14全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（学生版）.docx

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1、专题14全等与相似模型一线三等角（K字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180。与三角形内角和为180。，证得两个三角形全等。【常见模型及证法】同侧型一线三等角:锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）条件：ZA=/CED=B+CE=DE证明思路：NA=NB,/C=/BE

2、D+任一边相等dBEOmACE异侧型一线三等角:锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：NFAC=ZABD=NCED+任意一边相等证明思路：ZA=NB,ZC=N8EO+任一边相等=.8EACE例1.（2021山东日照中考真题）如图，在矩形A88中,AB=8cm,AD=I2cm,点P从点6出发,以2cms的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以UCmzS的速度沿8边向点。运动,到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当V为时，AABP与PCQ全等.例2.（2022黑龙江九年级期末）（1）如图（1）,己知：在0ABC中，国BAC=90。，

3、AB=ACt直线机经过点A,8D0直线用，C0直线机，垂足分别为点。、E.证明SDE=BQ+CE.（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在财BC中，AB=AC,D、4、E三点都在直线相上，并且有BBDA=BAEC=BAC=af其中为任意锐角或钝角.请问结论。E=EACE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3）,D、E是。、A、E三点所在直线?上的两动点（）、A、E三点互不重合），点尸为团8AC平分线上的一点，且尸和MC/均为等边三角形，连接出人CE,若MOA=IMEC=IMAe试判断团。“的形状.例3.（2022广东汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，

4、如图1,等腰直角三角形ABC中，0AC=9Oo,CB=CA,直线Eo经过点C,过A作AD0EO于。，过B作BfMO于求证：ECCDA；（2）模型应用：已知直线AB与y轴交于A点，与X轴交于8点，sinABO=,08=4,将线段AB绕点8逆时针旋转90度，得到线段BC,过点A,C作直线，求直线AC的解析式；如图3,矩形ABCO,。为坐标原点，B的坐标为（8,6）,4,C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点。在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若0AP。是以。为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点。的坐标.例4.（2023湖南岳阳统考一模）如图，在48C中，AB=AC=2,

5、0B=40o,点。在线段8C上运动（点。不与点8、C重合），连接AO,作财OE=40。，OE交线段AC于点.（1）当如。A=II5。时，SIEQC=。，0AED=。；（2）线段QC的长度为何值时，a48D三QCE,请说明理由；（3）在点。的运动过程中，AADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求团BDA的度数；若不可以，请说明理由.例5.（2022浙江杭州一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，O?IAE于尸，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：ADFEAB.理由如下：因为A8C。是正方形（已知）所以班=90且AD=AB和AO3BC又

6、因为。国AE（已知）即回。以=90。（垂直的意义）所以团D=团8（等量代换）又AD0BC所以回1=02（两直线平行，内错角相等）ZDF=NB在04。尸和团EAB中JNI=N2所以0AOA三E48（AAS）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等.你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与财。尸全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由.例6.(2022山东九年级课时练习)(1)课本习题回放:“如图，ZACB=9(),AC=BC,AD上CE,BElCEf垂足分别为。，E,AD=2.5cm,=1.7cm.求应:的长，请直接写出此题答案：BE的长为.(2)探索证明：如图，

7、点5,C在NMAN的边AM、AN上，AB=AC,点E,尸在NMAN内部的射线AO上，且Nba=NaD=NRAC.求证：AECAF.(3)拓展应用：如图，在ABC中，AB=ACfABBC.点。在边8C上，CD=IBD,点、F在线段40上，/BED=/CFD=/BAC.若AABC的面积为15,则ACF与MZ犯的面积之和为.(直接填写结果，不需要写解答过程)例7.(2023贵州遵义八年级统考期末)过正方形ABa)(四边都相等，四个角都是直角)的顶点A作一条直线MN.(1)当MN不与正方形任何一边相交时，过点、B作BE工MN于点E,过点。作。产_LMV于点尸如图(1),请写出E尸，BE,O尸之间的数量

8、关系，并证明你的结论.(2)若改变直线MN的位置，使MN与Co边相交如图(2),其它条件不变，EF,BE，H的关系会发生变化，请直接写出M,BE,。尸的数量关系，不必证明；(3)若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图(3),其它条件不变，EF,BE,OE的关系又会发生变化，请直接写出EF,BE,。尸的数量关系，不必证明.图(1)图(2)图(3)模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的 “一对角相等”，再利用平角为180 ,三角形的内角和为180 ,就可以得到两个三角形的另外一对角也 相等，从而得到

