08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（教师版）.docx

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1、专题08三角形中的重要模型平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形.模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，

2、在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。条件：如图1,Oo平分NMOM过Oo的一点尸作PQZOM结论：AOPQ是等腰三角形。条件：如图2, AABC中，BD是NABC的角平分线，DE BCC结论：ABZ）E是等腰三角形。条件：如图3,在AABC中，8。平分/ABC, C。平分/AC8,过点O作BC的平行线与AB , AC分别相 交于点M, N.结论： BOM. CON都是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.例1.（2023河南濮阳统考二模）如图，直线44,点。、A分别在4、4上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交4C、4于点。、E;分别以。、E为圆心

3、，大于goE长为半径画弧，两弧交于点尸；作射线A尸交4于点8.若N8C4=130。，则Nl的度数为（）C. 30D. 50r答案】B【分析】根据作图可知AA是/CAE的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解.【详解】解：F卜“NfiCA+NCAE=180YNBcA=I30。，NCAE=50。根据作图可知AA是NCAE的角平分线，Zl=-ZCAB=25,故选：B.2【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键.例2.（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为MBC的MBC和0AC8的平分线的交点，ODAB交BC于点O,OE/AC交BC于点E.若48=5cm,BC=I

4、Ocm,AC=9cm,则00。E的周长为（）A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm【答案】A【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把AOOE三条边转移到同条线段8。上，即可解答.【详解】解：如图：团。、08分别是0C80A8C的角平分线，005=06,01=02,ODAB,OEMC,(三4=06,01=03.004=05,02=03,即OD=BDfOE=CE.物。DE的周长=OQ+OE+OE=BD+fE+CE=5C=IOC切.故选：A.【点睹】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明团Boa团。EC都是等腰三角形.例3.（2023广东八年级期末）如图，48CO中

5、，AB=3cmtBC=5cm,BE平分NABC交4。于七点，CF平分/BCD交A。于F点，则EF的长为cm.【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB,DF=DC,进而推出EF=AE+DF-AD.【详解】Y四边形A8CO是平行四边形，AEB=EBC,AD=BC=5cm,.8E平分NA8C,；./ABE=NEBC,则NAB石=AE8,.,.AB=AE=3cmf同理可证：DF=DC=AB=3cm,则EF=AE+Z7）AD=3+35=lcw.故答案为：1.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边.例4.

6、（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在AABC中，Z4C=90o,ADl.BC于点D,NABC的平分线BE交A。于尸，交AC于E若AE=3,DF=fI,则AD=.【答案】5【详解】由角度分析易知NAEF=NA/E,即AE=A尸，VAE=3AF=3VDF=2AD=AF+DF=5【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型.例5.（2023.山东八年级期末）如图，ABC,AB=ACfNB、NC的平分线交于。点，过O点作E尸BC交AB、AC于反尸.图中有几个等腰三角形?猜想:即与BE、CF之间有怎样的关系.如图,若ABAC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它

7、们.在第问中EF与BE、。产间的关系还存在吗?(3)如图，若AABC中NB的平分线Bo与三角形外角平分线CO交于0,过。点作OEBC交AB于E,交AC于E这时图中还有等腰三角形吗?E尸与8石、CT关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）AEF.OEB.OFC.OBC.48C共5个，EF=BE+FC;（2）有，EOB.FOCf存在；（3）有，EF=BE-FC.【分析】（1）由AB=AC可得N48C=NAC8;又已知08、OC分别平分NAB。、ZACfi:故zebo=zobc=zfco=zocb:根据E尸bc,可得：oeb=obc=ebo,/foc=/fco=/bco；由此可得出的等腰三角形有：A

8、AEF、OEB.OFC.OBC.AfiC:已知了08和FOC是等腰三角形，则EO=BE,OF=FC,MEF=BE+FC.（2）由（1）的证明过程可知：在证aOE8AOFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系,故这两个等腰三角形还成立.所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立.（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BbFC【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：AAEEOEB.OFC.OBC.ABC;EF.BE、Fe的关系是EF=BE+FC.理由如下：9：AB=AC,ZACb=ZABC,A48C是等腰三角形；* ：BO.CO分别平分NABC和NAeB,NABo=NoBC

