678期【圆锥】新教材中光学性质的拓展应用公开课教案教学设计课件资料.docx

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1、678期【回砥J却教材寸如埠性流的柘居启用在人教版老教材（见普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1A版（xxxxxxx,2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页），或新教材（普通高中教科书数学选择性必修第一册A版，第140页，如下图）都有圆锥曲线的光学性质及其应用的介绍。但是，这些介绍偏于实际应用，并未给出相应的数学推理证明。因此这一期将在教材的基础上给出相关定理及推导。,）阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用Mtn.双商政.发物线这些1律曲城都有髭点.*.显名思义.就是光戏的聚嶷点.这说明Bi锥曲蟆与光鹿有累宙的&系.Ie馆曲真具亦丰富的光学收成.我的如it当一束光成黑到货面时先战

2、会依一定的规件反射.即反射角等于入射角（留1）.当光原射到向面特到是由三l便面嫉统其对称“於而成的由面时.会aa有什么现象呢？我旬看生活中的一个实例，一只很小的灯泡发出的wl先,会分般地射向方方.仅把它*我国任彩手电角Jt.经过造务调节.M能射出一束比统强的不行先政.这是为什么呢？麻来手电药内.&小灯泡后面有一个反光镜,镜面的形状是一个由卅物修畿它的竹#林关N所得到的曲面（2）,这种曲面T做出物面.撤物战在一番次要T从弱点发出的先我.好过乱物战上的一点反射后.反射先现早疗于“物战的MW（ffl3）也是利用这个原理设计的.应用出物我的这个性质.也可以使一束千行十必物坟的”的光线，绶过椎物曲的反射

3、集中于它的热晨.人们应用这个原现段计了一叶加热水食物的太阳灶（4）,在这钟太阳灶上装有一个战精椎物面号的反光检.当它的触与大阳光我干行廿，太阳光战Ii过反射后臬中于焦点处这一点的温度就会很商.楠胃和M曲鼓的光学也及与他物端不同.从IIH的一个焦点发出的光坎.经过幅IS反射后.反射光泰久于描三l的另一个焦点上（95）,从双色及的一个焦晨发出的比我.皎过双曲战反射后,反射光战是效升的.它们就好像是从另一个焦点射出的一样（ffl6）.M,双曲战的光学性及电放人们广迂地应用于冬钟设计中.解析几何是用解析方法（代数方法）来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识.相反地，解析几何是将数与形有机

4、地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识.在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧.利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题.【知识精讲】一、椭圆的光学性质:桶B的光学性质】从椭B）一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭B）的另一个焦；点上；（见图1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在耳处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于K处，对K处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理.【引例1】已知：如图，椭事:Ld（60）,EJ.分别是其左、右焦点，J是过椭圆上一点ab（1LI的切线，18是直线，上的两点（不同于点

5、。）.求证：=/EOL（人射角等于反射角）桶BJ光学性的几何证明作耳关于切线，的对称点，连接K外交/于点。,要证NGoA=N乃。8,只需证明点以和点0重合，由引理1知点W是直线/上使得。6+。工值最小的唯一点;并且由引理3知点。也是直线/上使得。耳+。鸟值最小的唯一点，.O与点O重合，则NKDA=NEDA=N.要证明反射光线经过”,只需要证明直线t/与。耳的夹角和与。鸟的夹角相等即可.FDA=a,HDB=0,即证0=/.（关注微信公众号：Hi数学派）由H=I两边对X求导得上+等=O,丁=-1土,，切线/的斜率%=-11,ab-aihiaiya-%.tanzy-%+。-或-（5-%）.IdllC

6、X-,IIk-c+（X0+妙o）+co+c又./?XLCMXtt_。）一为一收+（5-3）,1卜.%x0-c+佻（xo+G）-c-c由&=一4二可得a-y0d%b2xl从r；+y；a2b2_b2-Ck-i,-y0-22-ay。%。%。加%即直线J到。耳对于的角等于直线。入到直线）的角，所以经过左焦点”的入射光线。耳射到椭圆壁经椭圆壁反射后的反射光线为。鸟，即反射光线经过右焦点B.故命题得证.二、双曲线的光学性质:I【双曲线的光学性质】从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇I1聚到双曲线的另一个焦点上；（见图IzI双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，

