第12章 计数原理与概率统计.docx

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1、第十二章计数原理与概率统计第一节两个基本计数原理、排列组合1.（2023全国甲卷理科9）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【解析】不妨记五名志愿者为,c,d,e,假设。连续参加了两天社区服务，再从轲余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A：=12种方法，同理：c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.故

2、选B.2 .（2023全国乙卷理科7）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C120种D.240种【解析】甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤：先从6种课外读物中选择一本作为甲、乙两人共同的选择，再从剩下的5本中选择互不相同的两本，所以符合题意的选法共有C；C；Ct=I20（种）.故选C3 .（2023新高考I卷13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一种（用数字作答）.【解析】如果选修2门，共有CC=16种；如果选

3、修3门，共有C：C：+CIC：=48种.所以不同的选课方案共有16+48=64种.4 .（2023新高考H卷3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生.已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A4515触Rp20p40釉3030釉p4020触z400v,2仃VMOOJoOTTjv*400x20口v400v,200b【解析】按初中部和高中部学生人数比例分层抽样可知，从高中部抽40人，初中部抽20人，分步完成.由乘法原理得不同的抽样有Cx,8-4jt,令18-4&=2确定左的值，然后计算

4、/项的系数即可【解析】展开式的通项公式小=C（23）6H=（-1）a26-aC*x,8-4令1842=2可得，Z=4,则/项的系数为（7）426-4C=4xl5=60.故答案为60.第三节随机事件的概率及其计算3. （2023北京卷18）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”：即当天价格比前一天价格高，用一表示下跌”，即当天价格比前一天价格低；用O表示不变”，即当天价格与前一天价格相同.第1天到第20天+0+0+0+00+第21天到第40天0+0一+0+0+一一一+0+时段价格变化用频率估计概率.(1)试估

5、计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品在这4天中2天上涨、1天下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格”上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)【分析】(1)计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；(2)分别计算出表格中上涨、不变、下跌的概率后进行计算：(3)通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【解析】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，根据古典概型

6、的计算公式，农产品价格上涨的概率为：=0.4.40(2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨、下跌、不变的概率分别是0.4,0.35,0.25,于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C;0.42Ci20.350.25=0.168.(3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.4.(2023全国甲卷理科6)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.

7、0.4C.0.2D.0.1【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率，利用条件概率的知识求解.【解析】报名两个俱乐部的人数为50+6070=40,记“某人报足球俱乐部”事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件8,则尸（八）=竺=一，P（AB）=-=-,v （2023全国乙卷文科9）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽 取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）707v77074所以P（M=需k=0.87故选A.5.（2023全国甲卷文科4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织

8、校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）1 - 6A.1* - 3B.2 - 3D.【分析】利用古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解.【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C：=6件,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；G=4,所以这2名学生来自不同年级的概率为一=.63故选D.6.（2023全国乙卷理科5,文科7）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域（xty）2+y24内随机取一点，记该点为4,则直线04的倾斜角不大于色的概率为A.1 - 6B.【解析】如图所示，当4在阴影区域时，直线04的斜率不大于工，P=-.44【分析】根据古典概率模型求

9、出所有情况以及满足题意的情况，即可得到概率.【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6x6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A：=30种，则其概率为3二士.故选A.3668.(2023新高考11卷12)在信道内传输0,1信号，信号的传榆相互独立，发送0时，收到1的概率为(0l),收到O的概率为la；发送1时，收到O的概率为夕(OV,即D正确.综上，故选ABD.9.(2023天津卷13)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为:将三个盒子混合后任

10、取一个球，是白球的概率为【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空:根据古典概型的概率公式可求出第二个空.【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6，所以总数为15”，所以甲盒中黑球个数为40%5n=2/?,白球个数为3:乙盒中黑球个数为25%x4z=n,白球个数为3；丙盒中黑球个数为50%x6=3%白球个数为3；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以P（八）=0.40.250.5=0.05；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件8,Qn3黑球总共有2+3=6个，白球共有9个，所以尸(8)二W一二j.3故答案为0.

11、05;5第四节随机变量及其分布1.(2023新高考I卷21)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由柚签确定第1次投篮的人选.第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率：(2)求第i次投篮的人是甲的概率：已知：若随机变量Xj服从两点分布，且P(Xj=I)=I-P(Xj=O)=0,i=l,2,，(nn则EZXi=Zl.记前次(即从第I次到第次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(y)Ii=IJ/=1【解析】(1)P(乙)二P(甲乙)+P(

12、乙乙)=gxO.4+gxO.8=O6(2)第i次是乙投的概率为1p,且Pi+=Pi0.6+(1-JPi)X0.2=0.2+0.4pr,故Pi-11-1I ,N(3)解法一: M.IBt,E(Y) = Zp,=i=l(tiT 1 1I 44-2$1tn 54=3 18n Z+ ,ne N3 =0 时，E(Y) = O = I1 O0 -.3综上，E(K) = 101-n +,n e N.3解法二(利用期望递推)记前次投篮中甲投篮次数的数学期望为E工，则在前一 1次投篮中甲投篮次数的数学期望为工_l.EYn = 1(1-P,)(EYl 1)p= EYn_ + Pn,故石匕一E工T=p=： + ；X

