电动力学复习.docx

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1、第零章预备知识一矢量场论要求：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。重点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理和斯托克斯定理。难点：梯度、散度、旋度在柱坐标和球坐标中的表达式；高斯定理和斯托克斯定理；二阶微分运算和算符运算。主要内容方向导数：方向导数是标量函数双式)在一点处沿任意方向对距离的变化率。Iim包=Iim四止皿(1)o/o/梯度：在某点沿某一确定方向取得夕(工)在该点的最大方向导数。grad=7=n2n散度：矢量场,(幻在AV中单位体积的平均通量，或者平均发散量的极限。

2、打而divA=VA=IimvoV旋度：单位面积平均环流的极限。-找小小rotA=VA=Iim-n(4)oAS梯度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系C-.-=不+%而+e至柱坐标系C-.(6)球坐标系1.-.-1=er-+e+el6-rdrrrsin9散度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系1AOA.VA=-+-+eXdyeZ柱坐标系-11AAVA=(Mr)+一rdrrz球坐标系VA=(r)+-(sin)rorrsin。3，I1叫rsin旋度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系(10)柱坐标系短自司一d_d_d_VxA=xyzAA，（三）VxA=1一-gr了1一-e.rz4Az(12)球

3、坐标系高斯定理:斯托克斯定理:二阶微分运算:er-厂Sinee0rsin勺Arsinfi41rsin(sin%)VxA=11Ara/a、1.aM-esindraAr二=VAJVSVds=J(VA)dSrS笛卡儿坐标系(13)(14)(15)(P上/(PV(P=Z-HZ-H7-,、廿Sz(16)V2A=(V2Ax)ex(V2v)ev+(V2AJe2柱坐标系v7213/。、12u2uV-w=(r)+-+7rdrdrr22z2V2A=(V2A)rer+(V2A)+(V2A)2(17)球坐标系7218/2du、1d/.C3”、V-w=()+-(Slng)r2rrr2sin12u(18)r2sin21V

4、2A=(V2A)rr(V2A)0e0+(V2A)格林定理(西9杰=J(W/+VpV)du(定理I)g.Y、.西二W-()clv(定理11)(20)SV算符的运算(1)V(v)=oV.(Vxi)=O(3) N(w)=四9+四(4) V3)=0Vg+Vg(g)=(g+g(6)V.(i7)=.(Vi)-g.(VxJ)这里用到了常矢运算法那么作(法为=B(Wx,)=50xB)V(7)=(7V)+(V)g-(g.V)7-(V)7这里用到了常矢运算法那么：a(bc)=(ac)b-(ab)cV(g)=7(V)+(V)g+g(V)+(.V)7常用几个公式设r=x-x,=ex(%-x)+ey(y-y,)+e.(

5、z-z)第一章电磁现象的普遍规律要求：掌握电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系；了解麦克斯韦方程组建立的实验定律根底和过程；并理解介质的电磁性质方程和电磁场与带电物质之间能量守恒。重点：电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系。难点：麦克斯韦方程组建立的实验定律根底和过程；电磁场与带电物质之间能量守恒。主要内容电荷守恒定律：族出=一JPdrsuV/+2=0(2)t库仑定律:HOvlv2r安培定律:，2显x(0dX弓I)毕奥萨伐尔定律:I,dl,r法拉第电磁感应定律：昌疝=-瞪点洛仑兹力：户=R+Rn=q(E+vB)7=(E+vB)麦克斯韦方程组：真空中NE=P/Ao

6、(9)110)VxE=-aVB=Ov75EV=zw0-Edl=BdsS小加=o,J加=0,拒加=!JIlM=fScOcOBds=O介质中力=PfR丽vE=(11)tVB=OV?fjtADNXH=Jfrjtdi=-AJJ*ds。加=I,+Dds(12)l由sds=Qfa月本二o边界关系n(E2-E)=Oii(H2-Hl)=df(D2-bi)=f(B2-B1)=O(13)介质中电磁性质方程:D=EB=H(14)J=E能量密度：w=-(ED+HB)(15)2能流密度：S=EH(16)玻印廷定理：=1.v.5-X=-ff（17）dtl_tJRdtf意义：体积V内带电体的机械能的增加，等于从区域V的界面

7、S流进去的能量减去区域V内电磁场能量的增加第二章静电场要求：掌握电标势概念及其微分方程（泊松方程和亥姆霍兹方程）；理解掌握唯一性定理、别离变量法、镜像法；了解格林函数法、电多极矩法。重点：电标势概念及其微分方程，唯一性定理、别离变量法、镜像法、格林函数法、电多极矩法。难点：格林函数法、电多极矩法。主要内容电标势概念及其微分方程：概念丘=7（1）微分方程力夕二一旦2夕J=阂边界关系,2。夕13-=-cnsns唯一性定理：介质中：设区域/内给定自由电荷分布（1），在，的边界S上给定：（i）电势或无UD电势的法向导数穿|,那么/内的电场唯一地被确定。导体存在的情况：A类问题：区域/中电荷分布。（方,

