椭圆的92条经典性质及证明.docx
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1、椭圆.PF+PF2=2a2.标准方程+=13.中=el4.点P处的切线PT平分aPFF2在点P处的外角.5 .PT平分aPBF2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8 .设Ai、A2为椭圆的左、右顶点,则APFFz在边PF2(或PFl)上的旁切圆,必与AA?所在的直线切于A?(或AI).X2v29 .椭圆f+bO)的两个顶点为A(f,O),AS,。),与y轴平行的直线交椭圆于P.P2时AR与A2P2交点Q-b的轨迹方程是建“10 .若(%,
2、%)在椭圆+4=1上,则过几的椭圆的切线方程是1+浑=1.ababx2y211 .若用(%,%)在椭圆/+*=1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为Pl.P2,则切点弦PF2的直线方程是=1.ab221212 .AB是椭圆0+当=1的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则心b=-14,Ira222213.若4(x0,Y)在椭圆+=1内,则被P。所平分的中点弦的方程是笄+浑=与+冬.ababab222214 .若4(%,%)在椭圆+5=1内,则过PO的弦中点的轨迹方程是+与=+绰.abababx2v2111115 .若PQ是椭圆一Y7=1(abO)上对中心张直角的弦,则yH=-+r储=OP乃。|)
3、.22Il16 .若椭圆三+专=1(abO)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ar+By=1(ABO)JJ(1)-+=A2+B2;(2)_2Ja4A2+b4B2a2A2+b2B2,21217 .给定椭圆G:h2x2+a2y2=a2b2(abO),C2:从/+/、2=(5二咒则对CI上任意给定的点P(Xo,%),a+b它的任一直角弦必须经过C,上一定点M(4/,-%).a+ba+b(ii)对C2上任一点P(X0;y0)在Cl上存在唯一的点”,使得M的任一直角弦都经过P点.18 .设P(XO,%)为椭圆(或圆)C:J+与=1(a0,.b0)上一点,PR为曲线C的动弦,且弦PP,PPz斜率存在,记为a
4、/rk,k2,则直线P1P2通过定点一平%)(m1)的充要条件是K=-T-na2y219 .过椭圆/+%=1(aO,bO)上任一点A(XO,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定b2t向且怎C=*A(常数).GyOX2y220 .椭圆/+j=l(abO)的左右焦点分别为F,F2,点P为椭圆上任意一点/尸6=7,则椭圆的焦点三角形的面积为SMPF,二tan,P(Jc-Zrtang,tan今.尸TL21 .若P为椭圆/+$=1(abO)上异于长轴端点的任一点,F,F2是焦点,ZPFlF2=a,ZPF2Fi=f则a-caa + c2229x V-22.椭圆一 + 4t =
5、1 (abO)的焦半径公式:IMlI= + / JM鸟 =-60(6(-c,0) , K(C,0), (x0,y0). a b23.=1 (abO)的左、右焦点分别为FlF2,左准线为L,则当=tantan.2-le40)上任一点问为二焦点,人为椭圆内一定点,则2。-|4鸟PA+PFl2a+AF.tab当且仅当Ag,P三点共线时,等号成立.25.26.27.28.29.30.椭圆二+=1(abO)上存在两点关于直线/:y=Z(X-A0)对称的充要条件是J二.aba+b-k过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切
6、线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.X=acos(OCl + sin2 “(abO)上一点,则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是/=y=bsn2222.x1-(+aa1 cos2 a + Z/sii?。),其中设A,B为椭圆5+方=2(攵O,A1)上两点,其直线AB与椭圆*+亲=1相交于RQ,则4P=BQ.在椭圆二十与=1中,定长为2m(ob0)焦点的任一弦,若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦,则ABf=2aMN.38. MN是经过椭圆/(ab0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O的半弦QP_LMV,则21111=1 aMN OP2 a2 b2 tana=一一当y=0时,a
7、=90.ayx2v231 .设S为椭圆二+2T=I(abO)的通径,定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动,记AB=/,M(XO,%)是ABab“中点,则当S时,有(玉)3=一上(。2=/-我6=);当/bO)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在4PFF2中,记N-尸鸟=a,abSinclcZPFE=氏gp=,则有.A=二.sinp+sna35 .经过椭圆从炉+a2,2=。2/(ab0)的长轴的两端点Al和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于Pl和P2,则12=2.-v2IIll36 .已知椭圆一7=1(abO),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP_LOQ.(
8、I)H二-73;a-b-IoPl-OQab39 .设椭圆1+5=1(abO),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过M引一条直线与椭圆相交ab于P、Q两点,则直线A|P、A2Q(A.A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线/:X=幺(或y=2)上.mm40 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF_LNF.41 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,AhA2为椭圆长轴上的顶点,AlP和AzQ交于点M,AzP和AlQ交于点N,则MFj_NF.221242 .设椭圆方程二十与=1
9、,则斜率为k(k和)的平行弦的中点必在直线/:y=kx的共规直线y=kx上,而且kk=a-b-a-43.设A、B、C、D为椭圆=1上四点八8、CD所在直线的倾斜角分别为,/,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA卜PB_b2cos2jt-a1sin2/7PCPDb2cos2a+a2sin2a2244 .已知椭圆3+r=l(ab:0),点P为其上一点R,F2为椭圆的焦点,/尸乙的外(内)角平分线为/,作B、F2分别垂直/于R、S,当P跑遍整个椭圆时,R、S形成的轨迹方程是炉+ 丁2=。2(/,2 =2y2+2x(xc)a2y2 +b2xc)2).45 .设aABC内接于椭圆,旦AB为的直
