等差数列的性质总结.docx

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1、等差裁到1.等差数列的定义：aj%=d（d为常数）（2）;2 .等差数列通项公式：an=ai+（n-）d=dn+a-d（n,首项：q,公差:d,末项：“推广：4=+（n-n）d.从而cl=a,1a,n；n-m3 .等差中项（1）如果。，A,8成等差数列，那么4叫做。与的等差中项.即：A=!女或2A=+Z?2等差中项：数列%是等差数列=2=anA+11+1（n2）2an+i=an+an24 .等差数列的前n项和公式：C（4+凡）1）fd2Z1八42nSn=na+-d=y-+（01d）n=An2Bn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2+1时，%

2、+是项数为2n+l的等差数列的中间项S2n+1=（2+1）（；+生向）=（2+1”,用（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5 .等差数列的判定方法（1）定义法：若%-a”-=d或-a,=d（常数N*）o%是等差数列.（2）等差中项：数歹IJ%是等差数列=2an=anA+arl+l（2）2an+l=all+afl+2.数列凡是等差数列O勺=如+b（其中是常数）。（4）数列/是等差数列OS=A+B*（其中A、B是常数）。6 .等差数列的证明方法定义法：若%-%=d或%+1%=（常数N*）o4是等差数列.7 .提醒：（D等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、d、n、”及S”

3、，其中4、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项a”=a+（n-）d奇数个数成等差，可设为，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,a+d,a+3d,（注意；公差为2d）8 .等差数列的性质：（1）当公差dw时，等差数列的通项公式/=4+（-l）d=加+4-4是关于的一次函数，且斜率为公差d：前和SI=T）J=n2+（a1-g）n是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差d0,则为递增等差数列，若公差dn=S奇一S偶=4S偶=nantlS偶n(其中4“是项数为2n+l的等差

4、数列的中间项).A(8)、4的前和分别为4、Bn,且*=/(),则务=殍N=瓢L=/(2f(2n-l)B2rt.,(9)等差数列凡的前n项和Sm=n,前m项和Sn=m,则前m+n项和S,=-(w+)(10)求S”的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性N。法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当q0,d0,由0,由n可得Szt达到最小值时的值.K.或求%中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，5取最大值(或最小值)。若SP=Sq则其对称轴为二庄92注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于4和，/的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.