压轴题03不等式压轴题13题型汇总 （教师版）.docx

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1、压轴题03不等式压轴题十三大题型汇总压轴题解读命题预测本专题考查类型主要涉及点等式与基本不等式的内容，其中涉及了基本不等式与三角函数，正余弦定理，解析几何，集合，函数等内容的结合。预计2024年后命题会在上述几个方面进行，尤其是多圆不等式的考查。高频考法题型01多元不等式最值、取值范围问题题型02基本不等式提升题型03基本不等式与三角函数结合题型04基本不等式与解析几何结合题型05基本不等式与向量结合题型06基本不等式新考点题型07基本不等式与正余弦定理结合题型08指对函数与不等式题型09基本不等式与立体几何结合题型10基本不等式与集合、函数新定义题型11不等式与数列结合题型12基本不等式与函

2、数结合题型13不等式新考点高分必抢题型01多元不等式最值、取值范围问题利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及1的代换等应用技巧.1.（2024贵州三模）以maxM（minM）表示数集M中最大（小粕数设0,0,c0,已知a?。+b2c=lt则minmax焉且=-【答案】V2【分析】由a?。+Z,2c=1,得M+=设max,3,R=M,则M,再结合基本不等式求解即clCJabc可.【详解】由2c+b2c=,得小+川二工，设max化1.4=M,则MMJ,M2=。2+产2必，labCjabc由3M=2MM+M2+2b=+=+2N3,焉得2ab=3短,当

3、且仅当=b=c=专时，取等号，所以m110；,就=V2.故答案为：V2.【点睛】关键点点睛：设max星=M,由已知得出M1=a2+b22ab,进而得出3M2*.盍+2泌是解决本题的关键.2.（2022浙江嘉兴模拟预测）已知正数Q,b满足Q+b=llceRl则。+-+3c2的最小值bc+babc+ab为.【答案】623/-3+62【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由Q+b=1,得a?+2ab+b2=l,a0,b0l则赢+3=&空+=）+犷=六弓+2）+3c岛+3（c2+1）-362-3,当且仅当b=2a4=3（c2+1）时取=，所以当Q=：

4、,6=,。2=或一1时，3：+；+3c2的最小值为6-3.33bc+babc+ab故答案为：623【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数,以及1的代换等应用技巧.3.（多选）（2024浙江二模）已知正实数Qlb,c,且bc,x,y,z为自然数，则满足7+-+0恒成立的,y,z可以是（）A.x=l,y=lfz=4B.x=l,y=2fz=5C.x=2,y=2,z=7D.x=lly=3,z=9【答案】BC【分析】利用基本不等式T的妙用得到W+空鲜，进而得到只需（百+y）2Z即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足-+-O,只需满足白；

5、Ia-bb-cc-a-bb-ca-c其中正实数Q,b,c,且Qbc,%,y,Z为正数，X+y=(-b)+S-c)(X+y)abbcacabbc=,+S-C)X+(。b)y+ya-c(b)(a-C)(ac)(c)a-cXy(b-C)X(a-b)yaca-cJ(a-b)(a-c)(a-c)(b-c)=lyl2后_(4+2a-ca-ca-ca-c,当且仅当房藕=(三S，即(b一c)2=3一b)2y时，等号成立，观察各选项，故只需咛鸟三,故只需（4+5D2Z即可，A选项，X=1,y=l,z=4时，(I+T)2=4,A错误;B选项,x=lly=2,z=5时f(1+2)2=3+225,B正确；C选项,x=

6、2,y=2,z=7时r(2+2)=87,C正确；D选项，=1,旷=3,2=9时，(71+3)2=4+230,b0,则mina,强+3耳的最大值为.【答案】2【分析】分a是否大于:进行讨论，由此即可简化表达式，若Q,则可以得到mina（+3b2,并且存在=2,b=1使得min,+3b=2,同理加，我们可以证明min,强+3bV2,由此即可得解.【详解】若,贝!JQb：,贝Uab1,此时min,/3+3b=min(38,因为：G+3b)=吃+3V4,所以争F+3b中至少有一个小于2,所以min,+3b(x2+xz)+(xy+yz)+(x+z)=6,RPx(%+z)+y(x+z)+(x+z)=6=(

