第六章 数列.docx

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1、第八早散列第1节数列的概念对应学生用书P137考试要求1 .了解数列的概念和表示方法(列襄、图象、通项公式).2 ,了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.理清,知识结构 基础全通关一、数列的有关概念数列按照的一列数数列的项数列中的数列的通项数列勖的第项电通项公式数列&的第/7项却与/?之间的关系能用公式表达前项和Sn=数列的函岫狂r数列可以看成以正整数集NI或它的有限子集1,2,用)为定义域的函数a0=g(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一：(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.二、数列的分类分类原则

2、类型满足条件按项数有穷数列项数有限分类无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列递减数列常数列a*a11Sj*Bn其中mNa=a摆动数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项三、数列多的d与S,的关系1.数列9的前项和:S=afS,n=1,2.a=SnS,n2.a当出2时求出的a”也适合时的情形,可用一个式子表示品,否则分段表示.自我诊断1 .判断下列结论是否正确.(对的打V,错的打?)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1,1,1,1,不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.()(4)如果数列%的前。项和为Sa则对任意

3、后N:都有厮+1壬+.()(1)x(2)*(3)*(4)Ad=FCT答案解析2 .(教材改埔)数列编的前几项为拉多8,今则此数列的通项公式可能是().A数列为蒜号笔日,其分母为2,分子可表示为1伤(尸1)力4因此通项公式可能为a”号.3 .已知数列涮是递减数列,且=2也1-办则实数a的取值范围是.(2,M:3=2a(1-ri,.an=(2-a)na.数列a是递减数列2-a2.4 .(2023广东汕头三横)已知在数列d中,小当71时,a*1高,则a2Q23=().A，4BtC.5D，4455A由施意得总=Iv=5,33=1总总国=1卷=3,则数列%的周期为3,则32023=74*31=Qy=-j

4、.5 .(2023广东模拟)设数列面的前项和为SA且=2勖1(住N),则an=().A.2B.2-1C.2nD.21D当n=时a=S=23-1,可得a=1;当2时,a=S?-SmiN(a0-3mi),即anNaz.数列d是首项为1,公比为2的等比数列,其通项公式为an3L突考点题型 命题全研透考点一由数列的前几项求通项数列表点枭点，的一个通项公式为a产(1这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-IyI_：n(n+l)r已知数列褊的前4项是拉卷卷,则这个数列的一个通项公式为an=.-三数列莉的前4项可变形为鬻,曾1,鬻孝詈,

5、故命手答S)由数列前几项归纳数列通项公式的方法及策略(1)常用方法有观察法(观察规律)、比较法(比较已知数列)、归纳法、转化法(转化为特殊数列)、联想法(联想常见的数列).同时也可以利用添项、还原、分割等方法,寻找到一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略观察分式中分子、分母的特征；观察相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于为一次递增或以293”等形式递增；多观察拆项后的特征；观察各项的符号特征和绝对值的特征；匕异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(-1)C或(1)M止W来处理.感悟实践(202

6、3天津月考)已知数列5,11,T7,X,则5S是它的().A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项C数列11I7,夜,旧,中的各项分别可变形为5,6,5+2X6,5+3X6,5+4x6,所以该数列的一个通项公式为a=j5+6(-1)71令倔口=5花,得=21.故选C.cn + 3,n为奇数, 则 a=).2n-l,n为偶数，考点二根据递推关系求数列的项(2023安徽蚌埠三模)若数列&满足多，且3cmWA.19B.22C.43D.46C由a=1得及=&*3=4,33=2&-1=7,34=33+3=10,35=2国-1=19,浇=行+3=22同=2企-1=43.由递推公式写出数列的项的方法

7、(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可；(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如旬+】受.感悟实践(2023广东茂名模拟)设数列加满足a=且2%+如=3%”(代N)则尔=().acdC.:24出弓=3%解得及Wj，2*aj*W皿解得二2脸氏脸=3瓯解得郎福考点三根据S和%的关系求通项已知数列丽的前/7项和Sn,且S22*,则an=.(6,n-1,(2X3nl+2,n2修下当=1时a=S=6；当ri2时3=SrsMM3“#2+1)432(#1)

