点共线线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理塞瓦定理的应用答案.doc

《点共线线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理塞瓦定理的应用答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点共线线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理塞瓦定理的应用答案.doc（8页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、-平面几何培训专题-点共线，线共点问题1. 点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。例2 如下图，菱形ABCD中，A=120，O为ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。例3 四边形ABCD接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE

2、和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。例4 以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。假设F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5 以ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。例6 设P为ABC一点，APBACB=APCABC。又设D，E分别是APB及APC的心。证明：AP，BD，CE交于一点。例7O1

3、与O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为O1，O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理1(塞瓦(Ceva)定理):设P，Q，R分别是ABC的BC，CA，AB边上的点。假设AP，BQ，CR相交于一点M，则。证 如图，由三角形面积的性质，有, , .以上三式相乘，得.定理2 (定理1的逆定理): 设P，Q，R分别是ABC的BC，CA，AB上的点。假设，则AP，BQ，CR交于一点。证 如图，设AP与BQ交于M，连CM，交

4、AB于R。由定理1有. 而，所以.于是R与R重合，故AP，BQ，CR交于一点。定理3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):一条不经过ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于P，Q，R，则证 如图，由三角形面积的性质，有, , .将以上三式相乘，得.定理4 (定理3的逆定理):设P，Q，R分别是ABC的三边BC，CA，AB或它们延长线上的3点。假设，则P，Q，R三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。例8 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC。证 如图，连接BD交AC于H

5、，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。对BCD用塞瓦定理，可得因为AH是BAD的角平分线，由角平分线定理知。代入式得因为CIAB，CJAD，则，。代入式得 .从而CI=CJ。又由于ACI=180BAC=180DAC=ACJ，所以ACIACJ，故IAC=JAC，即GAC=EAC.例9ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.例10 在直线l的一侧画一个半圆T，C，D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交l于B和A，半圆的圆心在线段BA上，E是

6、线段AC和BD的交点，F是l上的点，EF垂直l。求证：EF平分CFD。例11 如图，四边形ABCD接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长线交于F，P为圆上任意一点，PE，PF分别交圆于R，S. 假设对角线AC与BD相交于T. 求证：R，T，S三点共线。 先证两个引理。引理1:A1B1C1D1E1F1为圆接六边形，假设A1D1，B1E1，C1F1交于一点，则有.如图，设A1D1，B1E1，C1F1交于点O，根据圆接多边形的性质易知 OA1B1OE1D1，OB1C1OF1E1，OC1D1OA1F1，从而有， ， .将上面三式相乘即得，引理2：圆接六边形A1B1C1D1E1F1，假设满足则其

7、三条对角线A1D1，B1E1，C1F1交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例11之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD.由EBREPA，FDSFPA，知,.两式相乘，得. 又由ECREPD，FPDFAS，知，. 两式相乘，得由，得. 故. 对EAD应用梅涅劳斯定理，有由，得.由引理2知BD，RS，AC交于一点，所以R，T，S三点共线。练 习A组1. 由矩形ABCD的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线MQ和MP，向另两边延长线引垂线MR，MT。证明：PR与QT垂直，且它们的交点在矩形的一条对角线上。2. 在ABC的BC边上任取一点P，作PDAC，PEAB，PD，PE和

8、以AB，AC为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D，E。求证：D，A，E三点共线。3. 一个圆和等腰三角形ABC的两腰相切，切点是D，E，又和ABC的外接圆相切于F。求证：ABC的心G和D，E在一条直线上。4. 设四边形ABCD为等腰梯形，把ABC绕点C旋转*一角度变成ABC。证明：线段AD, BC和BC的中点在一条直线上。5. 四边形ABCD接于圆O，对角线AC与BD相交于P。设三角形ABP，BCP，CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1，O2，O3，O4。求证：OP，O1O3，O2O4三直线交于一点。6. 求证：过圆接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点。7. ABC为锐角三角

9、形，AH为BC边上的高，以AH为直径的圆分别交AB，AC于M，N；M，N与A不同。过A作直线lA垂直于MN。类似地作出直线lB与lC。证明：直线lA，lB，lC共点。8. 以ABC的边BC，CA，AB向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点。求证：直线AA1，BB1，CC1相交于一点。9. 过ABC的三边中点D，E，F向切圆引切线，设所引的切线分别与EF，FD，DE交于I，L，M。求证：I，L，M在一条直线上。B组10. 设A1，B1，C1是直线l1上的任意三点，A2，B2，C2是另一条直线l2上的任意三点，A1B2和B1A2交于L，A1C2和A2C1交于M，B1C2和B2C1交于N。求证：L，M，N三点共线。11. 在ABC，ABC中，连接AA，BB，CC，使这3条直线交于一点S。求证：AB与AB、BC与BC、CA与CA的交点F，D，E在同一条直线上(笛沙格定理)。12. 设圆接六边形ABCDEF的对边延长线相交于三点P，Q，R，则这三点在一条直线上(帕斯卡定理)。. z.