椭圆题型方法总结.docx

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1、【椭圆题型方法总结】知识要点一一、椭圆的定义到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。22即：PPE+P5=2a,(2aFE)二、椭圆的方程。标准方程：2-=lv2r2或2+j=labO)(其中，a2=b2+c2)Crb(2)一般方程：加/+町,2=(机o,ZW或以2+的2=c(a,8,C同号)三、椭圆的几何性质标准方程22J+=l(abO)a2b2丫2十7=1(abO)a2b2图形由性质范围-aXa,-byb-bxb,-aya对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点Aj(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),4(0,a)5(

2、-0),(0)焦点(一c,0)、F2(c,0)F(O,-c)、F2(O,c两轴长轴长2a短轴长2b焦距忖用=2c,c2=a2-Z?2离心率e=-(Oe)B.(0,2)C.(l,-x)D.(0,1)【析】一般方程一标准化；焦点在y轴上那么y?的分母大22例4、方程工+J7=I表示椭圆，求女的取值范围。k-38-2【析】观察分析椭圆方程的特征：K?和y?的分母均为正，且不相等(假设相等即为圆的方程)。例5、k0,nO,mn)t解题的关键是建立方程组。【变式思考】1.4ABC两个顶点坐标是A(4,0)、B(4,0),周长是18,那么顶点C的轨迹方程.222、M为椭圆土+匕=1上一点，片为椭圆的一个焦

3、点，且M=2,N为MG中点，那么ON的长为.259223、椭圆一一十=1,长轴在y轴上，假设焦距为4,那么加=.10-wm-22y24、(2008浙江理12)Fp入为椭圆五+=l的两个焦点，过月的直线交椭圆于+F,B=12,那么朱.5、(2009陕西卷文)是“方程如2+疑2=,表示焦点在丫轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件x2v26、(2009北京文、理)椭圆+=1的焦点为月,F2,点尸在椭圆上，假设IPfj=4,那么IP鸟I=；NEP6的大小为.7、(2009广东卷理)巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在X轴上，离心率为、一，且G上一点到

4、2G的两个焦点的距离之和为12,那么椭圆G的方程为.8、椭圆有一个光学性质：光线由个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点。现有一个椭圆形的台球桌，椭圆方程为W+X=l(b0),一个球由该椭圆的一个焦点处击出，经桌壁反弹后a-b-又回到起点，那么球所走的路程为()A.4B.2(-C)C.2(a+c)V2139、椭圆f+2t=1abO)的离心率为一，且经过P(l,)ah22(1)求椭圆的方程(2)设尸是椭圆的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系并说明理由。2y210、(2(HO课标全国)FpB为椭圆+R=l(480)的左右焦点，设过斜率为1的直线/与E相较于A、B两点。

5、且|4段，A卦忸周成等差数列(1)求椭圆的离心率。设点P(O,-1)满足IPAI=IP却,求椭圆的方程。11、(2010安徽理数)19、(本小题总分值13分)椭圆E经过点4(2,3),对称轴为坐标轴，焦点”,鸟在无轴上，离心率6=；。(I)求椭圆后的方程：(11)求ZA6的角平分线所在直线I的方程；(In)在椭圆E上是否存在关于直线/对称的相异两假设存在，请找出；假设不存在，说明理由。(二)椭圆的几何性质的考查(1)椭圆的几何性质的灵活运用2y2例1、在平面直角坐标系Xoy中，A5C顶点A(-4,0)和C(4,(),顶点B在椭圆行+2-=1上,Ff7/sinA+sinC那么=.SinB【析】根

6、据标准方程确定a,b,c的值，并结合正弦定理一一=工=三=2R”sinAsinBsinC的性质a:b:C=Sin4:sin8:SinC”即可。2例2、椭圆-+V=1的两个焦点为耳，工，过6作垂直于X轴的直线与椭圆相交，一个交点为p,那么IP图等于(A.B.y/3C.2(+c)222b2【析】掌握椭圆通径长二竺并结合椭圆定义即可解决a(2)离心率的求法椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法:求明求小再求比.数形结合，充分利用图形蕴藏的数量关系，含。和c的齐次方程，再化含e的方程,解方程即可.例1、如图，直线/:x2y+2=0过椭圆的左焦点山和一个顶点B,该椭圆的离心率为xO/T例2、设椭圆的两个焦

