第34讲等差数列及其前n项和（讲）（教师版）.docx

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1、第34讲等差数列及其前n项和(讲)思维导图题型1：等差数列的基本运算题型2:等差数列的判定与证明题型3:等差数列的性质与应用考向1:等差数列项的性质考向2:等差数列前n项和的性质考向3:等差数列前n项和的最值等差数列及其前n项和知识梳理I.等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为斯+-=d(N,d为常数).(2)等差中项：数列小A,b成等差数列的充要条件是4=空，其中A叫做小b的等差中项.2.等差数列的有关公式(I)通项公式：a=ai+(-l)d=d+(0J)=当今O时，恁是关

2、于的一次函数.(2)前n项和公式：Sn=*,aa+in”“S”=ai+政、=翁+(0一差当d0时，S”是关于n的二次函数，且没有常数项.常用结论已知以为等差数列，d为公差，S”为该数列的前项和.(D通项公式的推广:=+(n-m)+m0H2m,仍是等差数列,公差为md(k,mN*).(4)S.,S2n-Sn,S3-S2“，也成等差数列，公差为d.(5)若%,%是等差数列,则一斯+q6也是等差数列.(6)若%是等差数列，则i也成等差数列，其首项与%首项相同，公差是小公差的去(7)若项数为偶数2，则S2=(ai+a2)=(a+a”+i);S偶一S侍=d：U=卫-3偶an+(8)若项数为奇数In1,则

3、Sin=(2-1)小；S奇一Sa=anT=onf0,(9)在等差数列/中，若0,Ck0,则满足八的项数山使得S取得最大值S”；若m2。2与4的等差中项为4=-2+（4-l）x=.故选：A.【跟踪训练1-1】（2020春合肥期末）若为为等差数列，S“是数列/前项和，01=l,S5=35,则该数列的公差d为（）A.21B.2C.3D.4【分析】由等差数列的前项和公式即可得出5+也4=35,然后解出d即可.2【解答】解：根4（列的前项和公式得：5+经d=35,解得4=3.2故选：C.【跟踪训练1-2】（2020春资阳期末）已知等差数列6的公差为d,出=4，4=10,则d=（）A.2B.3C.6D.9

4、【分析】由题意利用等差数列的性质，求得d的值.【解答】解：等差数列6的公差为d,出=4,a4=10,则2c=%=6，.t=3,故选：B【跟踪训练1-3】（2020春常德期末）等差数列&中,3=8,10=29,则%=（）A.14B.17C.20D.23【分析】由题意利用等差数列的通项公式，求出首项和公差，可得心的值.【解答】解：等差数列%中，%=4+2c=8,%）=4+9c=29,.4=2,d=3,则=q+5d=17,故选：B.【名师指导】等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d或项数.在求解时，一般要运用方程思想.(2)求通项.m和d是等差数列的两个基本元素.(3)求特定项.利用等差

5、数列的通项公式或等差数列的性质求解.(4)求前项和.利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.题型2等差数列的判定与证明【例2-1】(2020山东模拟)已知数列q满足q(*),且q=L3-43(/)求证：数列!是等差数列，并求能；%-12()令以=l5N*),求数列的前项和(+2)an【分析】(/)对。用=上口两边同时减去1，整理得到ae-I=X-I=色E，然后两边同时取倒数得3-43-43-att到一!一=-!+!-,即L=-L进而可证数列一是等差数列，结合等差数列的定%+-l2an-lan+l-a,l-2an-113义可得到整理即可得到勺的表达式.为T1-123(/)先根据(

6、1)中的仆的表达式表示出,然后根据数列求和的裂项法求得答案.【解答】解：(/)4川=一二%-1=产1=条二3一q3一q3-anr13-a1-Cin2114x2%-22。”-22an-22an-.1_凡村一14-12数列一是公差为-L的等差数列/T23勺-122212一工()由(/)知4=-+22_2JS+高二而h7f,Illl1I11xTll=b.+b+b.=1+|21324n+2111132+3=+=2n+1n+22(+1)(+2)【跟踪训练2-1】（2020春天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为4,4,3,前项和为S“，且Sa=110.（1）求及攵的值.（2）已知数列2满足仇=&,证

7、明数列2是等差数列，并求其前项和7；.n【分析】（1）设该等差数列为%，由等差中项可得。的方程，解得a,可得首项、公差，再由求和公式可得心（2）运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论.【解答】解：（1）设该等差数列为，则4=,a2=4f%=3,由已知有+M=8,得q=2,公差d=42=2,所以&=%+Mk；Dw=2&+k*；D*2=公+2,由SJt=II0,得F+z-o=o,解得A=IO或=Tl（舍去），故=2&=10；（2）证明：由（1）得Sa=（+）,则勿=&=+1,故+1-=（+2）-（+1）=1,n即数列4）是首项为2,公差为1的等差数列，所以7=（2+1）/5+3）

8、“22【名师指导】等差数列的四个判定方法（1）定义法：证明对任意正整数n都有+-0等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数都有20j+=0f+ft+2后，可递推得出a,+2a,l+=a,l+-all=al-an-=an-an-2=.=a2-a,根据定义得出数列斯为等差数列.(3)通项公式法：得出a=p+夕后，得a+i=P对任意正整数恒成立，根据定义判定数列%为等差数列.(4)前项和公式法：得出SI=A“2+8后，根据S”，出的关系，得出a，再使用定义法证明数列小为等差数列.题型3等差数列的性质及应用【例3-1】(2020春赤峰期末)在等差数列应中，12=3,a5+a6=lt则+g=(

