2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 8-2一元线性回归模型及其应用 学案.docx
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1、8.2一元线性回归模型及其应用素养目标定方向学习目标1 .结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义.了解最小二乘法原理.掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件.2 .针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测.3 .了解随机误差、残差、残差图的概念.核心素养1 .通过对散点图、线性回归的分析,培养数据分析素养.2 .借助回归模型的建立,培养数学建模、数据分析及数学运算素养.A必街知识探新知、ZZ知识点1一元线性回归模型Y=bx+a-e,一元线性回归模型的完整表达式为、八八/、2其中V称为因变量或响应变量,X称为自变量或解释变量:a,力为模型的未
2、知参数,e是?与H+a之间的机误差.想一想:具有相关关系的两个变量,其样本点散布在某一条直线y=6x+a的附近,可以用一次函数尸以+a来描述两个变量之间的关系吗?提示:不能.练一练:下列说法不正确的是(C).在回归模型中,变量间的关系是非确定性关系,因变量不能由自变量唯一确定B.在函数模型中,变量间的关系是确定性关系,因变量由自变量唯一确定C.在回归模型中,变量X和y都是普通变量D.在回归模型中,回归系数可能是正的也可能是负的解析在回归模型中,X是解释变量,y是响应变量,当解释变量取值一定时,响应变量的取值带有一定的随机性.知识点2最小二乘法与经验回归方程(D最小二乘法=+称为y关于X的经验回
3、归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为里验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做6,a的最小二乘估计.(2)经验回归方程的系数计算公式经验回归方程的计算公式的计算公式=x+nn2(XLX)(%一1ZXXy/=I/=1y(a;XyZ,一X2j=l/=1=y-X(3)经验回归方程的性质经验回归方程一定过点“上J;一次函数=x+的单调性由的符号决定,函数递增的充要条件是0;的实际意义:当X增大一个单位时,增大个单位.练一练:如果记录了必y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么y关于X的经验回归方程必过点(D)A. (2, 2)C. (
4、1,2)B.(1.5,2)D.(1.5,4)解析因为:=。+?2+3=1.5,1+3+5+7=4,所以经验回归方程必过点(L5,4).知识点3残差与残差分析(1)残差对于响应变量K,通过观测得到的数据称为一观测值通过经验回归方程得到的称为.预测值,观测值减去预测值称为残差.残差分析残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.(3)对模型刻画数据效果的分析残差图法:在残差图中,如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内,则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系;残差平方和法:残差平方和邑(匕一
5、越小,模型的拟合效果越好;法:可以用=1一来比较两个模型的拟合效果,川越大,模型拟合效果越好,而越小,模型拟合效果越差.练一练:甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量X,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的决定系数#分别如表:甲乙丙T*0.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好(A)A.甲B.乙C.丙D.T解析决定系数越大,表示回归模型的拟合效果越好.关健能力攻重旗题I型I探1究题型一求经验回归方程典例1随着网络的普及,网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐,某家网络店铺商品的成交量x(单位:件)与店铺的浏览量双单位;次)之间的对应数据如下表所示:x/件
6、24568力次3040506070(1)根据表中数据画出散点图;(2)根据表中的数据,求出y关于X的经验回归方程;当这种商品的成交量突破100件(含100件)时,预测这家店铺的浏览量至少为多少?分析以横轴表示成交量,纵轴表示浏览量,画出散点图,若散点图显示两变量线性相关,则依据公式求解经验回归方程,再利用经验回归方程进行估计.解析(1)散点图如图所示.(2)根据散点图可得,变量X与y之间具有线性相关关系.552X-5xy根据数据可知,X=5,y=50,xiyi=1390,E北=145,代入公式得二lIIEY-5/tI1390-5X5X50_-145-552-=7,=y-X=50-7X5=15.
7、故所求的经验回归方程是=7x+15.(3)根据上面求出的经验回归方程,当成交量突破100件(含100件),即x=2100时,715,所以预测这家店铺的浏览量至少为715次.规律方法经验回归分析的步骤(1)收集样本数据,设为(为,y,)(i=l,2,,)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图,确定筋y具有线性相关关系.(3)计算Xy,xnTfXiYi.J=IJ三l(4)代入公式计算相关系数,确定相关性的强弱.(5)代入公式计算,写出经验回归方程=+.(6)利用经验回归方程进行预测.10对点训练佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现,某市对此不断进行安全教解析(1)由表中数据知,1+2+3+4 5
8、X =4=2f-=l2150l0501 000,9001育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据:年度2020202120222023年度序号1234不戴头盔人数y125010501000900(D请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号X之间的经验回归方程=x+;(2)估算该路口2024年不戴头盔的人数.050,ZXM-4XyIqqtx-in500_c所以=喋_a=Tl0,所以=y=1050-(-no)=4 5UNbN-4T2/=I1325,故所求回归直线方程为=-110x+l325.(2)令x=5,则=-110X5+1325=775,则估算该路口2024年不
9、戴头盔的人数为775人.题型二户的求解与回归模型的拟合典例2我国在第七十五届联合国大会上提出:“中国将提高国家自主贡献力度,采取更加有力的政策和措施,二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放,实现碳中和,人人都可出一份力.某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设:烧开一壶水有诸多因素,本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度,其他因素假设一样:由生活常识知,旋转角度很小或很大,一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费,因此旋转角度设定在10到90之间,建模实验中选取5个代表性数据:18。,36,54,72,90.某数
10、学建模小组收集了“烧开一壶水”的实验数据,如表:项目旋转角度开始烧水时燃气表度数/dm?水烧开时燃气表度数d18908092103689589080548819895872。867088199084988670以X表示旋转角度,y表示燃气用量.(D用列表法整理数据(筋y);立旋转角度:度)1836547290y(燃气用量:dm3)(2)假定x,y线性相关,试求经验回归方程=x+;(注:计算结果精确到小数点后三位)(3)计算(2)中所求模型的决定系数,评价此模型的拟合效果.(注:计算结果精确到小数点后两位)5 5_5_5_参考数据:y=712,ZU-7)(-7)=1998,Z(a,-T)2=32
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