7、x+y+l)(x+z)=6=x+z=JG,63x+2yz=2(xy)+(x+z)=2(Xy)+旷+j=2(x+y+D+f-22j2(%+y+l)E-2=46-2,当且仅当2(%y+1)=热M,即+y=百-1,此时+z=23,所以3x2y+Z的最小值为45-2.故答案为：4百-2题型02基本不等式提升在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是一正一各项均为正;二定积或和为定值；三相等一等号能否取得，若忽略了某个条件，就会出现错误.6. (2024全国模拟预测)若实数a,bzc满足条件：e+c+efc-c=2e2(-1),则前上的最大值是一【答案】f【分析】由基本不等式可得d-2Q

8、-1.利用导数证明不等式ex+l,进而e2-l,Jjyefl-2=a-lt解出a、b=c,得=言，再次利用基本不等式计算即可求解.【详解】由基本不等式，得2e2(-1)=ea-b+c+ea+b-c2ed+cea+b-c=2ea,即所-20=X0,所以函数f(x)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增，所以f(x)min=/(0)=0/则/(x)0,BPeXx+l,令X=Q-2,得e。-2-2+l=-1,所以e。-2=Q1,解得Q=2,由Qb+c=a-b-C1得b=c.所以/*=总=心工*=，当且仅当b=底时，取得等号故贵的最大喑故答案为：弓7. (2024全国模拟预测)已知0,y0

9、a%+y=l,则+七的最小值为()1R-r1n-M,50-5U*5U-5【答案】B【分析】由基本不等式和X+y=1可得0V盯；,化简可得/7+72=管令*=3-2xy,利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.【详解】因为第+y=l,所以X+y=l2后,当且仅当=y=胡寸等号成立，所以00,b0与+b=1互为充要条件，则?+黄和?+H号”的最小值之和为.【答案】23【分析】根据+b=1配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即可求解.【详解】1+=+=i+i+2=5,ababab7ab当且仅当2=F,即Q=时取等号；ab33118+48_(+b)(+b)8(+些a+b+a2+b2ab

10、+2+b2ab+a2+b2=2+zyXz/y/yX十/Z,y4y2+2,再根据取等号的条件可得；夸=7判断出油范围进而判断得三的范围,可得g2f/yyX+zz+xy/y可得所求最小值.【详解】3+2三2+(x)3x三+x12z+.x+22/I+1.x+2=V2+|+2,x+2zyx+2z2yx+2z2y2y22y2y当且仅当号=詈，即2y2=(+2z)2时取=,此时;=x+2z=i,*e4,+),z(0,1,-W(O,%.V乌=警，.产,X4Jy+32y.JC222,此时X=4fy=32,z=1.故答案为：2+22【点睛】求解本题的关键是将原式变形为氏+詈+H+2,根据基本不等式求最值氏+詈+

11、表：+22+2f由取等号的条件，化简得=,从而求解的范围.ZyyXaVzz+y10. (2023天津武清模拟预测)已知O,bO,c0,blog42+4clog162=q,则竺J+TT最小4C*A值为【答案】6【分析】利用对数运算找出b,c的关系，利用导数求出誉的最小值，再利用基本不等式即可求出最值.【详解】由blog42+4clog162=9，log42=；,log162=g,/O胡力+4cx1=4,所以b+c=6,即b=-c,因为b0,c0,所以0c6c-c+6c令y=OC0,y为增函数；所以C=F时，y取最小值3,即詈=-1+拳2.因为Q0,所以竺产+T7=be+lcz+2,8、C,8a1