9、=；ZABCtZOCB=ZACO=/ACB,* ：EF/BCf：,/EOB=/OBC,ZFOC=ZOCB,：,/ABO=/OBC=/EOB=/OCB=/FOC=/FCO,* FOB、OBC.ZiFOC都是等腰三角形，* ：EFBC,ZAEf=ZABC,NAFE=NAC8,ZAEF=ZAFE,Z4E尸是等腰三角形，VOB.OC平分NABC、NACB,ABO=ZOBC,NACO=NOCB;BC2+AB2=47737=5,.生=0，即3=0ABBD3BD：.BD=C=4=,.,.AD=JBD2+AB2=+32=5?:4ABD的周长=3+3+之际=9+3百.222【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定

10、理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键.例4、0ABC中，团BAC的外角平分线交BC的延长线于点D,求证：BD-.CD=AR.AC.证明：过C作AD的平行线交AB于点E.BEC/ADBI.CD=AB.AE,01=03,02=040AD为加AC的外角平分线001=02003=01=02=I340AE=ACBD-.CD=ABiAC例5.（2022秋北京八年级北京八十中校考期中）在二ABC中，。是BC边上的点（不与点8、C重合），连接AO.图3（1）如图1,当点。是BC边的中点时，Sabd.Sacd（2）如图2,当Ao平分/8AC时，若A8=m,AC=nf求S=

11、bd：Samd的值（用含“、的式子表示）；（3）如图3,AO平分/mC,延长AO到使得AD=O七，连接8E,若AC=3,A8=5,S皿=10,求SA盟的值.【答案】（1）1:1（2）加:（3）16【分析】（1）过A作AE_LBC于E,根据三角形面积公式求出即可；, AB = m, AC = Ti Sbd Sc小BDC图2(3) ., AD = DEf，由(1)知：t; AC = 3,48 = 5 , A。平分/8AC S. acd = 6, /. ABc = 10 + 6 = 16 ,AB=(-AB DE)(-AC DF) = ?:；ABD ： S Eg。= I ： 1， SABDE=I0，

12、. SzABD = IO ,；由(2)知：Sabd ： S*& = 48: AC = 5:3 , 故答案为：16.（2）过。作力ElAB于E,DhAC于F,根据角平分线性质求出OE=OF，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1（2）的结论求出AABO和-ACD的面积，即可求出答案.【详解】（1）过A作Afj_BC于石，点。是5C边上的中点，.E=DC,=（BOXAE）:（2xC。XAE）=I:1故答案为：1:1；LCDDQZlLLZ、22ZkBDEc图1(2)过。作。七_246于E,Ob_ZAC于尸，YAO为/8AC的角平分线，OE=OF,【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积

13、公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键.课后专项训练1. （2023春山东淄博九年级校考期中）如图，AABC中，ZABC=90。，点/为JU?C各内角平分线的交点,过/点作AC的垂线，垂足为“，若BC=3,AB=4,AC=5,那么的值为（）A.1B.C.2D.一22【答案】A【分析】连接/A、IB、IC,过，作LAB于M,INtBCFN,利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解.【详解】解：连接/A、IB、IC,过/作/M_LAB于M,IN工BC于N,丁点/为JWC各内角平分线的交点，IMLAB,INLBC,IHLAC,：.IH=IM=IN,VBC=3AB=4,AC=5,*

