专题1.8等腰三角形中的分类讨论思想七大考点(北师大版)(解析版).docx
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1、专题L8等腰三角形中的分类讨论思想七大考点【北师大版】【题型1与边分类讨论】1【题型2与角分类讨论】3【题型3与高分类讨论】7【题型4与垂直平分线分类讨论】11【题型5与中线分类讨论】16【题型6与动点、动线段需分类讨论】19【题型7构造等腰三角形需分类讨论】23【题型1与边分类讨论】【例1】(2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考开学考试)已知等腰三角形的两边长分别为b,且b满足(-2)2+g-3=0,则此等腰三角形的周长为()A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10【答案】A【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于。的方程组,接下来解方程组即可求出。、方的值,再分类讨论,可得结论.【
2、详解】解:根据题意得,-2=0,6-3=0,;Q=2,力=3,当Q=2是腰时,三边分别为2、2、3,能组成三角形,周长为:2+2+3=7.当b=3是腰时,三边分别为3、3、2,能组成三角形,周长为:3+3+2=8.所以等腰三角形的周长7或8.故选:A.【点睛】本题考查非负数的性质,等腰三角形的性质等知识,解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题.【变式1-1(2023春山东威海八年级统考期末)用一条长20Cm的细绳围成一个等腰三角形,若一边长是另一边长的2倍,则底边的长为.【答案】4cm【分析】设较短的边长为犹m,则较长的边为2%cm,分两种情况:当较短的边为底边,较长的边为腰时;当较长的边为底
3、边,较短的边为腰时,分别进行求解即可得到答案.【详解】解:设较短的边长为%cm,则较长的边为2xcm,当较短的边为底边,较长的边为腰时,则%+2%+2%=20,解得:X=4,此时三角形三边长分别为4cm,8cm,8cm,能组成三角形;当较长的边为底边,较短的边为腰时,贝j2x+x+x=20,解得:x=5,此时三角形三边长分别为5cm,5cm,10cm,5+5=10,.不满足三角形任意两边之和大于第三边,故不能组成三角形;综上所述,三角形底边的长为4cm,故答案为:4cm.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系,熟练掌握等腰三角形的性质,以及三角形任意两边之和大于第三边,采用分类
4、讨论的思想解题,是解此题的关键.【变式1-2(2023春安徽六安八年级校考期中)己知等腰448C的周长为18,BC=8,若AABC三ADEF,则ADEF中一定有一条边等于()A.7B.2或7C.5D.2或5【答案】D【分析】分8C为腰、BC为底两种情况,求出等腰三角形的另两边,根据全等三角形的性质解答.【详解】解:当BC=8为腰时,等腰448C的周长为18,,另两边为8或2,当BC=8为底时,另两边为5或5,:bABCDEF,DEF中有一条边等于2或5,故选:D.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.【变式1-3(2023春陕西西安八年
5、级西安市第八十三中学校考阶段练习)定义;等腰三角形的底边长与其腰长的比值攵称为这个等腰三角形的“优美比若等腰三角形的周长为13cm,AB=5cm,则它的“优美比”为()a-!BYC.遇D.期【答案】C【分析】分两种情况:48为腰或AB为底边,再根据三角形周长可求得底边或腰的长度,即可得到它的优美比k.【详解】解:当4B腰时,则底边=3cm;此时,优美比A=/当48为底边时,则腰为4cm;此时,优美比k=:;4故选:C.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键.【题型2与角分类讨论】【例2】(2023春八年级课时练习)过等腰三角形底角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角
6、形均为等腰三角形,则原等腰三角形的顶角度数为.【答案】36。或售)。【分析】分两种情况画出图形,当BC=BD=AD,AB=AC时,设乙A=%得乙C=乙CDB=2a.ABCC=2a.由zL4+ABC+/C=180,则+2a+2a180%即可得到=36;当4D=BD,BC=DC,AB=AC时,设44=a.得448C=KC=3.则+ABC+ZC=180,则+3+3a=180,得=卅【详解】解:分两种情况讨论:如图(1),(1)C当BC=BO=AO,4B=力C时,Sz4=a.9:BD=AD,ABD=ZJI=,Z.CDB=ABD+zl=2.:BC=BD,L.C乙CDB=2a.VAB=AC,WBC=ZC=
7、2a.VZi4+z4C+zC=180o,.a+2cr+2a=180o,解得a=36o.如图,AAB(2)CAC时,设乙4 = a.当AO=BD,BC=DCtAB=,ADBD,.*.A=ABD=a.BDC=A+乙ABD=2a. ;BC=DC,;乙CBD=BDC=2a,ABC=乙ABD+乙CBD= :AB=AC, ABC=L,C=3a.,A+ABC+C=180o,a+3+3=180,解得=(崂。.综上,原等腰三角形顶角的度数为36。或(一)。.故答案为:36。或(一)。【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识,分类讨论是解题的关键.【变式2-1(2023春
