|=( )A.-8 B.-2 C.2 D.82.设矩阵A=,B=(1,1),那么AB=( )A.0 B.(1,-1) C. D. 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,那么以下矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BA B.AB+BA

10、 C.AB D.BA4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,那么A-1= ( )A. B. C. D. 5.以下矩阵中不是初等矩阵的是( )A. B. C. D. 6.设A,B均为n阶可逆矩阵,那么必有( )A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7.设向量组1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),那么 ( )A. 1, 2,线性无关 B. 不能由1, 2线性表示C. 可由1, 2线性表示,但表示法不惟一 D. 可由1, 2线性表示,且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,那么齐次线性方程组(E-A)x=0的根底解系所含解向量的个数为( )A.0

11、 B.1 C.2D.39.设齐次线性方程组有非零解,那么为( )A.-1 B.0 C.1 D.210.设二次型f(x)=xTAx正定,那么以下结论中正确的选项是( )A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.12.A=,那么|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13.设矩阵A=,P=,那么AP3=_.14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,那么|A-1B|=_.15.向量组1,

12、=(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关,那么数k=_.16.Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, 1, 2, 3为该方程组的3个解,且那么该线性方程组的通解是_.17.P是3阶正交矩,向量_.18.设2是矩阵A的一个特征值,那么矩阵3A必有一个特征值为_.19.与矩阵A=相似的对角矩阵为_.20.设矩阵A=,假设二次型f=xTAx正定,那么实数k的取值围是_.三、计算题(本大题共6小题，每题9分，共54分)21.求行列式D=22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.23.假设向量组的秩为2,求k的值.24.设矩阵(1)求A-1;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.四、证明题(此题6分)27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.线性代数习题三答案20 / 20