7、也能找到实际应用.【引例2】已知，如图，双曲线Cl（u0.60）,Fj分别其左、右焦点，）是过双曲或上一点CJ的切线，L8是直线，上的两点（不同于点/）,连接/D并延长，在延长线上取点（.求证：，F：DBsI.（人射角等于反射角）【分析】作6关于切线）的对称点E,连接Ke交/于点。,利用同一法可得O0与点。重合，进而即得.【详解】作6关于切线1/的对称点6，连接耳外交j于点。,则NKO8=NFf则要证N6OB=NCZM,只需证明点”和点。重合，由引理2知点W是直线/上使得值最大的唯一点（显然点”和点K到直线J的距离不相等）；并且由引理3知点。也是直线）上使得I班-O图值最大的唯一点，D与点、D

8、重合,（关注微信公众号：Hi数学派）所以AF2DB=NFpB=ZCDA.三、抛物线的光学性质:I【双曲线的光学性质】从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于掘物线的轴（如i!i图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器

9、上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.平分线段中，进而可证角相等.【详解】作抛物线的准线2：y=延长8交？于点O（XO,一9，DF=DD,;/1由CY=2py（p0）得C：y=，因此了=一1,（关注微信公众号：Hi数学派）2pp当豌,*0时直线/的斜率号=，直线尸。的斜率”,22,P,PKFly-两条直线斜率乘积为-1,所以直线/垂直平分线段ED,则NF4=NDDI=NCQb.当XO=O时，点。（0,0）,此时直线/

10、为X轴，结论显然成立.综上所述，结论成立.【点睛】这里我们主要运用同一法，结合点关于直线对称的性质，从而避开了繁琐的计算，给出抛物线光学性质的简洁证明.抛物级光学性质的代数证明程得到AMN=0,即可证明反射光线平行于X轴.【详解】证明：设m（卷，%），过点M的抛物线的切线为/,且x=（a%）+券，入射光线FM经抛物残壁反射后的反射光线为MN,（关注徵信公众号：Hi数学派）y2 = 2px=f(y-%)+为得 y 2 - 2+2 缶- 二 0,故A=42/2-8m+4y：=O即比,故切线/的斜率上二.P%k-kk-k设直线/到直线府的角为。，直线MN到直线/的角为/，则由Uma=tan/得华一-

11、=lz,v,即l+fFM*l+kkN,解得KwV=O反射光线平行于X轴.1i 彳/2%Px.P.Jo2【注】更多关于圆锥曲线的光学性质和应用可以在公众号内搜索小区之前的推文485期【圆锥】椭圆的光学性质及其应用，链接：htps:/mp.vcixin.qq.cxms12QHD58j6S3aB2rJSVK9cQ485期【圆锥】双曲线的光学性质及其应用，链接：https:/mp.vcixin.qq.cxm/s/UULyC25G3WSoqt7CNWU9A486期【圆锥】抛物线的光学性质及三大圆锥曲线光学性质综合培优（50页）链接：https:mp.四、光学性质应用类型1:解决入射与反射问题【例1设抛物

12、线C：r=.r,一光线从点K52)射出，平行C的对称轴，射在上的尸点，经过反射后，又射到(上的0点，则/点的坐标为,。点的坐标为.【解析】如图，直线AP平行于对称轴且A(5,2),则P点的坐标为(4,2),因此反射线PQ过点F(i,O),设Q(Rf),则4【例2】已知椭圆CJ-I,、F为分别是其左右焦点，点0(2.1),F是C上的动点，求。耳PPl2S9的取值范围.【解析】解法1：FQ),二是被下半椭圆反射(如图，光线从分gEQ)综上所述，只需求出I-QI=J（42）2+42=2加,可得最小值为2。一|鸟（21=10-2加,最大值为24+|印21=10+2加.类型3:解决与“切线”相关的问题【

13、例3】已知/是过椭圆；卜=1上一动点的椭圆的动切线，过的左焦点r作/的垂线，求垂足0的轨迹方程.如图，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐.由于/是椭圆的切线，切点为P,联想到椭圆光学性质及反射定律.根据椭圆的光学性质/是N7线的外角平分线，F1关于直线/的对称点耳在鸟P的延长线卤。3率样，由于IWl=PFli（关注微信公众号：Hi数学派）故,m=|?用+|乙|=2。=8,而点。、点0分别是7；、-用的中点，所以IQOl=4.从而。点轨迹是以。为圆心、以4为半径的圆。即点Q的轨迹方程.为X2+产=16.类型4:解决高考与竞赛中的问题【例4】（2005

