数值分析第五版答案(全).docx

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1、第一章绪论1 .设xO,x的相对误差为3,求InX的误差。解：近似值X的相对误差：为8* X*而Inx的误差为C(InX*)=In.v*-Inxe*r*进而有(InX*)心2 .设X的相对误差为2乐求Xn的相对误差。解：设f(x)=xn,则函数的条件数：为C=IyDlPf()又fc)=nxet,c又：e(x*)汜C。JE(X*)且e(x*)为2，(x*)n)0.02n3 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,=1.10211x=0.031.=385.6.=56.430I1,234,妒日方次解：1是五位有效数字；=0.031是二位有

2、效数字x=3856是四位有效数字；X4=56.430是五位有效数字；着&7然1愈是二位有效数字。4 .利用公式求下列各近似值的误差限：岑小翠中田，呼嚼XZX其中r,.r,A/啕为第3题所给的数。1134解：(,r)=-xl()-42(x)三-0j22(x)=-10-J2()=l10342(x)=-*s2(l)(x+x+x)I24=(x)+(x)+(x)I24=1O+10-3+IO3222=1.0510-3(2(x?x;x?)=x.r(.r)+.vx*(.r)+.rx(.r)=1.1021x0.03li100.031385.6110-4+11.1021385.6x110-；2220.215(3)

3、e(xxl)(.r).r(x)0.031XLIo3+56.430XLm=2256.43056.430=10-55计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少4解：球体体积为旷日萨R3则何种函数的条件数为R4R2-KR)3(V)C(K*)=3(即)故度量半径R时允许的相对误差限为(*) = 1% = 2.3006 .设与台蜜,按道推公式丫1-焉阮S.)计算到Yo若取783-27.982(5位有效数字)，试问计算丫将有多大误差IOnKNi解：Y=r-L783CT100：.Y=r-783iw100YY-783为9KI(X)Y=Y-783然9,100YY-783I0I(X)依次代

4、入后，有y=r-I(X)X-L711I抑100即Y=YH783,若取78327,982,AY=Y-27.982.(r)=(X)+(27.982)=-10J100O2y的误差限;为!XIO-L10027 .求方程x256x+l=0的两个根，使它至少具有4位有效数字(J783=27.982)。解：x2-56x+l=0,故方程的根应为2Z=28J而故x=28+7838+27.982=55.982Ax具有5位有效数字X=28-783=1-?=!0.0178632287832827.98255.982X具有5位有效数字8 .当N充分大时，怎样求F一diN1+X2解JVsl_!(i=arctan(V+1)

5、-arclanNN1+Jf-设=arctan(N+1),=arctanNo则tan=N+l,tan=N.nu-cIxN1+X2=-=arctan(tan(a-)tana-tan=arctan-l+tantanN+-N=arctanl+(N+l)N1=arctanNz+N+l9 .正方形的边长大约为了100Cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过Iem2解：正方形的面积函数为A(X)=X2E(A*)=2A*(x*).当x*=100时，若e(A*)1,则c(.r*)JlO2故测量中边长误差限不超过0.005Cm时，才能使其面积误差不超过ICm210 .设S=Jgc,假定g是准确的，而对t的测量有o.

6、1秒的误差，证明当t增加时S的2绝对误差增加，而相对误差却减少。解：S=02.(5*)=(r*J当伊增加时，s*的绝对误差增加 (S*) =T(S*)W当1*增加时，（俨）保持不变，则S*的相对误差减少。IL序列满足匐蚊斜二IOrl（LL2）,若=5141（三位有效数字），计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗解：y=7l.41(V*)=1IO2：a2又y=IOy-In-Iy=10yo-1.(v*)=l()(y)iU又V?=IQy,-1j.(V*)=10(y*)2,I.,(v*)=l(h(y)/eA.(y*)=10u(y)IOO=10O-X10-22计算到y时误差为JXlOK这个计算过程不稳定。

7、IO212.计算以协-1）6,取飒捌府的僦i博哪一个彳赛艇1骊99-70 2Jj,(3-22)3,J(3+20)3解：设y=(xl)6,若x=2,x*=1.4,!W(,)-1()Ie若通过一J=算y值，则Ol(V*)=6!(x*)(x+l6=y(.f)(.r+1厂,-2.53y*e(x-)罚1(3-2J2)3计算y值，则e(y)=-32(3-2x-)e(x)6/.- y*(.r*)3-21- 30y*e(x*)若通过(322)3计算y值，则(y) =36(3 + 2)41(x)v,(x)(3+2x)7、= 1.0345y* (x*)通过产一计算后得到的结果最好。(322)513.f(x)=In