14、Sabc=-34=6,：sabc=sa1b+sb1c+sa1c，6=ABIM+BCIN+ACIH，：BC=3,A=4,AC=5,IH=IM=IN,工IH=1,故A正确.故选：A.【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度.熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线段的长度是解题的关键.2. （2023春湖南岳阳八年级统考期末）如图，AE,是.C的角平分线，AE,BD相交于点OQFLAB于尸，ZC=60o,下列四个结论：ZAo8=120；AD+BE=ABx若-ABC的周长为加,。/二，则SABC=叫若OE：Q4=1：3,则OD:08=2:3.其中正确的结论有()个.A.1B.2C.3D.4

15、【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可验证结论；如图所示，在4上截取AK=AZ)，可证八4。度AAOK(SAS),ABOEABOK(ASA),根据全等三角形的性质可验证结论;如图所示，连接OC,过点0分别作OGjAC于点G,作。打上BC于点”，根据角平分线的性质，三角形的面积计算方法可验证结论；结合结论，图形结合，等面积法等知识可验证结论.【详解】解：结论ZAoB=I20,VZ4C+ZCZABC=180o,NC=60。，ZBAC+ZABC=120,.AE,BD是AxBe的角平分线，：.NCAE=NEAB=-ZCABtNCBD=NDBA=-ZABC,22：.ZEAB+ZDBA=-(ZCAB+Z

16、CBA)=-120=60,在中，ZOAB+ZOBA+ZAOB=180,22V ZAOB=180-(ZOAB+OBA)=180-60=120,故结论正确；结论A。+跳:=AA,由结论正确可知，ZAOB=I20。，V ZAOD+ZAOB=ISfr,：,ZAOD=180o-ZAO=180o-120o=60o,V ZAOD=ZBOEt：,4BoE=S,如图所示，在A4上截取初二AD,AD=AK：.在AOO,AOK中，DAO=Z.KAO,.AO*AOK(SAS),AO=AO(公共边).NmA=NKa4=60。，JABOK=ZAOB-ZAOK=120o-60o=60,AD=AK,ZBOK=ZBoE=60。

17、，在AB0E,AB0K中,NBoK=ZBOE08=。8(公共边)，：.ABOEABOK(ASA),：.BE=BK、NoBK=ZOBEAK+BK=AD+BE=AB,故结论正确；结论若的周长为?,。产=，则Sc=加，如图所示，连接0C,过点。分别作OG_L4C于点G,作0”_Z3C于点H,AE,8。是-ABC的角平分线，OFA.AC,OF=n,OC平分NAC3,OF=OG=OH=n,且AB+AC+BC=m,：SMBC-SMoC+SdAoBSaboc=gAB0G+gAB0F+；BGOH,SBC=g0F(AB+BC+AC)=mnmn,故结论错误；结论若OE:O4=1:3,则00:03=2:3,-BE.

18、n be 兀二茄 2如图所示，连接0C,过点0分别作OG_LAC于点G,作OHlBC于点”,SboeTBE0H,Saob=-ABOF,f.OH=OF=nf/.歌22SZUa如图所示，过点B作BMAE于点M,2-,且 OE:= 1:3,0, 4 SOB= Q A3M , S&BOE.BEOEETmADODlEX_.布=示屋同理前=方如图所示、人-TM1-.IBEOE1.BKBE1由结论正确可知，AD=AK,BE=BK,.-r,=-=TABOA3ABAB3.AK2.ADAK2.ODAD2品公、“、丁Tk：.=一，：=-,：=,故结论正确；AB3ABAB3OBAB3综上所述，正确的有，3个，故选：C

19、.【点睛】本题主要考查三角形的综合知识，掌握角的和差计算方法，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线交的性质，线段之间比例的计算方法等知识的综合是解题的关键.3. （2023秋四川南充八年级校考期末）如图，AABC内角/MC和外角/ACO的平分线交于点,BE交AC于点尸，过点E作EG班）交48于点G,交AC于点“，连接AE,有以下结论；BG-CH=GH；BF=EF若ZAC8=106。，则ZA仍=54。；(三)Sbce.Sbce=BCiGEiZAfB+ZACE=90。.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证

