课堂探究 1.1导数.docx
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1、课堂探究探究一求函数的平均变化率1 .求函数y=f(x)在区间尻,疝上的平均变化率的步骤是:(D求函数值的增量:7=rU)-rt1);(2)求自变量的增量:AX=X2用;(3)作商即得平均变化率:-fX2fXx.XX2-X2 .运动物体在友到力这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数S(I)在区间上的平均变化率,因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.【典型例题1】(1)求函数f(x)=在区间一1,0,1,3刘,施+1上的平均变化率.(2)假设某一物体的运动方程为s=-2,那么该物体在z=2到=3时的平均速度为.思路分析:(1)按照平均变化率的定义分三步求解;(2)实质就是求函数s(
2、f)在区间2,3上的平均变化率.(D解:F(X)=+在区间1,0上的平均变化率为:11y_f0T-1_2_=-0z=T=2iF(X)=+在区间1,3上的平均变化率为:_1、y_f3-F1_时_L77=3l=W=一I?/U)=*在区间E,的+1上的平均变化率为:by_f1+1一刖_1_1ZIXb1加b3b+2加+28+3ASOVQ2OO2(2)解析:平均速度为工7=一、,=10,故该物体在1=2到=3时的平均速度为-10.tL答案J10探究二导数定义的应用1 .利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数.求导函数时,可按如下步骤进行:(1)求函数的增量y=f(+)f();(2)求平均
3、变化率产JT;XX(3)取极限,得导数F(x)=lim?.2 .求函数F(X)在X=刖处的导数时,可以有两种方法:一是直接利用导数的定义求得,即f(Xo)=IimAx-Ot;二是先利用导数的定义求出/5),再计算/(X)在X=XO的函数值.【典型例题2】(1)求函数f(x)=V+在X=I处的导数;(2)求函数f(x)=20的导数.思路分析:对于(1)可有两种方法:一是直接利用导数定义求解,二是先求出F(x),再令x=l求得/(X)的函数值即得导数值;对于(2)可按照导函数的定义直接求导数.解,(1)(导数定义法)因为Ay=(l+A)-F(D=(I+Ax”+。+A*)-2=(A)3+3(A*)2
4、+4A*,所以72=(AxT+3A+4,X于是F(X)在x=l处的导数f=!西普=期Ky)2+3Ax+4=4.(导函数的函数值法)因为Ay=f(x+)f()=(+)j(+x)-=(x)33()2x3*x、殳+bx,所以Z=(AX)53Ax+3+l.于是/V)的导数r(X)=!典Z=3+l.从而产=3X+1=4.(2)因为Ay=F(X+)f(x)=2x+-2x,、x+ ,所以Ay2立+3才-2表2x+a1-2Iy/x+Aa-xxXyx+yx于是/V)的导数r=IimALoX点评利用导数定义求导数的关键在于取极限后,对W的变形与化简,使之能够约去分母中的Ax,然后求得导数.探去三导数的几何意义及其
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