8、*=2侬”2.因为aW不符合此式厮以利黑就+2,n2.1.已知&求%的三个步骤(1)先利用=S求出田；用/?-1替换S)中的得到一个新的关系,利用3c=ScSn”(应2)即可求出当112时a的表达式;(3)注意检验n1时的表达式是否可以与112时的表达式合并.2.S,与加关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用品=S5m(i2),转化为只含SStm的关系式,再求解；利用S)-Sn.=翅庇2),转化为只含即a。的关系式,再求解.感悟实践已知数列七的前项和为Sn且住N：则下列结论正确的是().A.a)=2n-1B.a=2n12(n = 1), ,2n-l(n

9、 2)D.a2(11=1),2n+l(n2)CSn=fM,当n=时a=12*=2;当虑2时,SMTa-1)2+1,a7=SjSl-=1解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.感悟实践1 .(2023北京市昌平区抽测)斐波那契数列又称“黄金分割数列”,因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列包可以用如下方法定义:=&z+%.2(&3,N),a=改=1.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列d,则fo02i=().A.1B.2C.3D.5A因为a

10、n=ana-2()3,N),a=a=1,所以数列%为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.此数列各项除以4的余数依次构成的数列6为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,它是以6为周期的周期数列,所以2021=Z336*5=1.故选A.2 .(2023福建模拟)在数列%中a=2%H=1,则不)22的值为n因为卅=-2,&*=15所以至6卷弓,色=1得3，&=1*-2,金工卷=|,所以数列a是周期为3的周期数列,所以命题角度3数列的最大(小)项(2023北京三模)已知数列满足向改全品=戍其中=112,3,则数列劭().A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项

11、C,无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项A依题意得当=1时a=l2.W)2,n2,易知a”随着的增大而减小,故%az=4,且n2当底2时,2改团.孤1=(。)2,51a33.%=出两式相除有Hn=2111+I)a01=a,故最小项为eK.最大项为32=4.已知数列网的通项公式为则数列%中的最大项为().Ab2c-D4qd,3u481u-243A一空号F款+令竽l,解得2；令段1封,解得N；令*,解“又声乂）,故a34方a,所以数列4中的最大项为/或3,且氏=33三2*（2,.故选人.（求数列中最大（小）项的常用方法（1）函数法,利用函数求最值.通过通项公式多研究数列的单调性,利用：I然（.

12、2）确定最大项,利用：I：严2）确定最小项.（3）比较法:。若&“-%=S+1）Y功乂）（或当为乂）时,皿X）厕a*外即数列品是递增数列,所以数列品的最小项为Qita=P）；91a=41）-仙）0（成当&乂）时,如6时,ax3.-(n+l)g)8n+,又决=8,第6,7项最大.q基础过关1 .已知数列的前4项为2。,2Q则依此归纳该数列的通项公式不可能是（）.2,n为奇数,A.%=2sinyD.a=cos（n-1）1C对,2,3,4依次进行验证,可知C不符合题意.故选C.2 .（2023北京模拟）若S）是数列&的前项和,Sj=2必则加的值为（）.A.26B.18C.22D.72C.Sn=2ri

13、2,.36=6-Ss=2*(62-52)=22.3 .(2023福建月考)已知数列端的前项和为Sn,且&K,底二-店4则an=).A.2/7-1B.nC.271D.2A：aK,ySn+SnH*乂店是以1为首项,1为公差的等差数列，.-./St)M=17-1=A,即Se=*、.,.3nsSnSn-y三-(7-1)-1(2).当ns时,卅K也适合上式,.:anN-1.4 .(2023甘肃月考汜知SJ为数列编的前项和,且S=2x-1,则数列莉的通项公式为().Aj=2B,a三Ca=2DaQX三五B当112时,Sm=2C-I,.Wn=SkSmi=2”-1-2rt1=2rt;当/7=1时,e=$%*-1

14、=3,不符合诙=2.故a=25 .已知数列(编由135,2-1构成,数列9满足力=2,当论2时力n%则戊的值是().A.9B.17C.33D.65C因为8?的通项公式a三2J1,而当j2时力”玉31，且三2,所以b=b=a=Q,bi=bi=as=5,th=ab3=a5=,b5=ab49=17,qs=ai7=33.6 .已知数列编的通项公式跖=2、3-13),则当数列口的前项和SI取最小值时/的值是().A.3B.4C.5D.6B令=2(3-13)0.WJ37130,解得ny.因为mN：所以当n4时0=，以,则实数A的取值范围是（）.AZ2B.,2）C.（-,0D.0）KB当2时,=SrS=n2