9、两个三角形相似.1） 一线三等角模型（同侧型）（钝角型）（锐角型）条件：如图，/1=/2=/3,2）一线三等角模型（异侧型）（直角型）结论：AACESABED.条件：如图，Z7=Z2=Z3,结论：h ADEsMBEC.3）一线三等角模型（变异型）特殊中点型：条件：如图1，若C为A8的中点，结论：AACESABEDSAECD.一线三直角变异型1：条件：如图2,ZABD=ZAFE=ZBDE=90o.i6:ABCSABDEsABFCsAAFB.一线三直角变异型2：条件：如图3,NABD=NACE=NBDE=90.结论*&ABMsANDEsANCM.例1.（2023山东东营统考中考真题）如图，一ABC

10、为等边三角形，点O,E分别在边BC,AA上，ZAPE=60,若BD=4DC,DE=24,则4。的长为（）DA. 1.8B. 2.4C. 3D. 3.2例2.（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）在以“矩形的折叠为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平；第二步：将图中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点尸处，得到折痕MN,如图.根据以上的操作，若AB=8,AD=12,则线段的长是（）例3.（2022河南新乡九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形.（1）如图1,在ABC中，团BAC=90。，

11、=,直线/经过点A,8D0直线/,CE上直线/,垂足分别为AC。、E.求证：空=2.（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2,将AE（1）中的条件做以下修改：在.ABC中，-=kt。、4、E三点都在直线/上，并且有E1BD4=0EC=E1B4CAC=,其中为任意锐角或钝角.请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,在ABC中，iiAr,沿-ABC的边A8、AC向外作矩形ABDE和矩形AC尸G,大=大=j,A”是BC边上的高，延长/M交AEAG2EG于点/.求

12、证：/是EG的中点.直接写出线段BC与A/之间的数量关系：.例4.（2023湖北武汉统考中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形ABCD边BC上一点，4AEF是等腰三角形，AE=EF,NAE/=N8C=（900）,A/交8于点G,探究NGb与的数量关系.问题探究：先将问题特殊化，如图（2）,当a=90。时，直接写出NGb的大小；再探究一般情形，如图（1）,求NGb与1的数量关系.问题拓展：将图（1）特殊化，如图（3）,当a=12（时，若段=:，求当的值.CG2CE例4.（2023湖北荆州统考中考真题）如图1,点P是线段AB上与点A,点B不重合的任意一点，在48的同侧分别以A,P,8为顶点作NI

13、=N2=N3,其中Nl与23的一边分别是射线AB和射线BA,N2的两边不在直线A6上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段A8为等联线.如图2,在5x3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,A8为端点在格点的已知线段.请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点尸为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3,在RAPC中，ZA=90,ACAP,延长AP至点8,使AB=AC,作/A的等联角NCPD和NPBD.将沿PC折叠，使点A落在点M处，得到.MPC,再延长PM交BD的延长线于E,连接CE并延长交尸。的延长线于尸，连接好.确定APb的形状，并说明

14、理由；若AP:尸8=1:2,BFfk,求等联线AB和线段尸E的长（用含上的式子表示）.图1图2图3例5.（2022山西晋中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型如图，在eABC中，NACB=90。，AC=BC,分别过A、3向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E,我们很容易发现结论：ADCACEB.（1）探究问题：如果AC工政工其他条件不变，如图，可得到结论；.请你说明理由.（2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线y=；X与直线8交于点M（2,l）,且两直线夹角为a,且tana=,请你求出直线Co的解析式.（3）拓

15、展应用：如图，在矩形ABC。中，AB=3t8C=5,点E为BC边上一个动点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90。，点A落在点尸处，当点尸在矩形ABCQ外部时，连接PC,PD.若aQPC为直角三角形时，请你探究并直接写出族的长.例6.(2023江苏南京校考三模)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】如图1，在正方形ABCO中，E,尸分别是46,AO上的两点，连接OE,CF,若DE上CF,则K7的值为;(2)如图2,在矩形ABC。中，AD=IfCD=4fE是AD上的一点，连接CE,CFCFBD,若CE工BD,则W的值为；BD【类比探究】如图3

