专题05 椭圆、双曲线、抛物线(选填)(考点清单)(解析版).docx
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1、专题05椭圆、双曲线、抛物线(选填)(考点清单)目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练5考点清单01:圆锥曲线定义辨析5【考试题型1】椭圆定义辨析5【考试题型2】双曲线定义辨析6【考试题型3】抛物线定义理解8考点清单02:利用定义求动点轨迹9【考试题型H利用椭圆定义求动点轨迹9【考试题型2】利用双曲线定义求动点轨迹11【考试题型3】利用抛物线定义求动点轨迹14考点清单03:圆锥曲线上点到焦点距离(含最值)16【考试题型1椭圆上点到焦点距离问题16【考试题型2】双曲线上点到焦点距离问题17【考试题型3】抛物线上点到焦点距离问题18考点清单04:椭圆、双曲线中的焦点三角形问题19【考试
2、题型H焦点三角形中的周长问题19【考试题型2】焦点三角形中的面积问题21【考试题型3】焦点三角形中的其他问题22考点清单05:圆锥曲线中线段和,差最值问题25【考试题型1椭圆中线段和,差最值问题25【考试题型2】双曲线中线段和,差最值问题27【考试题型3】抛物线中线段和,差最值问题30考点清单06:求椭圆方程32【考试题型1求椭圆方程32考点清单07:求双曲线方程34【考试题型1求共焦点的双曲线方程34【考试题型2】求渐近线36【考试题型3】求共渐近线的双曲线方程37考点清单08:求抛物线方程38【考试题型1求抛物线方程38考点清单09:判断方程为椭圆、双曲线的条件39【考试题型1判断方程为椭
3、圆、双曲线的条件39考点清单10:离心率41【考试题型1】离心率(定值)41【考试题型2】离心率(最值或范围)43一、思维导图二、知识回归知识点OL椭圆的定义1、椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点、B的距离之和等于常数(IPEl+P舄I=2f1f2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点(片,K)叫椭圆的焦点,两焦点的距离(IKl)叫作椭圆的焦距.说明:若(|尸6+pf2=f,f2),P的轨迹为线段KG若(IPK+P7忻可.知识点02:椭圆的标准方程1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点6,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于FiF2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,
4、两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:P=MIIII-1MElI=20,020,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;若IMKO,点M的轨迹是靠近定点6的那一支.知识点04:双曲线的标准方程aO,bOtc2=a2+h2;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.知识点05:抛物线的定义1、抛物线的定义:平面内与一个定点尸和一条定直线/(其中定点尸不在定直线,上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点厂叫做抛物线的焦点,定直线/叫做抛物线的准线.2、抛物线的数学表达式:MM/=d(d为点M到准线/的距离).知识点06:抛物线的标准方程准线x=-2x-JL
5、2y=v三、典型例题讲与练I考点:吉单01:圆锥曲线定义辨析【考试题型11椭圆定义辨析【解题方法】椭圆定义【典例1】(2023上内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习)椭圆工+4=1上任意一点到两焦点的距离之和1116为()A.25B.8C.211D.4【答案】B【详解】由椭圆方程可得,=i6,即=4,所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为为=8.故选:B.【典例2】(多选)(2023上河北高二校联考期中)己知椭圆C:9+福=1的两个焦点为,F2,P是C上任意一点,则()A.PFl+PF2=4B.=221C.P5+2?D.PFPF25【答案】BCD【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,22
6、c,因为4所以|尸制+归图二2=1(),=2c=22T,故A错误,B正确;设尸(叼为),K(Or),o为5,则兴+乌=InlPK=(为+宕=()o+cf+加一绊,aa.aJ由椭圆定义及基本不等式可知:IPKHP用(啊;也=25,故D正确.即IP止愕,o + 50+5,当=5时取得最大值,故C正确;故选:BCD【专训11】(2023上海南海口高二海口一中校考期中)己知点K,B分别是椭圆A+E=l的左、右焦点,25Io点尸在此椭圆上,则鸟的周长等于()A.16B.20C.18D.14【答案】A【详解】椭圆=1的长半轴长二5,短半轴长b=4,半焦距C=GTP=3,由椭圆定义知P6+P玛=2=10,焦