10、径,/为AB的共枢直径所在的直线,/分别交直线AC、BC于E和F,又D为/上一点,则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46 .过椭圆W+方=1(abO)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交X轴于P,则PF_eMN247 .设A(x,y1)是椭圆二十=1(abO)上任一点,过A作一条斜率为一一FL的直线L,又设d是原点到直线Lb”ayl的距离,4,与分别是A到椭圆两焦点的距离,则标d=ab.fV2V2v248 .已知椭圆-+2T=l(abO)和二+4=%(ObO),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(Xo,0),则a0bO)上异于长轴端
11、点的任一点,B、F?为其焦点记,则IPKIlP玛=:”下.SA呻i=从tan1+cos2251. 设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点,A为椭圆长轴的左顶点,连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN:X=于M,N两点,则NMBN=90O二”或a+mZr(+)52. 2y253. 1.是经过椭圆/+$=1(abO)长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E、F是椭圆两个焦点,e是离心率,点PL,若NEPF=a,则。是锐角且Sinae或a%sine(当且仅当P=b时取等号).54. 1.是椭圆*+方=1(abO)的准线,A、B是椭圆的长轴两顶点,点PcL,e是离心率,4EPF=a,
12、H是L与X轴的交点C是半焦距,则。是锐角且Sinae或msine(当且仅当|尸”|二约时取等号).55. 尸56. 1.是椭圆靛+$=1(abO)的准线,E、F是两个焦点,H是L与X轴的交点,点尸L,/EPF=a,离心率为e,半焦距为c,则Q为锐角且Sina/或qzcsin/(当且仅当IP为I=IJa?十山时取等号)C2255.已知椭圆=+=7=I(abO),直线L通过其右焦点Fm且与椭圆相交于A、B两点,将A、B与椭圆左焦点Flab连结起来,则6A百84匚(当且仅当AB_LX轴时右边不等式取等号,当且仅当A、B、B三点共线时a左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆靛十31 ( abO)的长
13、轴两端点,P是椭圆上的一点,ZPAB = a, NPBA = 0,NBPA = y ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有IPAl=COSMQ)tancrtan=1-2.(3)SMAB=孕ICOt九a-CrCOS-ab-a2257 .设A、B是椭圆*+春=1(abO)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点,且乙、4的横坐标乙4=/,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则NPBA=NQBA;(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则NRAB+NQAB=180.X2y258 .设A、B是椭圆靛+=1(abO)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),外部的两点,(1)若过A点引直线与这
14、椭圆相交于P、Q两点,(若BP交椭圆于两点,则P、Q不关于X轴对称),且NPAA=NQ8A,则点A、B的横坐标4、与满足XA4=/;(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,且NH48+NQ4B=180,则点A、B的横坐标满足XAxB=/.59 .设A,A是椭圆、+ ay21的长轴的两个端点,QO是与AA垂直的弦,则直线AQ与A。的交点P的轨迹是双曲线V y2 1X2 v260 .过椭圆= + 4 = la bQ W 2(ab0)的左焦点尸作互相垂直的两条弦AB、CD则滔%AB + CD61 .到椭圆i方=1( 2262 .到椭圆 +方=1 (x-)2 + =(-)2.abO)两焦点的距离
15、之比等于伫 b(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆(xa)2 +y2=b2.(abO)的长轴两端点的距离之比等于一(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆b2263 .到椭圆 +多=1a b(abO)的两准线和X轴的交点的距离之比为N二 b(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆4)2+=(2 e 为离心率).e.夕2264 .已知P是椭圆*r = l( abO)上一个动点,4,4是它长轴的两个端点,且42,4。,4。_14尸,则Q点的2,2 2轨迹方程是+生: = 1.a a65 .椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.工2 2,266 .设椭圆=+
16、 2T = I ( abO)长轴的端点为AA,尸(X,y)是椭圆上的点过P作斜率为1的直线/,过AA分 a b一别作垂直于长轴的直线交/于M,则(I) AM H AM=Z?2. (2)四边形MAA面积的最小值是2.67 .已知椭圆=+ a1 ( abO)的右准线/与X轴相交于点E ,过椭圆右焦点尸的直线与椭圆相交于A、B两点,点。在右准线/上,且BCx轴,则直线Ae经过线段EF的中点.68. OA、OB是椭圆日二学-2定点(Iab2a2 +b1,0) .(2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(X-YF)2 + y2=(3)2(0).(r+工yla21 (abO)上一个定点,P
17、A、PB是互相垂直的弦,则(1)直线AB必经过一个定+方=I(aO,bO)的两条互相垂直的弦,O为坐标原点,则(1)直线AB必经过一个点(利当咋2,吗2)(2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是4+ba+b/ab2+a2tn,b2n.2a2b4+n2(a2-Z?2)口i且,70 .如果一个椭圆短半轴长为b,焦点B、F2到直线L的距离分别为出、d2,那么(1)did2=b2t且日、F?在L同侧O直线L和椭圆相切.(2)did2b2,且Fi、Fz在L同侧O直线L和椭圆相离,(3)J1J2b)的长轴N是椭圆上的动点,过N的切线与过A、B的切线交于C、O两点,则2a22Y-72.设点P
18、(X, 为)为椭圆一 *a梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是,方=1(0).=1过定点P(XO, 九)的任一弦,当2Y=1(abO)的内部一定点,AB是椭圆r+a弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(IpAl 尸8)nmb2.当弦AB垂直于长轴所在宜线时,(IPAkIPBI)mina2b2 -(a2yQ +Z2x02)2OT73.74.75.76.77.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
19、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.79.80.81.82.83.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行
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