15、w+/HS-1）2*止1）刈=2所以当rf2时,为单调递增,故&为递增数列只需满足念洞,即424,解得i2.9（2023泸州模拟）已知数列%的前项和S产惮+n+媳中C为常数,*R）,写出使小不为等差数列的一个通项公式an=答案算晶L（其中C不为零均可）当n=时a=S=2+c当底2的、an=Sn-Sn-Nn.令XI,则a=2,故当2+62,即c*0时,电=；+1不是等差数列.%,即（*）2（*）/）2+/1,整理得2*1b,即l-（271）.（0因为mN：所以32n,Q an-,八一12 则 520=().2-2 t W 1，日能力提升11.（2023沈阳月考）设数列%的前。项和为Sb已知向韦加

16、A.410B.408C.等A等由已知得,前=|,aW,所以数列则是周期为4的数列,故520=S205.4=205（aaja,）=205*2=410.12.（2023吉安模拟）已知数列%的首项为1,且（+1间,1=加”制（后地,则&的最小值是（）.AwB.1C.2D.3BSj(71)a11y=7aj*XN).iSbn=na11然bc+-bc=n、所以bn=b*勿心)*()(即)=1*1*2*.(7-1)tn+2,fe2,又符合上式,所以5D+2则品华曰,3故的最小值为a=a2=1.13(2023宁夏月考)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设/R,用国聂示不超过X

17、的最大整数,则仆HR称为高斯函数.已知数列%满足a=1,且(1问+1-%=2*,若6月均涮,数列d的前项和为小则7i22=().A.4950B.4953C.4956D.4959售至D由m+1)a”xsac=2,+1,且劭=1,根据累加法可得，nan=nannan)%-aa=2,所以a11=n.所以A”=lg%=lg川.当1n9时,d=0;当10Sn99时,当1004K999时,d=2;当10n2022时,d=3.因此7o22=0*919029001023*3=1959.14 .(2023益阳模拟汜知数列%满足42且半呼号，=缶-232),则编的通项公式为.a11=n+t依题意,数列端满足臼=2

18、,且与噜号缥=即2,当/7=2时今=&；2则az=3.自噜-畤儒=而2咤;*2)，所以团言热舞珏哼-沁=E经检验或都符合上式,所以a的通项公式为a1=Mq思维拓展15 .分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行黑图的个数为外则戋=().Q-第1行Y吨AX二胃图1图2A.55B.58C.60D.62A已知却表示第行中的黑圈个数,设仇表示第行中的白圈个数,则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个弼,一个黑圈产生下一行的一个白曲和两个黑圈，.,.

19、S1=2n,bn,bn*ys3n+bn,.a=O,=1;a,b=as=2*11=3,Z%三11=2;=2*32=8,Z=32=5;35=2*8-=21,%=-=13;56=2*2113=55.16 .大衍数列来源于幺乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列为满足吊力,如“0n+n+l,n为奇数,则（）.an+n,n为偶数，Aa=6B.a+2fI(kn为奇数，C.ar,=I(y,n为偶数D.数列()”编的前2项和为2111)Caz=a11=2,33=/攵=4,切际+3+1=,A错误.当为奇数时为偶数则am2=a

20、e+1,af7+=an+1,可得a以=a2(j+1);当为偶数时为奇数,则an+2=ae71+1向x=ac+R可得a+2=%+2(+1).B错误.当为奇数时,a+2=%+2(+1),可得a”+2Wc=2(1),所以an=(n-a向YaQ-a7+.Yai5)+a=2(/7-1)*2(-3).2(1*1)0券；当为偶数时,加2=%+2(1),可得an*2-a11=2(*1),所以Qn3n3n24&28?4).5-3?)改=2(/7-1)2(-3).*2(21)2三.所以an=-y-,n为奇数, ,n为偶数，C正确.设数列(-1)%的前2项和为Sa则S211=(-aa?)+a11,又的eE卫四普=2