8、(xx2d_),f(30)Oo若开平方用6位函数表，问救擞时误差有多大若改用另一等价公式。In()r2-l)=-In(x+21计算，求对数时误差有多大解f(x)=ln(x-x11);f(30)=ln(30-899)设u=899,y=f(30)则u*=29.9833(w*)=1xlOy故0.0167(r)3X10-3若改用等价公式ln(x-x2-1)=-ln(x+x24)则f(30)=Tn(30899)此时，(r)=-I(w)=!(w)5998338X10-7第二章插值法1.当 x=l,-l,2 时，f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。解:X=1,x=-132=2,f(x)=0,

9、f(x)=-3,f(x2)=4;/=(K132：(x-x)(-X)201021f、(X-X)(X-X)1zw4I(x)=w=-(.v-l)(x-2)(x-X)(x-X)6I。I，.,、(XT)U-X)1/IU.八I(K)=H=-(-l)(+l)2(X-X)(-X)32021则二次拉格朗日插值多项式为1.(X)=v(X)2ri1：=-3/(.v)+4/(.t)O214=(.t-I)(x-2)+(X-1)(x1232.给出f(x)=Inx的数值表X(Inx用线性插值及二次插值计算ln.54的近似值。解：由表格知，Xo=0.46=05工,=0.6孔=0.71=0.8;KXAO.916291,f(x)

10、=0.693147KXAa510826JaJ=-0356675f(x)=-0.2231444若采用线性插值法计算lnO.54即f(0.54)则0.50.540.6/(X)=土二=T0(x-0.6)IX-XI2/()=2-=-i(x-0.5)2X-X(x)=U)(x)+/(%)1(Jr)III22=6.93147(x-0.6)-5.10826(x-0.5)，L(0.54)=-0.6202186-0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时，/(X)=(XA?(A-S)=5(X.r-0.5)(x-0.6)(x-K)(X-.r)/(X)=(Ar(KfJ=-i00(-0.4)(x-0,61 (X

11、-X)(-X)1012.zx(XT)(X-X)-n.C/(x)=,f=50(-0.4)(x-0.5)(x-XKX-X)1.(K)=/(.V)/(.r)+f(x)/(X)+/(.V)1()2OO1I22=-500.91629l(x-0.5)(x-0.6)+69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.51082650(x-0.4)(x-0.5).L(0.54)=-0.61531984-0.61532022 .给全COSX,0x90的函数表，步长h=k(l60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求8SX近似值时的总误差界。解：求解CoSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X是近似值

12、，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数COSX的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当0x=0(2)(x-x)4(X)ii三O=(C.r(-x)*-X(x)*J三OMO=C(-x)*x(x)*i)又Oin由上题结论可知T4/(K)=Mi)於。=(X-X)k得证。5设f(x)C2a,b且f(a)=触)=0,求证:max()-(ft-)2max*(x)u&xih8aih解：令x0=x=b,以此为插值节点，则线性插值多项式为1.(X)=/(*)三、+/(x)=*,0X-X1X-XOI0一

13、X-/?,小X-=/()T+/(/?)a-bx-a又f(a)=f(b)=O.,.L(I)=OI插值余项为R(K)=/(K)-La)=C)(K-I)(X-KI20I/(*)!*()(-X)Cv-)20I又(X-X)(X-X)I-(-X)(x-),2OlJ=-(X-X)24I0=(ft-):4maxf(x)-(b-a)2max*(x)ab84t6 .在-4Wx4上给出f(x)=ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过1卜6,问使用函数表的步长h应取多少解：若雕点为X,和X,则分段二斓值多财fl三除妫R(X)=!/飞)(17)(x-)(x-x)23!M1*1?(x)-(x

14、-)(x-x)(X-X)max*(x)26IYVI设步长为h,即Xm=X-h,x=x+hI2GR(K)一8-=h=仪/n,2163327若截断误差不超过1卜6,则IR(X)I1Q63.,.e4nD+yo=(-1)JE4-yy三o=(-l4lv/yf=E-24yf=Y2=2n-2证明f(x)的k阶差分8 .如果f(x)是m次多项式，记4f(x)=f(x+h)-f(x),kf(x)(Okm)是m-k次多项式，并且4m+lf(X)=O(I为正整数)。解：函数f(x)的TayIOr展式为f(x+)=/()+f,(x)h-f(x)h?+fs,(k)je+!*j+)(Xx)(x-X)(-X)(-X)/三0