9、)A.8B.9C.IOD.Il【分析】根据等差数列的性质可得：(4+g)+(q+4o)=2(%+4),即可求出.【解答】解：(+%)+(a9+4o)=2(%+&)，则为+/=2x7-3=11,故选：O【例3-2(2020春南岗区校级期末)设等差数列/的前项和为S”，若邑=9，SQ=72,则&=()A.27B.33C.36D.45【分析】由题意利用等差数列的性质，求出$6的值.【解答】解：等差数列七的前项和为S.，若S3=9,S9=72,：.S寸-53,S96成等差数列，故2(SSJ=S3+SS6,BP2(S6-9)=9+72-56,求得6=33,故选：B.【例3-3(2020春运城期末)设等差

10、数列4满足：q=3,公差d(0,10),其前项和为S.若数列7?)也是等差数列，则9的最小值为()4+1A.3B.2C.5D.6【分析】由题意可得：252+l=51+1+S3+1,即27+d=2+J10+3d,公差d(0,10),解得d.可得勺.S.代入号色变形利用基本不等式的性质即可得出.4+1【解答】解：由题意可得：27S2+l=Sl+l+S3+l,即27+4=2+J10+3d,公差d(0,10),解得d=2.6=2+1.(3+2n+l)2.S1=n+2.“2yjSn+1=H+1.，数列邪市是等差数列，则=?W5=券I)?$+)+J(+)=2,当且仅当=1时取等号，an+12+225+l)

11、2w+1V+1的最小值为2.%+1故选：B.【跟踪训练31】(2020春上高县校级期末)设等差数列叫前项和为S“，等差数列前项和为7；,若2=迎上!,则&=()l2n-A.B.11C.12D.135【分析】借助于等差数列下标性质和求和公式，将项的比值化为和的比值，再把的值代入计算即可.【解答】解：5“，7；分别为等差数列%和2的前项和，且2=二1,n2-1S%+%J/%二+%.2/.205-.u加一+仇一7一2x5T-2故选：B【跟踪训练3-2】(2020春安徽期末)在等差数列/中，as=24,al6=8,则%=()A.-24B.-16C.-8D.0【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解

12、.【解答】解：由等差数列的性质可得，4=色匚3=-2,16-8则%=%+16=24-32=-8.故选：C【跟踪训练3-3】（2020春蚌埠期末）己知等差数列q的前项和为S”，等差数列也“的前项和为7；,若鼠=止1,则4二（）Tn+1a19d17厂3c7A.B.C-D一111025【分析】根据题意，分析可得且，又由等差数列的前项和公式和等差数列的性质可得当=：即可得答TqZ么案.【解答】解：根据题意，等差数列“和2中，若2=型二1,TnW+1则有务=C,Tg9+110（4+%）9又由a=2_（%+%）_马.TtfG+2）x9（A+）2h5b5故选：B.【跟踪训练3-4（2020春马鞍山期末）在数

13、列.中，若q=5-16,则此数列前项和的最小值为（）A.-11B.-17C.-18D.3【分析】令为=5-16,0,解得.进而可得此数列前项和的最小值为S,.【解答】解：令4=5-16,0,解得43+/则此数列前项和的最小值为S3=3x（-115-16）=_18故选：C.【跟踪训练3-5】（2020春沙坪坝区校级期末）已知等差数列?,其前项和为S.,若/+q=12,53=59,则S”的最大值为（）A.12B.24C.36D.48【分析】利用等差数列通项公式求出4=11，d=-2,求出等差数列的前项和，由此能求出S的最大值.【解答】解：.等差数列,，其前项和为S“，03+4=12,53=S9,4

14、+2a+al+3d=12.Sn=11/7+“ST，X(-2)=一(-6)2+36.2.z2=6时，S”取最大值36.故选：C.【跟踪训练36】(2020哈尔滨模拟)等差数列甩,的前项和分别为S.,7；,若竺=3,则邑=.5T9【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解.【解答】解：由/为等差数列可得原=4)=5,，同理可得工=9%，所以率=%=jx=:.故答案为：-3【跟踪训练3-7】(2020昆山市模拟)已知4和2均为等差数列，若a2+b7=6,a4+=9,则以+4的值是.【分析】由等差数列的性质，等差中项的特点可得，所求的两项的和用已知的项表示可得其结果.【解答】解：因为七和a均为

15、等差数列，+4=6,4=9,所以/+H+%+&=2(4+/0=2x9=18所以+4=186=12,故答案为：12.【名师指导】1 .等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列41中,*一斯=(l)do：=d(mn),其几何意义是点(，an)f(m,4”)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列3中，S为其前项和，则 2=w(i。2)=.=na,i+a”+1); S2-i=(2-1)斯；用是首项为公差为亨的等差数列.2 .求等差数列前项和SI及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前项和的函数表达式Sn=W?+加，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法三4后0,当00,*0时，满足的项数I使得S“取得最大值为Sm；w+00,当s0时，满足的项数m使得S”取得最小值为Sm.+0