16、,在四边形A8C。中，NA=NB=90。，E为AB上一点,连接OE,过C作。E的垂线交EO的延长线于G,交AO的延长线于尸，求证：DEAB=CFAD;【拓展延伸】如图4,在RaABD中，/840=90。，AO=I5,将AABO沿Bo翻折，A落在C处，得到DF5CBD,户为线段AD上一动点，连接C/，作DELCF,交AB于E,垂足为G,连接AG.若崇=彳，CF3则AG的最小值为.课后专项训练1. （2022湖南长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点。与坐标原点重合，分别过点A、8作X轴的垂线，垂足为。、E,点A的坐标为（-2,5）,则线段OE的长为（）A.4B.6C.6.5D.72.

17、（2022贵州凯里一模）如图，在平面直角坐标系中A（0,4）、C（6,0）,轴，存在第一象限的一点P（,2-5）使得是以A8为斜边的等腰直角三角形，则点尸的坐标（）.C.(3,1)或(5,5)D.(3,3)3. （2023河南郑州统考二模）如图,已知矩形ABCo的顶点AA分别落在X轴y轴上，OB = 45OA = 4,AB=2BC则点C的坐标是（）A.(9,3)B.(9,23)C.(4+23,23)D.(43+2,2J)4. (2023湖南长沙九年级专题练习)如图，在矩形48Co中，BC=6,AB=2,RtABE产的顶点E在边S或延长线上运动，且回BE尸=90,EF=BEtDF=则BE=.5.

18、 （2021浙江台州中考真题）如图，点E,F,G分别在正方形48CD的边48,BC,AD,AFEG.若AB=S,AE=DG=I,贝J8r=.6. （2023浙江九年级专题练习）如图，JlBC为等边三角形，点D,E分别在边48,AC上，80=3,将VAaE沿直线DE翻折得到VQ石，当点尸落在边BC上，且3F=4C/时，力E4尸的值为.7. （2022安徽九年级专题练习）如图，矩形ABC。中，48=8,AD=4,E为边4。上一个动点，连接8E,取BE的中点G,点G绕点E逆时针旋转90。得到点尸，连接C尸，在点E从A到。的运动过程中，点G的运动路径=,ACE/面积的最小值是.8. （2023浙江九年

19、级专题练习）如图，在0ABC中，AB=AC=IO,点。是边BC上一动点（不与8、C重合），IMC）E=回8=,DE交AC于点E,且cos0=g,下列结论：00ACD；当50=6时，ASD25与团OCE全等；团OCE为直角三角形时，8。为8或甘：OVCE6.4.其中正确的结论是.(把O你认为正确结论的序号都填上)9. (2022河北保定模拟预测)如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC,若测得斜边AA的两端点到桌面的距离分别为AO,BE.(1)求证：ADCCEB;(2)若OE=I0,AZ)=7,求BE的长.10. (2023浙江九年级期末)如图，已知二ABC和二CDE均是直角三角形，ZAC

20、B=NCED=RtN,AC=CEtAB_LC。于点尸.(1)求证：ABCCDE;(2)若点8是KC的中点，DE=IOcm,求AE的长.B11. （2022江苏九年级专题练习）【感知模型】一线三等角模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：如图1,-ABC是等腰直角三角形，ZC=9（）,AE=BD,则二A瓦注；如图2,二ABC为正三角形，BD=CF/EDF=600,则3比咨；如图3,正方形ABCD的顶点8在直线/上,分别过点A、C作AEJj于E,C尸Jj于尸.若AE=I,b=2,则七尸的长为.【模型应用】（2）如图4,将正方形OWC放在平面直角坐标系中，点O为原点，

21、点A的坐标为O）,则点C的坐标为.【模型变式】（3）如图5所示，在-48C中，NAC8=90。，AC=BC,BEJ_CE于raD0C石于D,。七二4cm,D=6cm,求应:的长.12.（2022江苏镇江二模）模型构建：如图1,AM_LMN于点M,BN工MN干煎N,A8的垂直平分线交MN于点尸，连接AP、BP.若44尸3=90。，求证：AM+BN=MN.数学应用：如图2,在AABC中，。是BC上一点，AC=AD=BD,NC40=90,AB=S,求的面积.实际运用：建设“交通强国是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求.建设“美丽公路是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的