7、点分别为F.F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,假设AFFFz为等腰直角三角形,那么椭圆的离心率是（）AfbCDa例3、设四、K为椭圆的两个焦点，以人为圆心作圆,圆K经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，假设直线.班恰与圆相切，那么该椭圆的离心率e为（）A.3-1B.2-3C.D.22【变式思考】1、（2010广东文数）假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率2、（2009江西卷理）过椭圆+=1（力0）的左焦点1作X轴的垂线交椭圆于点尸，F?为右焦点，假设NKPK=60，那么椭圆的离心率为（）3、Fp乃为椭圆 +5=1a2bTc；D（abO）的左右焦点，以月入为

8、边作正三角形。假设椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，那么椭圆的离心率为（）A.yfi1B.C.-D.一2234、（2008湖北卷10）如下图,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道【绕月飞行,之后卫星在P变点第二次变轨进入仍以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以尸为圆心的圆形轨道In绕月飞行，假设用2q和2。2分别表示椭轨道I和11的焦距，用2q和Ia2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出以下式子:CC4+C=。2+G；ac=a2c20)的焦距为2,以0为Crb-圆心，。为半径的圆，过点作圆的

9、两切线互相垂直，那么离心率e=.(3)焦点三角形面积公式：SAFPF=b2tan-22例1、椭圆=+4=l(ab0),尸为椭圆上任一点，NFPR=,ab求证:SMP吊=2tan,P,例2、设大，鸟是椭圆三十汇=1的两个焦点，点尸在椭圆上，(,916-1&Oq屋)0且NK尸入=60,求aKP鸟的面积。2例3、椭圆/2+2=1的焦点为用、F2,点M在椭圆上且2M产2=0,那么点“到X轴的距离为()A.-B.-C.D.3333X2V2例4、(2009年上海卷理)K、尸2是椭圆C:y+2T=IabQ)的两个焦点，P为椭圆C上一ab点，且尸_LPg.假设?的面积为9,那么人二.2例5、假设点P在椭圆与+

10、V=i上，%工分别是椭圆的两焦点，且/月PB=夕)，那么APB的面积是()A.2B.1C.D.-22例6、如图，K，尸2分别为椭圆9 9厂+厂V-的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为百的正三角形，那么户的值是.(4)有关,c大小讨论的问题例I、椭圆会+q=的焦点K、尸2,点P为其上的动点，那么使得尸耳的点P的个数为(A.OB.1C.2D.422例2、椭圆5+9=1的焦点6、工，点P为其上的动点，当NFlPF2为钝角时，点尸横坐标的取值范围是。例3、%F2是椭圆C:%+方=1(abO)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且丽JL丽.92厂.厂 1+= 1例4、设P是椭圆/产求椭圆离心率的取值范围。(a

11、bO)上的一点，E、区是椭圆的焦点，且N内吟90,求证：椭圆2的率心率e22.例5、(2008江西文、理科7)R、E是椭圆的两个焦点.满足A/耳-=0的点总在椭圆内部,那么椭圆离心率的取值范围是()I?A.(0,1)B.(0一C.(0,)D.,1)222(三)点、线与椭圆的位置关系(1)位置关系的讨论问题点 P(X(PX)与椭圆 += iabO)的位置关系:l + 2gia2 b2=Io P(Xo,凡)在椭圆上。务+窄10P(XO,%)在椭圆外。+痣1P(XO,%)在椭圆内。ab研究直线与椭圆位置关系的问题往往转化为研究方程解得问题，要回根据韦达定理和判别式解决问题。x2V2例1、当初为何值时

12、，直线y=x+m与椭圆玄+彳=1相交？相切？相离？例2、以(2,0),3(2,0)为焦点的椭圆与直线x+J5y+4=0有且仅有一个交点，那么椭圆的长轴长为(A. 32B. 26C. 27D. 42例3、直线y-心T-I=O(ZeR)与椭圆二+匕=1恒有公共点，那么6的取值范围是()5bA.(0,1)B.10,5)C.H,5)U(5,+8)D.(l,+)f2I例4、设椭圆节+J=l(b0)的离心率为e=,右焦点为/(C,0),方程以2+/-。=。的两ab2个实根分别为王和，那么点PCx2)()A.必在圆f+y2=2内B.必在圆f+y2=2上C.必在圆V+/=2外D.以上三种情形都有可能(2)弦长