14、江西.理22）如图，设抛物线=Y的焦点为广，动点在直线八2=0上运动，过。作抛物线C的两条切线/M、PB,且与抛物线分别相切于4、月两点.求MPH的重心G的轨迹方程；（2）证明/1=/.【解析】(1)设切点46坐标分别为(X,Xq)和(再,X,)(1x0)f切线月产的方程为：20x-y一片=0;切线勿的方程为：2x-y-xj=0;解得。点的坐标为：U=所以出的重心G的坐标为%=。4g=,v_%+X+力_+x+0x1_(x0+x1)2-xl_J-%“一333一-所以兀=-3%+4元，由点尸在直线/上运动，从而得到重心G的轨迹方程为:x-(-3y+4x2)-2=O,BPy=(4x2-x+2).(2

15、)解法1:因为M=(x0,x02-1),FP=(A,01-1),FB=(xpx12-).由于点在抛物线外，则IFPh0.FPFA所以cosNAFP=：IFPFAx0+xl/lw2k1+(KOXl一)(voW)x,+4I尸Pl卜+(1一；)2IE同理有CoSNBQ=FPFBIFPHFBI演;xI+(XOX】一；)(彳-一；)01+；FPx12+(-1)2,FP|所以NPFA=/PFB.解法2：当Xlxo=OBiJ于XIHX,不妨设Xo=0,贝WO二，所以0点坐标为(-l,0)则夕点到直线力户的距离x2_)_为：4=县!;而直线BF的方程：y-1=24X1即(X；-)x-x1y+-xl=0.(x”

16、1)二+五l(+LIYl所以点到直线8尸的距离为：d2=.J(XT2+：2乩二区 f I因此由M=& 可得到NPEA=NPfB. 2解法3:如图，做出抛物线的准线4=一4，过A做AA_L/于4,过B作B8J于8,连AP, BP ,在线段AA85P8的延长线上分别取。,E,M,N ,24=气2_=!_!_!U12-)2+(X1)2xI+4所以4=&,即得NPFA=NPFB.x2_l当X吊WO时，直线AF的方程:y-y=W（X-0）,即（只一!）x-y+!%=0,4x0-44x；直线6户的方程:y-=（X-0）,HP（xl2-xiy+-xl=0,4xl-044所以0点到直线4月的距离为：（关注微信

17、公众号：Hi数学派）,同理可得到点到直线BF的距离(yo-)(ilyj-)-yo2yyo02l)(V+)I因为直线AO），轴，直线BE），轴，由抛物线的光学性质知：Zpaf=Zdam=ZpaaiNPBF=NEBN=/PBB.又由抛物线的定义知：e回=圆IMI画所以IA尸I=IAAI,忸尸|=忸3,又IApl=IApl,怛PI=ISpI,所以AAKP陞AAFP,ABFP鼠垃3BP,所以PA=PF,PBf=PF,所以PN=PBf,即NEAb=NW4,又ZAAB,=NBBW=90,所以乙HP=NBBP,又AP=NA7,ZBSp=ZBFP,所以NPFA=/PFB.【例4】(2017年数学联赛湖北预赛1

18、2)过抛物线I,=2x的焦点厂的直线/交抛物线于力石两点，抛物线在/1乃两点处的切线交于点区求证：/.1AB【解析】解法1：设/的方程为X=阳+g,代入V=2x,得V-2一】=0.22设A(,y),则y+%=2m，yly2=-.设切线AE:My=X+-，BE:y2y=x.由、得%+.)=凹+.)，所以X=)；：；：；=竽=_；，得(Yf)产；3-)，即=当&=m，所以以一”),当机=0时，显然有EF_LAB；当相0时，=i-=-1,所以EFJ_AB.m22解法2:如图，设过点A的切线与准线/交于C,过点B的切线与准线/交于。，过A8作准线/的垂线,由抛物线的光学性质，可得NEAC=NMAC,由

19、抛物线的定义，有EA=M4,而CA=C4,所以AA尸CwAMC,从而NAFC=NAMC=90,即AFJ.FC.同理B/_LFD.那么，当AEO三点共线时，必然有尸C,FD重合,即CO重合成E,从而EFJ_AB.【提升训练】【例5】已知椭圆方程为二十)=1,若有光束自焦点4(3,0)射出，经二次反射回到H点，设二次反2516射点为夕Ct如图所示，则/改7的周长为.【解析】22在椭圆方程为工+二=1中，C2=25-16=9,2516因为4(3,0)为该椭圆的一个焦点所以自力(3,0)射出的光线48反射后，反射光线4C定过另一个焦点A(-3,0),故力BC的周长为B+B,+A,C+C4=4a=45=