8、及所有导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。B类问题：一区域/中电荷分布。（方,及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。那么/内的电场唯一地被确定。别离变量法:应用条件：自由电荷全聚集在边界上，也就是说:在要求解电场区域没有自由电荷（泊松方程转变为拉布拉斯方程）+边界条件。拉普拉斯方程v=o笛卡儿坐标系中拉普拉斯方程及其解r72*“w=T+T+T=ox2y2z2设火Xy,z)=X(x)Y(y)Z(z)(xiy,z)=(Acoskxx+A2sinkxx)(Blcoskyy+B2sinkyy)(C1cosk,z+C2sinkzz)(6)或：(x9y,z)=*)*/；(R=k；+k；)柱坐

9、标系中拉普拉斯方程及其解v7,1.1ob八(QsN-=(r)+-7-+-y=Ordrdrr22z2(rt,z)=iJzw(M+A2Nm(kr)1cos(z?)+B1sin(11)9C1cosh(tz)+C2Sinh(Az)其中4()=w=0T为伽马函数）（10JNm(kr)=CoS依;r)，（三）JF(Q)sin(znr)球坐标系中拉普拉斯方程及其解VV=-1-(r2)+-(sin6-)C11)r2drdrrSineae+r2sin【(r,e,)=Z(A”/+M)f(cosO)COSS)11,w+Z(C3+)郡(cos。)sin(m0)n,wD轴对称系统(r,)=Z(A+r)B(cosO)(1

10、3n=0r球对称系统0=A+C14)r例1：在均匀外电场片中置入一自由电荷体密度为巧的绝缘介质球，介质球的绝对介电常数为以写出该问题的定解条件。解：V21=-V22=O例2:如下图，电容率为的介质球置于均匀外电场瓦中，设球半径为R。，球外为真空，试用别离变量法求介质球内外的电势。_解：设球半径为尼。以球心为原点，以E。方向为极轴建立球坐标系。以%代表球外区域的电势，G代表球内区域的电势，外均满足拉普拉斯方程，通解为：=:由边界条件：Elfo=Eo,eIi=FRcosO=Fg(Cose)得：a=-E0,an=0f(n1)由边界条件：外IR=O为有限，得d“=0在R=Ro处，=?,ifiIdR=2

11、/R将(1)(2)代入，并比拟Pn的系数，得：.一:。EOE，CI=一一Eo,bn=cn=0,(z1)+2分+2%由此，x=-E.Rcos+20R镜像法应用条件：在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规那么（电场能用等效电荷代替）+边界条件。主要是单导体平面，导体球面等。对于两个导体平面构成的劈形满足像电荷数为（2）-l,并且只有2=偶数才能用镜像法求解，其中为两导体平面间夹角。例3:一个内外半径分别为凡和的接地空心导体球,在球内离球心为（飞）处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。解：假设可以用球外一个假想电荷e代替球内外表上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球

12、接地，球外外表电量为零，由对称性，2应在球心与。的连线上。考虑球内外表上任一点P,边界条件要求:QR+QR,=O（1）式中R为Q到P的距离，R为。到P的距离，因此，对球面上任一点，应有：R/R=-Q/Q=常数只要选择。的位置，使AOQ/AOPQ,那么RR=RJa=常数（3）设Q距球心为b,那么b/用=RJa,即b=由23两式得：Q=_Roa导体球壳接地，电势为Oo|y从球壳外外表到无穷远都没有电荷,所以球壳外电a势为0。卜Qb例4：有一点电荷Q位于两个相互垂直的接地导体平面所围成的直角空间内(如下图)，它到两个平面的距离分别为a和b,求空间的电势。解：像电荷选取如下图，空间任一点P的电势为：1

13、=-4%Q-Qy(x-a)2(y-Z?)2z2y(x+c)2+z2y(x+a)2+(y+b)2+z2y(x-a)2+(y+b)2+z2格林函数法应用条件：给定区域-d+6ff)Eq1_2cos。sin。豆-sin(6+6)与I=tg(6-夕)(0)Ealtg(，+。)导电介质中电磁波传播自由电荷分布(因J=EfV+=0,VD=p)t迦+Sp=O(11)tPs=POeJ(12)良导体条件1,良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布在导体外表上。亥姆霍兹方程V2E+k2E=0(13)2H+k2H=0(14)复介电常数。它的实部代表位移电流的奉献，不产生能量损耗，虚部代表传导电流的奉献，能产生(引起