20、明；.HEF与YCBF不能得出全等的结论，无法证明M=E尸；若NAC3=106。，无法推出NA所=54。；利用三角形面积的公式即可证明；通过设未知数找到等量关系，从而证明ZAEB+ZACE=90.详解】YEG/BDZ.GEB=ZEBC,/GEC=/ECD：ABC内角NABC和外角ACD的平分线交于点EZABE=EBC,ZACE=4ECD；ZABE=/GEB,ZACE=ZGEC：,BG=GE,CH=HE：,BG-CH=GE-HE=GH：BG-CH=GH,故正确.斯与VCBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推出BF=EF,故错误若NACB=IO6。，则/

21、48=74。，则NACE=NGEC=37。，无法推出NAEB=54。，故错误.BCE的面积为BC乘以点E到线段BC的距离乘以4BGE的面积为GE乘以点4到线段BC的距离乘以I点E到线段BC的距离与点B到线段BC的距离相等S.CE:Swge=BCiGE,故正确过点E作用VLAC于MEQ_LBC于O,EM_LBA于M,如图，,.BE平分NABC,.,.EM=ED丁CE平分NACD,：EN=ED：,EN=EM,AE平分NCW,设NACE=NZ）CE=,ZABE=NCBE=y,ZMAE=ZCAE=Zt则N8AC=180-2z,ZAeB=I80-2%,VZABC+ZAC+ZfiAC=180o,/.2jl

22、800-2z+180-2x=80o,x+z=y+90oo,Vz=y+ZEB,x+y+ZAEB=y+90,x+zAE=90o,即NACE+NAEB=90。，故正确；故选C【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解.c i4. （2022秋江苏宿迁八年级校考期末）如图，在RLABC中，ZAC3=90。，CDVAB,垂足为。，AF平分/C4B,交CD于点E,交C3于点F.若AC=3,AB=5f则CE的长为（）8D.-5【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+

23、NCB4=90。，NEAO+NAW=90。，根据角平分线和对顶角相等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用勾股定理得出尸G的长，即可得出答案.【详解】解：过点F作FGIAe于点G,HZACB=90o,CDAB,团NCaA=90。，0ZCAFZCM=90o,AFAD+ZAED=90,团4F平分NCAB,0ZC4F=ZEAD,IBNCFA=ZAED=NCEF,0EC=FC,团A尸平分C4B,NAb=NAGP=90o,FG=FC,OR.AFCqRaAFG,团AC=AG=3,BG=AB-AG=2f0AC=3AB=5.0BC=JaB2-AC2=4例设FG=x,则8斤=4x,BG=ABAG=2

24、,则/+22=(4-X)2,解得：x=,即CE的长为.故选：A.【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出NCM=NCFE.5. （2023春四川达州八年级校考阶段练习）如图，在Rt中，EiAC8=90。，CDAB,垂足为。，AF平分团CA&交CD于点E,交CB于点尸，则下列结论成立的是（）【答案】C【分析】求出0CAF=I2BAF,0B=0ACD,根据三角形外角性质得出13CEF=团CFE,即可得出答案;【详解】在RtZkABC中，0ACB=9O,CD0AB,跄CDB=E)ACB=90,三ACD+BCD=90o,由

25、BCD+团B=90,0ACD=0B,团AF平分(3CAB,即ICAE=I3BAF,00ACD+0CAE=0B+0BAF,团团CEF=SCFE,0CE=CF.故选C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键.6. （2023贵州中考模拟）如图，在MBC中，0ABC和13AC8的平分线交于点E,过点、E作MNBC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【分析】利用角平分线和平行可以证明（3BME和团CNE是等腰三角形，而可得8M+CN=MN即可解答.【详解】解：酶ABC、HACB的平分线相交于点

26、,00M5E=团E8C,ECN词ECB,MNNBC酿EBC=（3MEB,WECECB,圆SMBE=团MEB,WEC=WCNtWM=ME,EN=CN,团MN=ME+EN,BPMN=BM+CN.团BM+CN=9（3MN=9,故选D.【点睹】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键.7. （2023河南开封统考模拟预测）如图，在中，NC=90。,ZB=30o,以A为圆心，任意长为半径画弧分别交44、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点尸，连接AP并延长交BC于点O,以下结论错误的是（）A.AO是NBAC的

