用导数求切线方程的四种类型.docx

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1、用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点Pao,%)及斜率，其求法为：设P(XO,%)是曲线y=(x)上的一点，那么以f的切点的切线方程为：y-y0=f,(X0)(X-X0)-假设曲线y=f()在点PCf(0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为X=X0.下面例析四种常见的类型及解法.类型一：切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数广(X),并代入点斜式方程即可.例1曲线=炉-3/+1在点(1,一1)处的切线方程为()A.y=3x-4B.y=-3x+2C.y=-4+3D.y=4x-5解：由f,(x

2、)=3x2-6x那么在点(1,-1)处斜率左=/(1)=-3,故所求的切线方程为y-(-l)=-3(x-l),即y=-3x+2,因而选B.类型二：斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例2与直线2-+4=0的平行的抛物线y=/的切线方程是().2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+=0D.2x-y-l=0解：设P(X0，%)为切点，那么切点的斜率为y1.气=2%=2.*.=1.由此得到切点(1.l).故切线方程为)，-l=2(x-l),W2x-y-l=0,应选D.评注:此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y=2x+h,代入y

3、=/,得x2-2x-b=0,又因为=(),得6=-1,应选D.类型三：过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.例3求过曲线y=x3-2%上的点。,-1)的切线方程.解：设想P(XO,先)为切点，那么切线的斜率为力Ed=3x；2.切线方程为y-%=(3/2_2)(x-0).y-(3-2x0)=(302-2)(x-0).又知切线过点把它代入上述方程,得-l-c一2%)=(3/2一2)(IT0).解得毛=1,或Ab=-g故所求切线方程为y_(l_2)=(32)(x_l),+,即x-y-2=0,或5x+4,-l=O.评注：可以发现直线5x+4

4、y-l=0并不以为切点，实际上是经过了点(1,-1)且以切点的直线.这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法.类型四：过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.例4求过点(20)且与曲线y=相切的直线方程.X解：设尸(如为)为切点，那么切线的斜率为yEb=-!7.XO.二切线方程为y-%7(x)即y-(x-j).oX0又切线过点(2,0),把它代入上述方程，得一1.=-4(2-%)XO解得=1,y0=1即x+y-2=0.评注：点(20)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它确实切位置，充分反映出待定切点法的高效性.例5函数y=f-3x,过点A(Ql6)作曲线y=(x)的切线，求此切线方程.解：曲线方程为y=F-3x,点A(Ql6)不在曲线上.设切点为MaO,%),那么点M的坐标满足为=/3-3%.因(Ai)=3(J-1),故切线的方程为yy0=3(X(JI)(X).点A(Oj6)在切线上，那么有16-(W-3%)=3(;联一1)(0-毛).化简得；=-8,解得x0=-2.所以，切点为M(-2-2),切线方程为9x-y+16=0.评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，假设点A在曲线上，化为类型一或类型三:假设点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点.