专题跟踪检测(三十)解决极值点偏移问题的四大技法.docx
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1、专题跟踪检测(三十)解决极值点偏移问题的四大技法1 .已知函数y(x)=lnx+&aeR).(1)若。=1,求函数Kr)的单调区间;(2)若存在两个不等正实数项,M,满足凡v)=x2),且即+m=2,求实数的取值范围.jIx-1解:(1)当=l时,J(x)=nx-f定义域为(O,+),则/(力二1一犷=、?-,当OVxVl时,/(x)V0;当x时,/(x)0,函数Xx)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).(2)设X1X2O,由yU1)=yU2)得HnXl+;=HnX2+;,则Hn,*1422V42又 X2 = 2,xj_xj X_X2X2 X2 X设=U1,则2ln/=/一1
2、.令g)=r-2ln则g(Z)=且g(D=0.由题意可知,函数y=g(。在区间(1,+8)上有且只有一个零点,设函数y=g(f)的两个极值点分别为九,t2f则32=1,:gS=O在(1,+8)上有且只有一个实根,gr(1)=2-2l.综上,实数。的取值范围为(1,+).2. (2023南开中学校考模拟)已知函数於)=x-sin&)Hn.1,X=I为其极小值点.(1)求实数4的值;(2)若存在即X2,使得/I)=J(X2),求证:Xl+X22解:由已知得小)的定义域为(0,+),则,(X)=I京。SeX)(依题意得f,(1)=14=0,得=l.此时/(x)=l-3cos&)T,当0xl时,Oco
3、s(r)1,故F(x)0,贝力在(0,D内单调递减.当lx2时,去令冗,与CoSeJ,TW在(1,2)内单调递增,故外)在x=处取得极小值,符合题意.综上所述=1.(2)证明:由(1)知,/(x)=-sinfe)Inx,不妨设Ox1x2,当lx2显然成立;当02显然成立:当OalVI,0X2V2时,由(1)知人外在(0,1)内单调递减,因为存在汨WX2,使得式XD=大及),所以1X22,只要证XI2X2.因为1X22,所以O2-X2l.又儿)在(0,1)内单调递减,所以只要证)(2X2).又危D=V2),所以只要证Kr2)52一怒).设F(x)=x)-(2-x)(1x2),则Fa)=/(X)+
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