14、)能量损耗。复波数E=/+/(15)穿透深度S=1.=,户(16)aVa导体中功率损耗p=g(j.后*)=g殂2m(17)波导中电磁波矩形波导中电磁波波动方程(18)V2E+k2E=0-达朗伯方程c2t212A库仑标准的优点是：它的标势。描述库仑作用，可直接由电荷分布求出，它的矢势久只与横场分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。洛仑兹标准的优点是：鼠(从而良B)都以波的形式存在。电荷产生标势波动，电流产生矢势波动，两式不再联立。标势。和矢势,构成的势方程具有对称性，物理意义特别明显。矢势Z和标势。的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性。推迟势推迟势意

15、义：空间任一点/时刻的势，是源区”器时刻的电荷电流分布激发的。它说明了电磁作用是以有限速度U=C向外传播的，它不是瞬时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波，而电磁波以速度c=-r=脱离电荷、MO%电流向外传播。电偶极辐射A(x)=-J(xf)dV,(7)4rRJP=Jjld,=Jjd,(8)VV月二=Je力方Isin(O)可辐射场:E=-石屋，方ISin逐4在c?平均能流密度(0=wsi112厌UO)32%C辐射角分布f()=-lr1sin2(11)32;T&C辐射功率=_1.耳(12)4您O3c3磁偶极矩辐射相(X)=华1菽玩(13)而=%i(14)电磁场%偶极=-(H)(15).JkR

16、&偶极=4(扇xx存(16)平均能流密度啸翳S山.(17)辐射功率P=R普12(18)电四极矩辐射ZG)=24在ORCU9)B=电磁场24加ORC4JkRDn(20)-0-AAE=-(Dn)Xh24加ORCK平均能流密度4您O288麻次2DH2(21)第六章狭义相对论要求：掌握伽利略变换和旧的时空理论;理解两个原理和狭义相对论的根本变换一洛仑兹变换；了解相对论时空观中的一些性质；熟悉相对论时空观下的力学根本规律和电动力学根本规律。重点：两个原理和狭义相对论的根本变换洛仑兹变换；相对论时空观下的力学根本规律和电动力学根本规律。难点：相对论时空观下的力学根本规律和电动力学根本规律。主要内容伽利略变

17、换,=X-Vt两根本个原理相对性原理一切物理规律，无论是力学的，还是电磁学的，对于所有惯性系都具有相同的数学形式。光速不变原理在所有惯性系中，真空中的光速在任何方向上都恒为C，并与光源的运动无关。间隔不变性S,2=S2或dS2=dS?-/）一（芯-X）2-（另一）2一（z；-Zfl）2=C2（t2-ty-（x2-X1）2一（必一y）（z21zi）2洛仑兹变换相对论时空中的一些特殊性质运动尺缩短=U时钟延缓效应4=7三速度变换公式一处严Xdt,a(IT)3C一处ydt,(1一歹)/VUy=(v+2(l-2cvuCJ=也2dt,二(l-2C-VUxC2加速度变换公式?)相对论力学矢量V=.i=1,

18、2,310张量T=aikajlTkl,i,j,k,l=1,2,3(11)对于质点力学的速度、动量等表示可以借助于上面的矢量的变换表示。质能关系T=书立-叫一12W2=p2c2+my13电磁规律的相对理论四维电流密度矢量/、Jxr/0Oiy(jx)j,y010014Z0010、-枢y00,JC0四维势矢量电磁场张量麦克斯韦方程组jx=(j7p)yXAA=AA115)V-2C0B2.C-B30B、-E.CB2叫0Cc-E2C汰C0/=(-vAx)1718空+以+也=Oxxxv(19)电磁场量间变换E*=ExE；=y(Ey-vB)区=八纥+%.)Bl=BX4=(4+gW)20VBfz=r(Bz-Ey)(21)以速度U相对于地面S运行，车厢的后壁以速度多普勒效应6=7以1-上CoSe)例6：静止长度为/。的车厢,。(相对于回车箱)向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系S,车厢为参考系S,于是相对于地面参考系S车长为I=0l-v2c2,车速为球相对天于地的速度为所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁所走过的距离为所以将（1）（2）代入（3）得：加=吗+，廿/。2）IIMI-V2/c2例7:一火箭在实验室坐标系中以这样的速度运动，使系测得它的长度为即：竺=2原长的一半。求火箭相对于实验室坐标系的速度。解：因=0-1-3=c2得：U=C