8、安徽亳州八年级统考期末)一个等腰三角形,其中两个内角的度数的比是2:5,它的三个内角可能是()A.30o,30o,120oB.50,50,80C.75o,75o,30oD.80,80,20【答案】C【分析】分两种情况,然后根据三角形的内角和列方程,即可得到结论.【详解】解:.两个内角的度数的比是2:5, 设一个内角等于2%,另一个内角等于5%, 三角形是等腰三角形,.*.2x+2x+5x=180oWc5x+5x+2x=180,解得:=20。或无=15, 三个内角是40。,40o,100。或75。,75,30,故选:C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和,熟练掌握等腰三角形的性质
9、是解题的关键.【变式2-2(2023春八年级课时练习)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值若等腰AABC中,乙4=80,则它的特征值A为()A.9或B.3或:C.3或4D.9或4【答案】A【分析】分NA为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角,然后根据k的定义求解即可.【详解】解:当NA为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:i(180o-80o)=50 I8008k=-=-当NA为底角时,顶角的度数为:180-80-80。=20。.特征值k嗡W综上所述,k为g或右故答案为A.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,NA是顶角还是底角的分
10、类讨论是正确解答本题的关键.【变式2-3(2023春山东枣庄八年级统考期中)如图,在A48C中,IABC=40。,BAC=80,以点式为圆心,4C长为半径作弧,交射线84于点D,连接CD,贝叱BCO的度数是.【答案】10。或100。【分析】分两种情况:当点。在BA上时,当点)在BA的延长线上时,由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质进行计算即可得到答案.【详解】解:如图,当点。在BA上时,由作图可得:AD =ACf.Z.ADC=Z-ACDtADC+ACD+乙BAC=180o,BAC=80,ccACC1800-ZR4C180o-80o-o.ADC=ACD=50,22 在AABC
11、中,ABC=40o,Z.BAC=80, 乙ACB=180-乙ABC-4BAC=18040-80=60, .乙BCD=Z-ACB-ACD=60-50=10,当点Zr在BA的延长线上时,由作图可得:AD,=AC,AD,C=ACD,fD,AC=ABCACB=40o+60o=1OO,AD,C+ACD,+D,AC=180o,.AD,C=ACD,=40o,BCD,=ACB+ACD,=60o+40o=100o综上所述:4BCO的度数是:10。或100。,故答案为:10。或100。.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质,熟练掌握以上知识点,采用分类讨论的思想解题,是
12、解此题的关键.【题型3与高分类讨论】【例3】(2023春广东深圳八年级校考期中)若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半,则此等腰三角形的底角的度数是()A.15。B.75oC.15。或75。D.无法确定【答案】C【分析】分两种情况,画出相应的图形,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数,即可得到等腰三角形底角的度数.【详解】解:当A48C为锐角三角形时,作CDIAB于点。,取Ae的中点E,连接。E,如图:.E为AC的中点,:.DE=CE=AC,9CD=-ACt2:.CD=CE=DE,ACDE为等边三角形,.DCE=60o,z=90o-60=30o,:AB=A
13、C,B=乙ACB=75;当4BC为钝角三角形时,作BDlCA,交C4的延长线于点D,取48的中点E,连接DE,如图:则UDB=90。,TE为AB的中点,:.BE=DE=-AB,2,:BD=-AB,2ABOE为等边三角形,.*.ABD=60,zDi4=90o-60=30,.LBAC=150,*:AB=AC,1.ABC=ZC=15;综上分析可知,此等腰三角形的底角的度数是15。或75。,故C正确.故选:C.【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质,直角三角形斜边中线等于斜边的一半,等边三角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,画出相应的图形,利用数形结合的思想解答.【变式31】(2023
14、春河南南阳八年级统考期末)在等腰三角形中有一个角为40。,则腰上的高与底边的夹角为.【答案】20。或50。【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算.【详解】当40。角为底角时,如图,VCA=CB,J.CAB=乙B=40o,过点A作AO1CB,交BC的延长线于点Df.*.ADC=90,.DAB=90-B=50;当40。角为顶角时,如图,:CA=CB, Z.CAB =乙 B =180o-40o=70,过点A作AGlCB,交BC于点G,,乙4G8=90。,zGi4F=90o-zF=20o;故答案为20。或50。.【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算,熟练掌握分类思想是解题的关键.【变