20、20.【例6】双曲线r：-=I,又4wC,已知/1(4,2r2),凡4,0),若由尸射至/的光线被双曲线C88反射，反射光通过“8,则A=.【解析】因为入射线E4反射后得到的光线月产的反向延长线定过双曲线的另一个焦点尸(T,O),所以=3&nk=3f2.128【例7】已知双曲线C:二I,凡、石为分别是其左右焦点，点M是C上的动点，求石+MQl的取值范围.yQ【解析】由双曲线属性知，|及5|+IHQl不存在最大值，存在最小值,Q因为耳(2,0),(4,-),所以(IPQI+1尸鸟)min=F-FlP+PF2=IKQITI片PI-IP61)二IKQl-2二日，即Igl+MQl的取值范围是日,).【

21、例7】已知动圆(圆心为点)过定点.4(1.0),且与直线Jr-1相切，记动点夕的轨迹为求轨迹C的方程；设过点的直线/与曲线C相切，且与直线L-I相交于点0.试探究：在坐标平面内是否存在定点/,使得以Pp为直径的圆恒过点V?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解析】因为动圆P过定点A(L0),且与直线工=一1相切，所以圆心户到点A(l,0)的距离与圆心到直线”二一1的距离相等.根据抛物线定义，知动点P的轨迹为抛物线，且方程为UV=4x.解法1:如图，设直线，的方程为y=奴+?(易知斜率不存在的直线不符合要求),由卜,消去y得%+（2k力-4）x+,2=0,y=4x因为相切所以k0,JL

22、=（2to-4）2-4W=0,化简得加7=1.设直线/与曲线C相切的切点P（Xo，%）,则A）=2f7w=J7,%=5+?=、,得 Q(T,M 幻.所以七3由产点;ICkx=-l假设坐标平面内符合条件的点M存在，由图形的对称性，知点M必在X轴上.若取4=1,加=1,此时P(l,2),Q(T,0),以PQ为直径的圆为Y+(),-1)2=2,交X轴于点M(Lo),%(1,0);113若取攵=2,相=5，此时?(“1)，。(一1，一5),311257以PQ为直径的圆为*+-)2+(y+)2=,交X轴于点M(1,0),M2(,0).8-4644所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为(1,0),即为

23、点A.以下证明M(l,0)就是满足条件的点.(关注微信公众号：Hi教学派)2因为M的坐标为(1,0),所以MP=(TT-1,丁)，MQ=(-2ym-k),kk从而MAMQ=-4+2+冽一2=0,故恒有WP_LMQ,kkk即在坐标平面内存在定点M(1,0),使得以尸Q为直径的圆恒过点M.解法2:本题也可使用抛物线的光学性质来求解第二问.如图，连接尸尸，由抛物线的光学性质可得其反射光线PB平行于X轴，将尸8反向延长交x=-l于点C,易知PC垂直于直线=-,根据抛物线定义IPeI=I尸尸I,由反射是理得NQPF=NBPD,又因为/QPC=/BPD,在。尸尸和AQPC中，IPCI=阳因为INQPF=N

24、QPC,所以AQPF和AQPC全等,所以NPFQ=/PCQ=90。，.P0=P0即点尸在以PQ为直径的圆上，点尸就是要找的定点.【例8】（2013山东.理22）椭圆（：二十:7（oM0）的左、右焦点分别是EJ：,离心率为它，过上1 /A2且垂直于K轴的直线被椭圆（截得的线段长为1.求椭圆。的方程；点，是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接勿；/人,设/人的角平分线PAf交C的长轴于点“I皿0）,求E的取值范围；（3）在的条件下，过点，作斜率为A的直线/,使得/与椭圆C有且只有一个公共点.设直线/,外；的斜率分别为A-A.,若A*0,试证明-_为定值，并求出这个定值.*JU1kk：【解析】工22.