27、平分线B.ZADC=60oC.点。在线段A8的垂直平分线上D.SAABDSZ1ABC=1：2【答案】D【分析】由作图可得：Ao平分ZBAe可判断A,再求解N。AC=NO43=3NBAC=30。，可得NAoC=60。,可判断B,再证明OA=。/?,可判断C,过。作AB于尸，再证明。C=O尸，再利用SSd=Li美，可判断D从而可得答案11. BCACD+ABD【详解】解：NC=90。,NB=30。，ZfiAC=90-30=60,由作图可得：4。平分/8AC,故A不符合题意：.ZDAC=ZDAB=-ZBAC=30o,/.ZADC=90-30=60,故B不符合题意;2.ZDAB=Z=30o,.D4=O

28、8,.o在AB的垂直平分线上，故C不符合题意；过。作。bJ_AB于ENC=90,4D平分N4C,.DC=DFfZ = 30o,-AB DF 22AC 2AC 2 44. c 人 m 卡 故D符合题意;.,.AB=2AC,Sacd=ACCD,Sabd=ABDFyABcSACD+SAbd-AC-CD+AB-DFAC+A8AC+2AC3AC322故选：D.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定,等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键.8. （2023江苏扬州九年级校联考期末）如图，在Rt2kA8C中，0ACB=90,CDAB,垂足为O,A/平

29、分（3CA8,交CD于点、E,交CB于点F.若AC=6,A8=10,则。E的长为（）【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理得出同C+0C=9O,团用+0AM=90。，根据角平分线和对顶角相等得出ISCEF=mCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.【详解】解：在RtA48C中，0AC=6,AB=IO,则由勾股定理知：BC=AB2-AC2=102-62=8,0-ACBC=ABCD,则CZ)=-AC,1=今过点尸作/7G0A8于点G,22AB5团0ACB=90,CDABf113CDA=90o,00G4F+0CM=9Oo,闭必。+(MEO=90,(MF平分团C48,00C

30、4F=0MD,00CM=0AfD=0CEF,CE=CF,0A尸平分SCAB,0ACF=0AGF=90%0FC=FG,BFFGAB AC00B=0B,FGB=ACB=90,WFCMBACf回一=,8-FCFG0AC=6,A8=10,BC=8,团=S-pcFC0FC=FG,0=.解得：FC=3,即CE的长为3.10624QDE=CD-CE=3=.故选A.【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出团CEF=团C产9. （2023北京顺义统考二模）如图，在JWC中，AD,BO分别是B4C,NABC的平分线，过点。作EF/AB

31、,分别交AC,BC于点E,F.若A=4,BF=6,则石尸的长为.【答案】10【分析】证明4NuAE。均为等腰三角形，得到。F=BRAE=OE,即可得出结果.【详解】解：I3A。，50分别是/3AC,NABC的平分线，中乙BD=NDBF,NBAD=NEAD,EF/AB0ZABD=ZDBF=/DBF,NBAD=NADE=ZEAD,DF=BF=6,AE=DE=41EF=DF+DE=iO-,故答案为：10.【点睹】本题考查角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质.熟练掌握遇到角平分线和平行线,常常会有等腰三角形，是解题的关键.10. （2023春陕西咸阳八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在

32、“3C中，/3=60。,ZC=50,SAE点。为二A8C的边BC上一点，点E、G分别在边A8、AC上，连接AZXDE.DG,若干续二丁，则,ADGAUZADC的度数为。.【分析】根据角平分线的判定与性质可知NO4C=gBAC,最后利用三角形的内角和定理即可解答.【详解】解：过点。作WrlA6,垂足为尸，过点。作。“J_AC,垂足为“，SAEDF,：SADE=7AEDF,Sdg=-AC-DHt=j，ZZ3aLACDH2SAEade_,DF=DH,AD是NBAC的角平分线，；Z.DAC=-ZBAC,SZUdgAG2VB=60o,ZC=50o,/.ZBAC=180-ZB-ZC=70,ZDC=-ZBA