15、jOfjl/!Jn=L.x+fL,OWn得证。14.f(x)=x7+x4+3x+l,求F2021,27W20,2,28o解：Vf(x)=x7+x4+3x+1若x=2,i=0,1,8则/L，X卜OI-n!“屋,、=迎=OI77!7!A1*()njLv.x,vxJ=OI1815.证明两点三次埃尔米特插值余项是R(xj=(x-x)2其中g(x)是关于X的待定函数，现把X看成I上的一个固定点，作函数()=(O-H(t)-g(x)(f-)2(z-X)：3hl根据余项性质，有(x)=0,(x)=0(x)=f(x)-H(x)-g(x)(x-x)z(x-x)2f(x)-HM-R(x)=Otl)=ft)-H4)

16、-g(x)(2(t-x)t-x,)2+2(t-x.)(-x)=.(x)=0JtV)=0il由罗尔定理可知，存在e)(x)和&口阴)使,()=O.,()=0I,即巾()S%:上有四个互异零点。根据罗尔定理，6(t)在6(t)的两个零点间至少有一个零点，故9”(1)在(X/)内至少有三个互异零点，三W,94(1)在阿%衲至少有一个零点。记为叱一幻)使()-A/*()-4!()=0乂H川(/)=O，、*)()-z、.g(x)=-?.三(-t,)4?4*其中，依赖于Xf()R(X)=-(x-x)2(x-x)；4!k*+1分段三次埃尔耨插值时，若节点为中feeLg设步长为h，即X=Xo+kk=O,l,9

17、n在小区间x,x上f(E)R(x)=-(x-.r)2(XT)J4!4*1Wx)=|f4f()(-)2(-)2-(x-x)2(X-X)ImaXl/川(X)I4,Jl*/1lz-+xt、1I-z.(*-h卜max/(X)4!24xb=-X4!加一/m max 4)(,v)ah=max384 tlxh(v)16 .求一个次数不高于4次的多项式P (X),使它满足P(O)=P1(O)=O,P(1)=P,(1)=0,P(2)=0解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式r=O,x=YO视=1m。=Om=IH(x)=y(X)+w(x)3.iiijXK，、八CXVZX、a(X)=(I-2H-)()20X

18、-XX-XOlOl=(l+2x)(x-l)z(x)=(l-2H)(-)2,X-XX-XIOIO=(3-2x)x2Xx)=x(x-lp3(x)=(X-IM2I.*.H(X)=(3-2x)x2+(X-I)X2=-x3+2x2设P(X)=H(X)+A(x-x,)=(xx)?其中，A为待定常数P(2)=l.*.P(x)=-x3+2x2+Ax2(x-1)z从而P(I)=：小(1-3)217.设fijx)=l(l+x2),在-5O.1379,l(x)=O.15(X),/()=0.3077JJK)=0.350(：当x=0.5时，取)翎叔婚保株(76Q=0.7500误差max(x)-/(x)max*()1.t

19、*8.sxsl又z=-2”(1+X2)26x2-2(1+,U)3广=24a-24.v3(1+X2)4令f(x)=O得f(x)的驻点为标1和X2R*(X)=1.U)=-2.,.maxf(x)/(x)-K*418 .求f(x)=x2在a,b上分段线性插值函数l(x),并估计误差。h解：在区间响上，Xo=a,x=b,h=x-x,i=0,1n-1,h=maxhf(x)=X2:函翻x)小区间吟JU上分段线性插值函数为r-x-r/(X)=+)X-XfX-X*误差为maxf(x)-l(x)-max*()Q*8.f(x)=x2f(x)=2x,f,(x)=2J：.max(.r)-/(x)-19 .求f(x)=x

20、4在a,b上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在网区IMLLXo=a,=b,h=x-x,i=0,1n-1令力=maxhM1f(x)=x4J(x)=4x3：两数瓶)在区间区X上的分段埃尔米特插值两数为/(幻=(三二)2(1.24-)八1)X-XX-X1i“IMi+()2(1+2r-)()X-XX-XQtHlii，、1+(H-)2(X-X),(VX-XiiM/X-X一、+(L)MX-X)fX-XKli-(x-x)j(i+2.r-2x)hi,i1r4(x-x)2(h-2x+2X)hii/-4.13+-T-(K-X)2(-h2，4x3+rH-(-X)2(-)h2Al误差为(4=W-max4()()4z