13、3 o 1,所以七匕一石毛二Jx 3 O(l),Xir2n- 1 5+ 362V,5n- 1+ -X39(25-l又叫,故以6+F+35 5=F 18 3 18当 =O时也满足上式,第五节统计与统计案例1.(2023全国甲卷理科19)为研究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的的分布列和数学期望：(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)(已按从小到大排好)对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.0

14、27.427.527.628.3实脸组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数？，并完成下面2x2列联表;m.in对照组实脸组(ii)根据2x2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：P(FK)0.1000.0500.010k。2.7063.8416.635【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望:(2)(i)根所中位数的定义即可求得m=23.4,从而求得列联表；(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

15、【解析】(1)依题意，X的可能取值为0,1,2,则P(X=O)=等啜，P(X=I)=詈=豢p(=2)=警啜,KoIXc4oJy5)/3所以X的分布列为：X012P197820391978ML/s八19120C191故E(X)=OX+1+2=1.)783978(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4,后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,故第20位为

16、23.2,第21位数据为23.6,的23.2+23.6所以m=23.4,2故列联表为：3,84120202020所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.2.(2023全国甲卷文科19)一项试脸旨在研究臭氧效应，试脸方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635

17、.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1)计算试脸组的样本平均数；(2)(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数？，再分别统计两样本中小于加与不小于?的数据的个数，完成如下列联表m.in对照组试验组(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？_n(ad-hc(+b)(c+)(+c)(b+d)P(K-k)0.1000.0500.010k2

18、.7063.8416.635【分析】(1)直接根据均值定义求解；(2)(i)根据中位数的定义即可求得机=23.4,从而求得列联表；(ii)利用独立性检脸的卡方计算进行检脸，即可得解.【解析】(1)试脸组样本平均数为：(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.220396+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=19.8.(2)(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8,后续依次为19

19、.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,故第20位为23.2,第21位数据为23.6,23.2 + 23.62= 23.4故列联表为:3.841,所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.3.(2023全国乙卷理科17,文科17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为若,(i=1,2,.,10),试验结

20、果如下试验序号i12345678910伸缩率Xj545533551522575544541568596548伸缩率9536527543530560533522550576536记马=；-M(i=l,2,10),记4,Z2,z0的样本平均数为z,样本方差为d,(1)求W,s二著提高(如果工.(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)(解析】(1)由Zf=MM得i12345678910Zi968-8151119182012z=-(9+6+8-8+15+l1+1

21、9+18+20+12)=11.52=-(9-ll)2+(6-ll)2+(8-ll)2+(-8-ll)2(15-ll)2+(ll-ll)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2=-L(4+25+9+361+160+64+49+81+1)=61.=2) 11,故1（2幡故可以认为甲工艺对伸缩率有显著提高.4. （2023新高考I卷9）有一组样本数据内,占，无，其中玉是最小值，儿是最大值，则（）人.工2，毛，工4，七的平均数等于%，工2，,，%的平均数8.工2，工3，工4，入5的中位数等于不，工2,，工6的中位数C.X2,X34,x5的标准差不小于%，工2，,，%的

22、标准差D.X2,X3,X4,X5的极差不大于X,，无的极差解析*2+，3+*4+%5_$+2+戈3+%4+“5+“6_“2+，3+丸4+毛2（%+工6）Wq46-12所以A错误；因为X1是最小值，乙是最大值，所以看,七,七，工5的中位数的位置和石，工2，%的中位数的位置相同，所以B正确：因为X1是最小值，儿是最大值，所以占,工3，工4，工5的波动性不大于王，赴，工6的波动性，所以C错误；设X2，工3，工4，工5的最小值为42，最大值为勺，则X%2,X5X6所以七一XlNX5一次2，所以D正确.故选BD.5. （2023新高考Il卷19）某研究小组经过研究发现，某种疾病的患病者与未患病者的某项医

23、学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图.图1图2利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于。的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为/?(?),误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率P(C)=O.5%时，求临近值C和误诊率4(c);(2)设函数/(C)=P(C)+g(c),当C$95,105时，求)(C)的解析式，并求/(C)在区间95,105的最小值.【解析】(1)漏诊率为(C)=O.5%,即有

24、0.5%的患者指标在C以下，由图1可知，0.0025=0.01=l%t且数据在组内均匀分布，故临界值为97.5,即c=97.5.依题意，误诊率即未患病者指标超过97.5的概率，由图2可知，4=0.0IX2.5+0.0025=0.025+0.01=0.035=3.5%.(2)当ce95,100时,MC)=(C-95)X0.002=0.002C-0.19,r(c)=(100-c)0.01+0.0025=l-0.01c+0.01=LOl-O-Olc,/(c)=p(c)+7(c)=O.82-O.OO8c.当c(100,105时，p(c)=0.25+0.012(c-100)=0.01+0.012c-1.

25、2=0.012c-1.19,q(c)=0.002(105-c)=0.21-0.002c,/(C)=MC)+4(C)=OOIC-0.98.卜0.008c+0.82,c95Ooyf(c)=70.01c-0.98,c(100,105故/(C)在95,100单调递减，在(IoO,105单调递增，/(C)的最小值在C=Ioo处取得,即当C=IoO时，/（C）取到最小值0.02.6. （2023天津卷7）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245,下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于厂=0.8245是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245,D选项错误.故选C.