课堂探究 1.3.2利用导数研究函数的极值.docx

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1、课堂探究探究一利用导数求函数的极值求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，假设异号，那么是极值；否那么，不是极值.另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值.【典型例题1】求以下函数的极值：(D,=3A-;(3)f()=殳Q思路分析:按照求极值的方法，首先从方程ft(X)=O入手，求出函数F(X)在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值.解：(1)函数定义域为R,且/U)=3-3,令6(X)=O得X=L当X变化时,f(力，F(X)的变化情况如下表：X(00,1)-1(-1,1)

2、1(1,+)FJ)O+O一f(x).-13所以F(X)在*=一1处取极小值一1,在x=l处取极大值3.函数定义域为(0,+8),InX,XInxx,x-2Xlnx1-21nxf(X)=-=-令f,(X)=O,得x=#,且当00,当xy时,f(X)VO,所以/V)在=/处取得极大值f(e),无极小值.函数F(X)的定义域为R,f(力=2Xef+jf(-)=x(2-)ex,令f(X)=O,得X=O或x=2,当X变化时,f(力，F(X)的变化情况如下表：X(一8,0)O(0,2)2(2,+)f(X)一OO一O/4尸从表中可以看出，当X=O时，函数有极小值，且F(O)=O;当x=2时，函数有极大值，且

3、f(2)=4e7探究二利用导数求函数的最值1 .如果在区间a,Zd上函数y=f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值.2 .如果函数旷=/*(彳)在区间(8，6)内可导，求AX)在区间a,力上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比拟大小，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值.3 .求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比拟，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论.4 .求函数在开区间上的最值时，要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况，从而画出函数的大致图象，结合图象求出最值.【典型例题2】求以下

4、函数的最值：(1) fx=x-tlx1,a,-l,2;一JT2(2) f(x)=sin2-X,E；T思路分析：按照求函数最值的步骤求解，其中(3)要注意结合函数图象.解:(1)f,（八）=3at2-4x,4令f(X)=O,有3/4彳=0,解得才=0或才=.当X变化时,f(x),Ax)的变化情况如下表：X-1(-1,0)04J43a312；2F(才)+0一0f(x)-21527Z1(3)x)In xx.从上表可知，最大值是F(O)=F(2)=1,最小值是/(-1)=-2.JI一2(3) f,(x)=2cos2-1tx,2_令/(X)=。得-三或k卷.当X变化时,frJ),f(x)的变化情况如下表

5、:X2一56/2_TJ)TTf(X)0+0f()2、_362/#八26、2由上表可知：当X=时F(X)取得最大值(一方)=:，(当X=万时F(X)取得最小值HJ=-(4) Ax)的定义域为(0,+),r(X)=JT,令r(X)=O,得V=I-InX,显然x=l是方程的解.令g(x)=V+lnX-,x(0,+8),那么，(x)=2x+-0,X函数g(x)在(0,+8)上单调递增,x=l是方程f(X)=O的唯一解.;当OVXVl时,f)=-1-ln-l0,X当Al时，F(X)VO,函数F(X)在(Oj)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，,当X=I时，函数AX)有最大值，且最大值是AI)=-1,

6、函数无最小值.点评本例(3)中，为了说明x=l是方程/(X)=O的唯一根.又构造了函数g(x),通过求导分析其单调性从而说明根的唯一性，这种方法在导数应用中经常使用.探究三.根据函数的极值与最值求参数值1 .函数的极值或最值求参数值时，主要根据极值点处的导数值为O和的极值，列出方程(组)，利用待定系数法求解；同时应注意：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理.2 .对于可导函数FCO,假设它有极值点而，那么必有f(xo)=0,因此函数F(X)有极值的问题，往往可以转化为方程/(X)=O有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解.3 .有些含参数的问题，需

7、要对参数进行分类讨论求解.【典型例题3】(1)假设函数f(x)=aV+b-4在X=I处取得极值，且极值为0,求实数a,6的值.(2)函数F(X)=afGaf+bg关0),问是否存在实数a使F(X)在区间1,2上取得最大值3,最小值一29,假设存在，求出a的值；假设不存在，请说明理由.思路分析：(1)可利用/(D=O,f(l)=0求解；(2)利用求最值的方法建立关于a的方程组确定a的值，注意对占的讨论.解：(1)由于f(x)=af+6-4,所以尸()=3ax-rb.依题意可得6(I)=O且F(I)=O.3a+b=0(Q=.2即，C解得Va+力一4=0b=6.(2)存在.f(x)=3i2ax=3a

8、(-4),令/(X)=O,解得Y=O,必=4(舍去).当a0,x变化时,f(力，F(X)的长:化状态如下表：所以当X=O时，/()取得胄所以力=3.又f(2)=-16a+3,/(-I)所以当X=2时，F(x)取得寅所以-16a+3=-29,即力当a2),:化状态如下表：X-1,000,2f一0+r()极小值Z所以当X=O时，Ax)取得最小值.所以力=-29.又F(2)=-16a-29,(1)=一7-29,2)(1),所以当x=2时，F(x)取得最大值，所以一16a29=3,即a=-2.综上所述，a=2=3或a=2,Z?=-29.探究四易错辨析易错点：无视极值存在的条件而出错【典型例题4】F(X

9、)=X3+3af+/在=-处有极值0,求常数*的值.错解：因为F(X)在才=一1处有极值0,且f,(X)=3/+6ax+Z?,3-6a+Z=0即42-l+3a-b+a=0a=a=2解得，或,1。=35=9.综上所述,a=l=3或a=2,6=9.错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证x=-l两侧函数的单调性，故求错.正解：因为，(*)在x=1处有极值O,且/()=3y+6ax+Z,-1 =0f3-6a+力=O所以=0-l + 3a-6+=oa=a=2解得=3Z=9.当a=l,。=3时,flW=3+63=3+l)0,所以F(X)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a=2,0=9时,fl(x)=3+12x+9=3(x+D(才+3),当X(3,1)时，F(x)为减函数；当x(-l,+8)时，F(为增函数.所以f(x)在才=1处取得极小值，因此=2,6=9.