21、,所以&=24+.2W=a1),D错误.第2节等差数列对应学生用书P141考试要求1 .理解等差数列的概念和通项公式的意义.2 .探索并掌握等差数列的前项和公式,理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系.3 .能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4 .体会等差数列的通项公式与一元一次函数的关系.理清/知识结构 基础全通关一、等差数列的基本问题1 .定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的,公差通常用字母表示,定义的表达式为an-an=d.2 .通项公式:如果等差数列&的首项为不公差为&那么通项

22、公式为an=aYnnd=amW-碎d.推导方法(累加法XanTaC-ami)YaM-a2).(a2-a1)*a1.3,等差中项:如果a,4b成等差数列,那么4叫作a与。的等差中项,且4券.4 .前项和公式为S=更磬=如答里.推导方法:倒序相加法.5 .用函数观点认识等差数列:&=必侬4(类似于一次函数);(2)SC乡刑a)”类似于甯数项为零的二次函数).二、等差数列的性质已知数列的是等差数列,S”是其前项和.1 .下标和与项的和的关系:若则am+an=特别地,若m+7=2p,则am+an=Q.ap.2 .任意两项的关系.(1)在等差数列az7中,m,住N：则为=或*n-ni)d.(2)在等差数

23、列郁中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即acc,为等差数列,公差为.(3)等差数列依次每项和也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.3 .设等差数列%的公差为d那么60。是递增数列S有最小值;。0。d是递减数列S有最大值MKO端是常数列.(2)数列仅为坊仍为等差数列,公差为.(3)若3,d都是等差数列,则add仍为等差数列.(1)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质。若项数为2/7,则SflI-S奇Fd/上匕.5fln+1若项数为271,则S倜0n+2.(2)等差数列d的单调性由公差d决定的.(3)数列%为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数.(4)等差数列的前项和公式是常数

24、项为O且关于的二次函数.(IW(2)(3)*(4)2 .(教材改编)等差数列a中,全核7=6贝Ja的前9项和等于().A.-18B.27C.18D.-27B3 .设a是等差数列,且a+=12,a，国=18,则as+a&T).A.-12B.0C.6D.24D.&是等差数列,.:4+32,a+国合也成等差数列,.2(a+国)=(a+/)*我,),.自抬=36-12=24.4 .(2023山东泰安模拟)若等差数列端满足2的aS则它的前13项和为().A.110B.78C.55D.45二二B设等差数列a的首项为外公差为d.因为2例n=6,所以2(2+7CHal用功=6,即a*6d=6,所以Si3=13

25、a13x3t13(a6o)=13*6=78.5 .(2023湖北武汉模拟)设公差不为零的等差数列加的前项和为$1,国=2傲典镇T).AWB.-1C.1Dq44C在等差数列a中,2a=国+为仑与为所以a=0,又2旎=缶七7,所以*=-%则$=&+的+次炀=&,所以黑=1.s46.(2022年全国乙卷)记SJ为等差数列%的前。项和.若2S)=3S用,则公差d=.2由2S=3%的可得2(3+&+&)=3e)*6,化简得2aj=a+a26,即2(3+2。=23+。电解得d=2.考点题型命题全研透考点一等差数列基本量计算(1)(2020年全国健)记S为等差数列%的前项和.若e=2a=2,则SO=.25设

26、等差数列&的公差为d则a2a6=2胡珀/2.因为a=-2,所以dK,所以0)厕Snfan+悴、当n=时,&=$aM)2.当112对、an=Sn-Sm=an+砰an-a+评=man-a粒功,因为a=3/所以a(3a+2b)=3(aM)2,解得6=0或力=与，当炉0时,a=a2a=a2(2m1),当虑2时,%也桢=2浜满足等差数列的定义,此时数列端为等差数列；当Q与时，6=aM=ar亭,店专4n2+8后,再使用定义法证明数列%为等差数列.感悟实践(2023湖北模拟)设数列(而满足向W,%”=()N).(2)设6#S求数列加的前项和Tn.aZft-I因为加希所以六 2T4八 一 2啊会中百，知公差为