15、式32】(2023春全国八年级课堂例题)已知的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,则【答案】图见解析,45。或135。【分析】分两种情况,画出图形,由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案.【详解】解:作图区当乙4BC为锐角时,如图.当乙4BC为钝角时,如图.I解答区】若AABC为锐角三角形时,乙4BC为锐角,如图,:AD1BCfBELACf,乙BDF=UDC=乙BEC=90,:,ZC乙CBE=90o,ZC+乙CAD=90,;.乙CBF=CAD1FDF三DC(AAS),:.BD=AD,.,.ABD=45,即乙4BC=45;若48C为钝角三角形时,/ABC为钝角,如图,同理可
16、证4BDFAOC(AAS),:.BD=AD,.ABD=45。,乙4BC=135。,综上所述,乙4BC的度数为45。或135。.故答案为:45。或135。.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.【变式33】(2023山东泰安统考二模)在平行四边形ABC。中,AD=BD,BE是AQ边上的高,乙EBD=30,则乙4的度数为.【答案】60。或30。【分析】首先求出乙4DB的度数,再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质,得出入4的度数.【详解】解:情形一:当E点在线段4。上时,如图所示,8E是A。边上的高,乙EBD=30。,.Zi
17、4D=90o-30o=60o,VAD=BD,A=ABD=(180o-60o)2=60;情形二:当E点在4。的延长线上时,如图所示,BE是AD边上的高,EBD=30,BDE=60,VAD=BD,.Z=4谢=2DE=3。.故答案为:60。或30。.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形的外角的性质,三角形的高等知识,得出乙的度数是解题关键.【题型4与垂直平分线分类讨论】例4(2023春山东泰安八年级统考期末)已知线段AB垂直平分线上有两点C、。,若乙4DB=80。,4CAD=10,则乙4CB=()A.80B.90C.60或Io(TD.40或90【答案】C【分析】如图,。
18、石垂直平分A七垂足为E根据线段垂直平分线的性质得到。A=O七则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出NDAB=NO84=50。,当C点在线段。E上,NCAO=Io。时,则Ne48=40。,则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算NACS=IO0。;当C点在ED的延长线上,NCNO=IO。时,则“AB=60。,根据等边三角形的性质易得乙4CB=60。.【详解】解:如图,OE垂直平分A8,垂足为:.DA=DB,11;NDAB=NDBA=L(180o-ZDB)=x(180-80)=50,22当C点在线段OE上,NCAO=Io。时,贝IlNcAB=50。-10。=40。,:CA=CB,N
19、CAB=/。84=40。,:ZACB=180-40-40=100;当C点在Eo的延长线上,4CzD=IO。时,则“勿8=50。+10。=60。,VCA=CB,r4C/F=60o,综上所述,ZACB的度数为60。或100.故选:C.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.也考查了等腰三角形的性质.【变式4-1(2023春湖北武汉八年级统考期末)已知,在AOPQ中,OP=OQ,OP的垂直平分线交OP于点D,交直线OQ于点E,Z.OEP=50,则乙PoQ=.【答案】65。或115。【分析】AOPQ为锐角三角形时,根据线段垂
20、直平分线的定义得到NooE=NPz)E=90。,从而求得NoEO=乙PED=江OEP,继而可得OO=90-25=65。,问题得解;OPQ为钝角三角形时,同理可得0。=90。-25。=65。,即乙PoQ=I80。-NEOD,问题得解.【详解】解:如图1,AOPQ为锐角三角形时,OE垂直且平分OP,.ODE=/.PDE=90o,OE=PE,.9.0ED=乙PED=-OEP,2又乙OEP=50,OED=乙PED=25。,zFOD=90-25=65;如图2,ZkOPQ为钝角三角形时,OE垂直且平分OP,zODE=ZPDE=90o,OE=PE,.*.OED=乙PED=-OEP,2XVzOEP=50,:乙
21、0ED=乙PED=25,AzEOD=90-25=65, POQ=180-65=115;故答案为:65。或115。.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,掌握这些性质及定理,准确作出图形是解题的关键.【变式4-2(2023春上海八年级专题练习)在AABC中,LBAC=a,边AB的垂直平分线交BC于点O,边4c的垂直平分线交BC于点E,连接4D,AE,则4ME的度数为.(用含。的代数式表示)【答案】2a-180ogl80o-2a【分析】先根据线段垂直平分线的性质,得到8=i84D,C=CAE,进而得到28+乙C=Z840+4SE=I80。一%再分两种情况
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