13、公式：IABI=J1+左石一引=Jl+公4(1+x2)2-4xix22,例1、斜率为1的直线/过椭圆上+二=1的右焦点F2,交椭圆于A、B两点，32求：弦长IAB；(2)ZXABR的面积。22例2、FpF2是椭圆亍+=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且NA与B=45,那么4耳工的面积为()752D.7 - 27 - 4氏7A.例3、过椭圆二+上-=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,8两点，。为坐标原点，那么54QAB的面积为.22x,y_1冗1-1例4、48是过椭圆54的一个焦点删弦，假设力删倾斜角为3,求弦力照长例5、(2008北京文科19)比?的顶点4,8在椭圆/+3y2=4上，C

14、在直线7：片矛+2上，QABL当力8边通过坐标原点。时，求月8的长及力8。的面积；例6、椭圆公+切2=与直线+y=相交于AB两点，假设MBI=2&,且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为也，求实数b的值。2例7、假设直线尸x+t与椭圆匚+=1相交于A、B两点，当t变化时，求IABI的最大值.4.(3)与椭圆有关的中点弦问题例1、椭圆工+V=,求过点PfL且被P平分的弦所在的直线方程.2-U2)【分析一】：一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为&,利用条件求Z.解法一：设所求直线的斜率为2,那么直线方程为y-；=(X-；)代入椭圆方程，并整理得(1+2左2,2_(2左2_24卜+；女2_&+3=0.

15、2k2-2k由韦达定理得x1+x2=*,.。是弦中点，王+工2=1故得=-g所以所求直线方程为2x+4y-3=O.【分析二】：设弦两端坐标为(芭，yj、(x2,%)，列关于占、马、凹、必的方程组，从而求斜率:解法二：设过P(J,g)的直线与椭圆交于A(%,y)、B(X2,2)，那么由题意得一得+犬一=0.将、代入得江国=-工，即直线的斜率为一Xj-X222所求直线方程为2x+4y-3=0.【说明】：有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.【变式思考】1、椭圆4炉+9/=4内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为A. 3x + 2y-12 =

16、0( )B. 2x + 3y-2 = 0C. 4x + 9y-144 = 0D. 9x4y 144 = 02、过椭圆二十匕=1内一点M(2,l)引一条弦使弦被加点平分，求这条弦所在直线的方程.1643、过点P(-U)作直线与椭圆+=l交于A,B两点，假设线段AB的中点恰为P点，求AB所在的直线的方程和线段AB的长度.24、倾斜角为4的直线交椭圆上+V=I于4B两点求线段AB中点M的轨迹方程.44X2v2-WHZ-=1(。b0)5、直线尸-x+1与椭圆。b相交于小瓯点,且线段4勺中点在直线-2y=0.(1)求此椭圆的离心率；(2)假设椭圆的右焦点关于直线/的对称点的在圆/+=4,求此椭圆的方程.

17、(4)与椭圆有关的最值与取值范围问题例1、椭圆(+=1上的点到直线+2y-五=O的最大距离是()A.3B.11C.22D.K)例2、求椭圆太+V=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值.例3、直线=尤+机和椭圆一+V=I相交于a、B两点，当m变化时；4(1)求IAM的最大值(2)求AOAB面积的最大值(0是坐标原点)2例4、设P是椭圆.+V=1上的一点，0F2是椭圆的两个焦点，那么I尸6|尸闾的最大值为；最小值为；22例5、(2010福建文)H.假设点。和点尸分别为椭圆工+上=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任43意一点，那么OPFP的最大值为. 2B. 3C. 6D. 8例6、椭圆,+二1的左、右焦点分别为匕、F2,过月的直线交椭圆于氏两点，过F2的直线交椭圆于4C两点，且ACJ_50,垂足为P.(I )设户点的坐标为(与,%),证明：* +言80)的一个焦点是尸(1,0),Z(I)椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(II)设过点尸的直线/交椭圆于A、Bl绕点F任意转动,值有IoA+|0肝A砰,求的取值范围.