27、常数又因为aK,所以%=1,所以数列表是以1为首项弓为公差的等差数列.由知表=14止I)(P月,所以a=2高端，所以m=：:喳轮=而I：*期尸1t(2nl)(2+l)=1*G焉)，所以7=+也加+d=Cq(I；+gg+；+.+非Y2n；1)=*(1.Znl)=.2*，所以数列)的前项和为=。；.考点三等差数列的性质命题角度1等差数列项的性质(2023湖北模拟)设S,是等差数列a的前项和,&=5同=20,则注式).A.90B.100C.120D.200B6=c12h8(a8)H(包炀)=4*25=100.(改编)已知在等差数列而中自+a=4,则Iog2(252%2)H).A.10B.20C.40

28、D.2-dog25BIog2(2%2a.20*o)=log22,log222*.dog220,u=a+&+.收10=5(as+冼)=5*4=20.故选B.感悟总结若丽为等差数列,m5q,则3m%f平N).因此,若出现而房加碗.”等项,可以利用此性质将已知条件转化为与J”或其他项)有关的条件;若求项,可由3W日(%2+2.)转化为求amr,aEn或加的值.要注意等差数列通项公式及前项和公式的灵活应用.感悟实践1.(改编)已知等差数歹J%的前项和为Sr,若m1,且碗.13MISml=39则m=().A.39B.20C.19D.10笆B因为数列电为等差数列,所以3仆1+加”=2雨则&n1+&”1=0

29、可化为2an1=0,解得an=1.又Sm-=(2m-1)%?=39,则m=20.故选B.2.已知a是等差数列,S”是其前项和.若37+金66,则下列结论不成立的是().A.=8B.S5120C.*ai3=16D.a=16D因为57+质=国用以31+84=2(次+7。=16,所以负=8,故A正确:$5=15&=15*8=120,故B正确;左七13=2负=16.故C正确:a16=e*5d不一定等于16,故D错误.命题角度2等差数列前/7项和的性质(2023河南四模)已知等差数列端的前项和为SJl若S=9,W3,则力f&).A.63B.71C.99D.117C由等差数列务的前项和性质,得也成等差数列

30、，即又&=9,&=63,解得59=162,因此a+方ng=S6K6263=99故选C.。同源改编，1 .若其他条件不变,将本例中的条件“%=63”改为。区662”,则S2=.306由等差数列%的前项和性质得注,与6j,S,S2-5b成等差数列，所以2(S-S)=S6+S3,所以&号#Sj=54*9=63,所以由2(0-%)=(&6)*$26),得S2=3(59-5)S)=3999=306.2 .若条件不变,可以求an和SI吗？可以.由等差数列afl的前项和公式得8=3臼强/9,=6用嗤/63,所以a=-2,d=5,所以加=.24(止1)=5*70彝曾型普空.(2)一个等差数列的前12项的和为3

31、54,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32/27,则该数列的公差d=.5设等差数列的前12项中奇数项的和为S%偶数项的和为Sn.(S+S=354,(S=192,由已知条件得Is：s=32：27,解对S=162.(保奇(奇又sn-s是等差数列.(2)若全,外59成等比数列,求S的最小值.由已知得2Sn+庶如an+n、把换成1,得2S11(71)2三2(71)3n1*71,-可得2a0+1=2(Z1)Qn*-2113n2.11,整理得an=an+y由等差数列的定义得d为等差数列.(2)由已知有后心备,设等差数列a的首项为X由(1)知其公差为1,故(R6)23)(),解得F2,故a=-12,所

32、以3n=2(7-1)x1=-13,故可得aa.si20,故SC在=12或者=13时取最小值,S2=Si3坨苧出=-78,故S。的最小值为-78.求等差数列前项和S,最值的方法(1)函数法:利用等差数列前/7项和的函数表达式Sn=a#+bn、通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：当5X)0时,满足m2，的项数)使得$,取得最大值为Sm-Iam+1SU当用0,力0时,满足EmPn的项数m使得SC取得最小值为Sm.感悟实践(改编)记S,为等差数列的的前项和,已知a=-7,s=-15(1)求%的通项公式；(2)求Sb并求S的最小值.(1)设品的公差为4由题意得3a+3d=-15.又a=-7,所以d=2,所以a的通项公式为5n=2J-9.(2)由(1)得&网；嗝=英内4)2-16,所以当时,S)取得最小值,最小值为16考点四等差数列的实际应用(2023吉林