33、C=35o,ZAZ)C=180o-ZC-ZZMC=180-35-50=95,故答案为95.2【点睹】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题关键.11.（2023秋安徽滁州八年级统考期末）JlBC中，。是BC边上的点（不与点B,C重合），连接AO.S(1)如图1,当AO平分/BAC时，若AB=5,AC=3,贝瞪迺:；(2)如图2,Ao平分NHAC,延长Ao到七，使得4)=Z)E,连接8E,如果AC=2,AB=4,SBDE=6,则SABC=.52【答案】j/lj9【分析】（1）过。作止IAA于E。尸-ZAC于F,根据角平分线性质得到Z）E=OF，再根据三角

34、形面积公式即可得到答案；（2）根据A=OE可得到SABO=Sb0e=6,再根据AC=2,AB=4和（1）的结论得到SAm=3,即可求出S.abc的面积.【详解】解：（1）如图1,过。作石_/4笈于E,DFJ.AC于F,图1乂。是ZBAC的角平分线，.OE=DF,-abde,A8=5,AC=3,.-=7V=-=q*故答案为：Sm1xCDFAC33（2） AD=DE,:S,ABD=SBDE=6,AC=2,AB=4,Ao平分/8AC,由（1）可知：SabdSacd=AB:AC=4:2=2:1,acd=ABC=ABD+ACD=6+3=9,故答案为：9.【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，

35、灵活运用（1）（2）得出的结论是解题关键.12. （2023.广东九年级期中）如图所示，在FABC中，BC=6,E、尸分别是AB、AC的中点，动点尸在射线E尸上，BP交CE于D,NCBP的平分线交CE于。，当CQCE时，EP+BP=.【答案】12【解答】解：如图，延长8。交射线E广于点M.VE.尸分别是A8、AC的中点，；.EFHBC,：.NCBM=/EMB8M平分NABC：/ABM=CBM,NEMB=NEBM,EB=EM,；.EP+BP=EP+PM=EMVCQ=CEfEQ=ICQ由EF/BC得,EMQ平分NABC,mZABD=NCBD,0ZACB=9Oo,0ZCLBZDBC=90o,0ZCE

36、B=9Oo,ZABD+ZEMB=90,NCDB+/DBC=ZABD+/EMB,国NCDB=/EMB,团NDMC=/EMB,04CDB=DMC,CD=CM,ISVQW是等腰三角形.（2）在RtZA8C中BC=屈。Er=而7二F=6，过点。作WLAB,垂足为尸，团8Z)平分NABC,ABCD=ABFD=90。,ISCD=DF,设CQ=x,则CM=X,DF=x,0CD=DF,BD=BD,0RtBCZRtBFD,eBC=BF=6,BAF=AB-BF=10-6=4,AD=AC-CD=S-Xf在RtIMob中AD2=A产+力尸，g(8-x)2=x2+42,解得x=3,bc=ABCE=ACBC,ABCE=A

37、CBC,即IoXCE=6x8,CE=4.8,ME=CE-CM=4.S-3=.S,OM石的长度为1.8.【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.14. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，在AABC中，NACB=90。，CD是AB边上的高，AEBAC的角平分线，4石与8交于点尸，求证：是等腰三角形.【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得NB=NA8,然后根据三角形外角的性质求得NCEF=Na芯，根据等角对等边求得CE=CF,从而求得是等腰三角形.【详解】证明：团在AABC中，NACB=90。，0ZB+Z4C=9Oo,是4A边二的高，ZACD+ZBAC=90,OZB=ZACD,团A石是/B4C的角平分线，Rinbae=NEAC