21、.又f(x)=x4h)(x)=4!=2l1/h，maxfix)-/()max-r-u.rihhhc-61620.给定数据表如下:试求三次样条插值，并满足条件：(l)S,(0.25)=1.0000,S,(0.53)=0.6868;(2)S,(0.25)=S,(0.53)=0.解：h=x-x0=0.05h=x2-X=0.09h2=X2-x,=0.06h=x-x=0.08f.x=5-/=0.9540/T)J6h6Zj，将M。，MMM,M代入得-6.7593(030-.03-4.8810(X-0.25)3+10.0169(0.30-x)l0.9662(x-0.25).25,.3-2.7117(039一

22、.6-1.9098(X-0.30+6.1075(0.39一jr)+6.9544(x-0.30)S(X)= 0d=2f0=0,d=4.3157,d2=32M0d=-2.4300,d=2f,=0o=U=O由此得矩阵开工的方翻为-4.3157-3.2640-2.4300)求解此方程组，得M=O,M=-1.8809M=-0.8616,M=-l.O3O4./=O234MhX -X又三次样条表达式为+(V-)j+(V-i6h.*6将M。MM2MM代入得-6.2697*-0.25)3+10(0.3-x)10.9697(-0.25)xw().25,0.30-3.4831(0.39-幻3-1.5956(x-0.

23、3)+6.1138(039-x)+6.9518(x-0.30)x().30,039-2.3933(0.45-x)-2.8622(.0.39+10,4186(0.45-)+11.1903(X-0.39)XWk).39.0.45-2.1467(0.53-xp+8.3987(0.53-x)+9.1(x-0.45)xe.45,().5321.若f(x)EC2aHs(x)是三次样条函数，证明：(aff(x)ax-J卜”(x)arJLHK)-Sr()idx2卜Ua)InX)-S(x)Jaaa(2)若fi)=S(x)(i=O,l,n),式中x,为插值节点，且a=x。x(11T()一日，八XT(X)Ih*=o

24、2，=S0)r0)-S,()-S(a)11)-S)-5w()J,(x)-S*(x)x*=Sf(b)-s-S胸)-”a2第三章函数逼近与曲线拟合1./()=sinj,给出0,1上的伯恩斯坦多项式B(x)及B(伙)解：/()=sineO.l伯恩斯坦多项式为fr(,)=S/(I)P(X)“n*其中q(x)=；卜(1-幻A当n=l时，(P(x)(I-X)0P(x)=XB=/(O)P(X)+/(1)P(xIOI=(I-X)Sin(XO)+XSin22当n=3时，(P(x)=(I-X)3。IoJfP(x)=X(I-.r)2=3x(1-x)2,lJ，P(JO=(l-x)=32(1-x)2 ILP(X)=,8

25、(x)=f/(一)P(x)Jn*=O3(1-x)2sin-+32(l-x)Sinm+wSing3 33=-x(l-x)2+x2(1-)+,225-3333-63=i+Xi+-X2 221.5x-0.402x2-0.098x32,当f(x)=x时，求谴(/*)=证明：若f(x)=x,则8(7,K)=*f(一)P(x)nn4X=Oy-DinA!A-J(k-l)!.U-(1-X)0f(x)=(x-1);在(0,D内单调递增llf=maxf(x)=max(f(o)Ifa)=max0.1=1f=maxf(x)=max(f(o)Jfe)(=max01=1=(f,(l-.tbdLt)22n1Ia=-(l-)727O事O=早Q将叫hl,则ll/ll=max(x)=l*O0:f(x)在(0,，一；内单调递减/1+/n当.tw(-mI)时，f(x)O+Mf()在(，一,1)内单调递减。(J),（八）O+J=max(x)=*0*tdt0=I(2n)!(2m)!V(2(w+m)+l)!(4)若f(x)=(x+1)ioe-x当xeoj时，KX)0f(x)=10(x+1)e-x+(x+1)o(-e-x)=(x+l)pe-x(9-x)0f(x)在0,1内单调递减。Ifl=maxf(x)=