22、需要.如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点。处是一座古亭，鹅卵石路Q4、QB以及AB两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA=Q8,QAlQB,AB是以Q为圆心、”为半径的圆弧（不计路宽，下同）.请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；七NL图14图3日13.（2022黑龙江桦南县九年级期中）如图1,在aA8C中,且AO_LMN于O,8E_LMV于.（1）由图1,证明：DE（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出。石，（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问OE,AD,等量关系（不必说明理由）

23、.,A.IBDC3图2省道省道X21a道P国道4NAe8=90。，AC=BC,直线MN经过点C,=AD+BE;AD,BE的等量关系并说明理由；成又具有怎样的等量关系？请直接写出这个AMA14. (2022黑龙江佳木斯三模)在ABC中，ZABC=90。，AB=BC,0为直线A8上一点，连接CO,过点3作班:_LCD交Co于点E,交AC于点尸，在直线48上截取AM=BO,连接尸(1)当点O,M都在线段43上时，如图，求证：BF+MF=CD;(2)当点。在线段AB的延长线上，点M在线段班的延长线上时，如图；当点O在线段8A的延长线上，点”在线段A6的延长线上时，如图，直接写出线段M,MF,8之间的数

24、量关系，不需要证明.15. (2022安徽哈肥二模)(1)如图1,等腰直角JIBC中，NACB=90。，CB=CA,线段。经过点C,过A作AD_LE于点。，过B作LED于E求证：ABECzdCDA.(2)如图2,已知在平面直角坐标系Xoy中，。为坐标原点，点A的坐标为(0,4),点。的坐标为(-3,0),点8是平面直角坐标系中的一点，若.ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图3,已知在平面直角坐标系X。)，中，。为坐标原点,在等腰直角QA8中，ZOAB=90,OA=AB=4,点M在线段OB上从。向B运动(运动到点3停止)，以点M为直角顶点向右上方做等腰直角.AMN,求

25、点N移动的距离.16. （2022河南新乡二模）如图，HABC和0AOE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，DAE=WAC二90。，AD=AE,AB=AC=6,。在线段BC上，从8到C运动，点M和点N分别是边SC,OE的中点.（1）【问题发现】若点。是BC边的中点时，黑=,直线BO与MN相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）（2）【解决问题若点。是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由.（3）【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值.17. （2023湖北宜昌统考中考真题）如图，在正方形ABC。中，E,尸分别是边A。，AB上的点，连接CE,EF,CF

26、.若正方形ABCO的边长为2,E是4。的中点.如图1,当NFEc=90。时，求证：4AEFsDCE;21如图2,当tanN尸CE=时，求AF的长；（2）如图3,延长b,DA交于点G,当GE=OESinNFCE=时，求证：AE=AF.18. （2023广东深圳九年级校考阶段练习）如图，在.ABC中AB=AC=6cm,BC=Scm,点E是线段BC边上的一动点（不含8、C两端点），连接A石，作NAED=N交线段AA于点。.求证：ZXBOESg（2）设比:=x,AD=yt请求y与X之间的函数关系式.（3）E点在运动的过程中，VAoE能否构成等腰三角形？若能，求出席的长；若不能，请说明理由.19. （2

27、023浙江九年级专题练习）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线A与y轴交于点4,与X轴交于点3,OA=2,O8的面积为2.如图1,求直线AB的解析式.如图2,线段OA上有一点C,直线Be为），=履-2女0）,轴,将BC绕点B顺时针旋转90。，交Ao于点Z求点。的坐标.（用含2的式子表示）如图3,在（2）的条件下，连接0。，交直线BC于点E若3NABC-/800=45。，求点E的坐标.20. （2022湖南郴州中考真题）如图1,在矩形ABCo中，AB=4,8C=6.点E是线段4。上的动点（点E不与点A,。重合），连接Ca过点上作_CE,交AB于点F.求证：.AEFs.dCE；（2）如图2,连接CA过点B作8G_LCE,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点，连接GM.求AG+GM的最小值；当AG+GM取最小值时，求线段OE的长.