7、距K6=2c=6,所以2鸟的周长等于IP甲+P5+4BI=I6.故选:A【专训12】(2023上湖南常德高二校联考期中)已知耳,尸2分别是椭圆氏/1=1的左、右焦点,P是椭圆E上一点,若IP制=2,则IPKl=()A.1B.2C.3D.4【答案】D【详解】由方程二+=1可知=3,95因为尸是椭圆E上一点,由椭圆定义可知归用+P闾=2=6,所以IPKI=6-1Wl=4.故选:D【考试题型2双曲线定义辨析【解题方法】双曲线定义【典例1】(2023上内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习)平面内动点尸到两定点(-2,0),鸟(2,0)的距离之差为小,若动点尸的轨迹是双曲线,则用的取值范围是()A.(-4,+
8、)B.(4,E)C.(-4,4)D.(TO)_(0,4)【答案】D【详解】由双曲线的定义可得,同4,且mo,解得机(yo)5o,4).故选:D.【典例2】(2023上浙江高二校联考期中)若双曲线1632-9),2-144=0上一点用与它的一个焦点的距离为9,则点M与另一个焦点的距离为.【答案】15或3【详解】因为-f=】,所以=3,b=4,c=5,916设点M与另一个焦点的距离为X,则由双曲线的定义得,,-9|=2=6,解得x=15或=3.故答案为:15或3【专训11】(多选)(2023上浙江台州高二校联考期中)已知A(-2,()、8(2,0),则下列命题中正确的是()A.平面内满足IaAHP
9、B1=6的动点P的轨迹为椭圆B.平面内满足IFTP网=4的动点尸的轨迹为双曲线的一支C.平面内满足IBAl=IPBI的动点P的轨迹为抛物线D.平面内满足I网=2PBI的动点P的轨迹为圆【答案】AD【详解】对于选项A,有A(-2,0)、8(2,0),且IEAI+1尸4=6M=4,由椭圆定义可知选项A正确;对于选项B,有A(-2,0)、B(ZO),且IMTPBl=4=|相,轨迹为射线,不符合双曲线的定义可知选项B错误;对于选项C,仃A(-2,()、8(2,0),ILl网=|尸耳,轨迹为线段A3的垂直平分线,不符合抛物线的定义可知选项C错误;对于选项D,有A(-2,0)、8(2,0),且IM=2|阳
10、,设点P(X,y),则底可。=2瓜二可衰了,化简可得卜一J+y2=,可知选项D正确;故选:AD【专训12】(2023上广西玉林高二校联考阶段练习)M是双曲线9-=1上一点,点6,鸟分别是双曲线左右焦点,若IM用=5,则IMKI=.【答案】9V2v2a2=4(a=2【详解】M是双曲线工-匕=1上一点,所以22,2,所以J412c2=a2+=l6c=4由双曲线定义可知IlwI-1MKII=勿=4,所以IMKI=I或者9,又阿Ni=2,所以I咋|=9,故答案为:9.【考试题型3】抛物线定义理解【解题方法】抛物线定义【典例4(2023上江苏常州高二统考期中)已知抛物线V=4),的焦点为F,点M在抛物线
11、上,且IMFI=3,则M点到轴的距离为()A.2君B.22C.2D.1【答案】B【详解】由题意得,即|=%+勺3,抛物线d=4y中p=2,所以为=2,所以所求距离为WM=匹=2L故选:B【典例2(2023上黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期中)己知动点P(x,y)满足5y(x-2)2+(y-l)2=3x+4y-7|,则动点尸的轨迹是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】D【详解】因为5j(x-2)2+(y-l)2=px+4y-7,得(x-2)2(y-l)2=国+?7,即动点P(My)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,旦点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上
12、,则由抛物线定义知,动点P(,y)的轨迹为抛物线.故选:D.【专训11】(2023上黑龙江高二统考期中)若抛物线V=8”上的点尸到直线x=-2的距离等于6,则点尸到焦点尸的距离IP尸I=()A.3B.4C.5D.6【答案】D【详解】抛物线丁=8x的准线为X=-2,由抛物线的定义知,点尸到焦点F的距离等于其到准线的距离,即|=6.故选:D.【专训1-2(2023上辽宁抚顺高二校联考期中)若抛物线丁=2py(p0)上一点MaM到焦点的距离是2m,则=()3A.;B.1C.2D.-22【答案】B【详解】设焦点为凡则MF=w+=2m,(p()即?=勺又点M(Lm)在抛物线上,代入方程可得2刖=1,所以