25、2由于C?=/一从，将X=-C代入椭圆方程彳+2T=1,得y=2aba由题意知更=1,即。=2加.又e=立，所以=2*=l.aa22椭圆C的方程为土+y2=4(2)解法1:设P(X(Pyo)(y0*0).又F1(-3,O),(3,O),由题意知所以直线PK,PF2的方程分别为:Ipl.-:y0-(0+3)y+3y0=0,IPgy0-(-75)y-3y0=0.JyO2+(Xq+有)2Jy02+(20-6)2由于点尸在椭圆上，所以三+%2=所以:*W=-2)24J（2。+2）2因为-JJm3,-2X02,F,n+3j3-n.,l3rn山33可付产=J=-所以TW=一厮.因Jl匕VznV6。4022

26、x22xn22解法2:设P(XO,打)，当0%2时,当/二B时，直线桃的斜率不存在，易知尸(也，)或P(J-；).若P(J,J,则直线尸耳的方程为x-4Jy+J=0.由题意得匕更I=布-加，因为一5m+16=(3%+4)2n-y3Y4(x03)2+4x23x023*j3xfi+16(3x0-4)*m+Tsi_lTJx0+4吁x0-4因为一wvJ5,02且与工6所以C+=4+Jo3-w4-30整理得用=”，故40m3且m-.33综合可得Om5.当-2VXo0时，同理可得一/?,o22+8x0y0Ar+x02=O故=3_,44%由(2)知_!_+，=生芭+上正=生，Kk%JoJo,111z11、，

27、4/、2xaC所以-+=-()=(-)-=-8,i2&2x0y0因此-+一为定值，这个定值为-8.kk、kk1解法2：因为ej,%2=f,代入卷+卷中得I1.,Xn+,y3Xft-、C工A,A+=-4(-2+-2)=-8为定值.kkkk20XO【例8】(2016年数学联赛湖北预赛.13)过抛物线/=2n(0O)外一点尸向抛物线作两条切线，切点为力从Ni尸为抛物线的焦点.证明：(l)F-iFr.VF；(2)ZPA-ZFPV.【证明】解法1：设尸“0，尢)，知(内,y),(_2，%),易求得切线2”的方程为yy=p(x+M),切线PN的方程为y2y=p(+2)因为点尸在两条切线上，所以有,o=p(

28、+-),、2%=(%)+“2)，故点M、N均在直线%y=p(x+XO)上,所以直线MN的方程为)，Oy=MX+%).(关注微信公众号：Hi数学派)联立得p(x+)F=2孙：，x2+2(x0-)x+x=0.Iy-=2pxP由韦达定理可知：X+X2=2(-o),X1X,=Xq.P因为F(,0),由抛物线第二定义可得同+,网7+，所以FVF=(x+y)(x2)=xx2(r+彳2)+勺=X:(2(-x0)l+-=o+,o+y=(-f)2+,o=,因此IP尸I2=IM/HN尸.因为尸尸=(XO-,%),FM=(X-多yj,FN=(Xgy),所以2产REM=(Xo3卜(王一导X)=XOM-n/+玉)+?+

29、%22=W()y+P(+)=V1+yUo+x)+y=(vo-f)(+-f)，又IMH = X+, FP.FM = IFPfMcosZPF所以 cos /.PFM =FP FM (工。+ 95IQMM网G+9 =阿x0+同理可得cosPFN=-i一/,网所以CoiiNPFM=COSNPFN,所次FM=NPFN,结合I尸尸I2=IMFHN尸I可得PAPFN、所以/PMF=NFPN.解法2：当P与抛物线在其准线/异侧时，如图所示，过M,N做准线/的垂线，垂是分别为U,G,PM与RV分别交准线于/,K,连接PU,PG.由抛物线的光学性质，可知PM是NBWU的角平分线，由抛物线的定义有Mr=MU,所以有

30、PMU=PMF,于是PU=PFa/PFM=NPUM,（关注微信公众号：Hi数学派）同理有APNGWAPNF,于是PG=P尸且NwV=NPGN,所以有PU=PG、即得ZPUG=NPGU,而NPL=NPUG+90o,NPGN=NPGU+90,所以ZPUM=ZPGN=ZPFM=4FN;在SPUG中，/PUG+ZPGU+NUPM+NjFPM/GPNZFPN=180.由MU三X3MF、得NUPM=/FPM;由NiNG三APNF、得NGPN=NFPN.NNNPUG+NUPM+/FPN=琳，且有/UIM=NPUG+NUPM,XXNUM+NZTW=90,而NUMl+/UIM=90。，故ZFPN=/UM1,义有NUMl=MF.XNMF=ZFPN由、可得bPFN1于是PF_MF网询,HpIPFI2=IMFNF.