13、=1.故选:B考占清单02:利用定义求动点轨迹【考试题型I利用椭圆定义求动点轨迹【解题方法】椭圆定义【典例1】(2023上内蒙古赤峰高二校考期中)设p(x,y),若*2+3+2)2+西+()2=8,则点P的轨迹方程为.【答案】4+-=11612【详解】,?+(),+2)2+衣2+(),_2)2=8可以看作是点(乂是到点40,2)和点8(0,-2)的距离和为8,由于8AB=4,所以产在以AB为焦点的椭圆,且北=8,2c=4,故从=/“2=16-4=12,故椭圆方程为+=1,1612故答案为:+=11612【典例2】(2023上湖北襄阳高二襄阳市第一中学校考阶段练习)(1)若动圆M与圆耳:。+1尸
14、+丁=9内切,与圆尼:(X-D2+y2=i外切.求动圆圆心M的轨迹C1的方程;若动圆M与圆K:(x+3)2+V=9、圆E:(x-3)2+V=1都外切.求动圆圆心M的轨迹C2的方程.【答案】三+匕=143(2)-=l(xl)【详解】(1)设动圆M的半径为,动圆M与圆片内切,与圆尸2外切,/.MF=3-r,JS=1+r.于是网+网=4忸闾=2,所以动圆圆心M的轨迹是以耳,B为焦点,长轴长为4的椭圆.从而=2,c=l,且焦点在X轴上,所以6=3.故动圆圆心M的轨迹G的方程为9+=1.(2)圆吊的圆心为鸟(一3,0),半径为4=3,圆居的圆心为尼(3,0),半径为4=1,因为寓居|=6与+,则圆玛与圆
15、吊外离,IM居=R+3IIllII设圆M的半径为R,由题意可得M,=R+1,所以,M周TMq=2优周,所以,圆心G的轨迹是以点Ta分别为左右焦点的双曲线的右支,设圆心G的轨迹方程为点-表=*,0,b0),由题意可得力=2,则a=l,6=32一/=8,因此,圆心M的轨迹方程为2-!=().O【专训11】(2023上天津高二天津市瑞景中学校考期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26,则该椭圆方程为.【答案】+二=169144【详解】由题意,椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),则椭圆的焦立在y轴上,且c=5,又椭圆上一点产到两个
16、焦点的距离之和为26,所以2=26,即4=13,所以从=-c2=44,所以该椭圆方程为+工=1.169144故答案为:4=1【专训12】(2023全国高三专题练习)已知M(-2,0),P是圆M2-4x+y2-32=0上一动点,线段MF的垂直平分线交NP于点Q,则动点。的轨迹方程为.【答案】+-=195【详解】由题意,可知圆N的标准方程为(x-2y+y2=36,圆心为N(2,),半径为6. 线段M2的垂直平分线交NP于点Q,如图, .IQPI=IQMI,.QM+QN=QP+QNPN=6iMNi=4t,点。的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,.=3,C=2,b=ya2-C2=75 其轨迹方程为+=1.9
17、5【考试题型2利用双曲线定义求动点轨迹【解题方法】双曲线定义【典例1】(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系中,一动圆C与X轴切于点4(4,0),分别过点”(-5,0),%(5,0)作圆。的切线并交于点尸(点尸不在1轴上),则点P的轨迹方程为()A.-=l(x4)169C.工-E=I(X4或x-4)169D,二上=1169【答案】A【详解】设尸M,尸N分别与圆C相切于点S,则IPSI=IP71MS=MA,M4=NTf所以IPMlIPNl=IM4-=9-1=8,且84).Io9故选:A【典例2】(2023上福建三明高二统考期末)已知圆G:(x+3y+y2=9,圆C?:(X-3+/=,若动圆
18、E与G,都外切,则圆心石的轨迹方程为.【答案】x2-=l(xl)O【详解】圆GM+3p+y2=9的圆心为G(-3,0),半径13;圆G:(x-3)2+V=1的圆心为C2(3,0),半径R=1,由于动圆E与圆G,C,都外切,设动圆E的半径为,则IEGl=r+3,EC2=r+l,所以IEGHEG1=3-1=2VlGGI,所以E点的轨迹是以G,G为焦点的双曲线的右支,设方程为*一京=1(。0,匕0),则a=l,c=3,b=c?-a2=2j,所以E的轨迹方程为一g=l(l).故答案为:x2-=l(xl).O【专训11】(2023上重庆高二重庆巴蜀中学校考期中)已知M(-2,0),圆C:Y-+尸=0,动
19、圆P经过“点且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是()A.x2-=l(xl)B.y-2=l(3)C.x2-=D.-y2=l33【答案】C【详解】圆C:f-zu+/=。,KP(-2)2+=4,圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆尸的半径为R,若动圆尸与圆C相内切,则圆C在圆尸内,所以IPM=R,IPCl=R-2,所以伊MlT尸q=2MC=4,所以动点P是以M(-2,0)、C(2,O)为焦点的双曲线的右支,且=1、c=2,所以=2_2=5所以动圆圆心产的轨迹方程是1=(),若动圆P与圆C相外切,所以忸M=R,IPcI=R+2,所以归qTPM=2MC=4,所以动点P是以M(-2,0)、C(2,0)
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