12、2a-be+l+l因为20+言=29+1)+捻-222129+1)左-2=6,当且仅当m=2,且2(q+1)=言，即c=?/=竿，a=l时等号成立;故竺J+W的最小值为&bea+1故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是利用对数的运算性质求出AC的关系；二是利用导数求出誉的范围；三是利用放缩法及基本不等式求出最小值.题型03基本不等式与三角函数结合据三角恒等变换结合基本不等式求最值需要注意去等条件是否满足，去等条件不满足时，也可以通过对勾函数进行求解11. (2023山西模拟预测)已知a,/?,y均是锐角，设SinaCOS0+sin/?CoSy+Sinycosa的最大值为t

13、an。，则Sine(Sine+cos。)=()A.5BWC.lD【答案】B【分析】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得tan。=I,然后由sin（sine+CoSe）=喘等求解即可【详解】由基本不等式可得SinaCOS0SiMa产,sin/?cosX四竽立，SinyCoSaSiMTa,三式相加，可得SinaCOs?+sin7cosy+SinyCoSa0,tan0,即m0,所以而+赤=2sifc。支+三冠sin2+cos2ysin2+cos2当且仅当16m=即in=tan=次寸等号成立，故2+高的最小值为16.mz2SlnAsine故选：B14. (23-24高三上重庆阶段练习)若+夕-Si

14、ny=0,则府+邪-两的最大值为【答案】2【分析】借助基本不等式有G+邪2(+0)=必而消去明,对必而-n可求最大值即可,再应用三角函数的单调性即可得.【详解】由题意得：0Q+0=siny1,a0,0,贝U(G+yf)2=a+2yaa+a+=2(+0),当且仅当a=0时等号成立，即S+邪2(+?)=2siny,即S+耶一即OSyyj2sn-cosy,则有诡:案1.则2y*+2%,y有Siny在2k11/+2k11单调递增,COSy在2k11,1+2k11上单调递减，故J2siny-cosy在2k11,+2k11上单调递增,则当y=T+2kn时，即Siny=1、cosy=0时，2siny-衣两有

15、最大值I,即5+邪-衣两的最大值为故答案为：2.【点睛】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将明夕消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.15. （22-23高三上江苏阶段练习）三PAB中,PA=PB,点C,0分别在PB,P4边上.（1）若乙4PB=CO=1,求PCO面积的最大值；设四边形ABCD的外接圆半径为R,若乙APBpr）,且4BBCCDZM的最大值为T,求R的值.【答案】Q呼四【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PCPD的最大值为1,再利用面积公式即可求解；（2）由四边形4BC0存在夕卜接圆，知四边形ABCO为等腰梯形，连接AC,设N

16、CBA=,CAB=X,利用正弦定理，表示A8,BC,CD,进而利用基本不等式求解.【详解】（1）由已知NOPC=APB=W,PCO中，利用余弦定理知1=CD2=PC2+PD2-2PCPDcosPDC,结合基本不等式有12PCPD-2PCPOCos；=PCPD,当且仅当PC=PD=I时，等号成立，即PCPD的最大值为1,C11133S“cd=TjPCPsinw=PCPD2344所以PC。面积的最大值为日4(2)四边形ABC。存在外接圆，.DAB+乙DCB=11又P4=PB,4DAB=CBA,二CBA+ADCB=Tr,.AB/CD,所以四边形A8C0为等腰梯形，连接AC,设乙CBA=,AB=X,在

17、BAC中，由正弦定理得，=普=2R,sn(11-x-)Slnx,BC=2Rsinx,AB=2Rsin(rx)=2Rsin(8+x)同理，在乙ACD中，由正弦定理得，CD=2Rsin(0-x),所U1.48BCCD-DA=16R4sin2xsin(0X)SiMe+x)=16R4sin2x(sin20cos2xcos20sin2x)=16R4sin2xsin20(l-sin2x)-cos20sin2x=16R4sin2x(sin20sin2x) 乙APBp7r),.O%,.OPA8的外接圆面积分别为与湿,则1的最小值为()s2A.-B.-C.-D.11644【答案】A【分析】容易知道M-kp=l设

18、直线P/1的方程为：y=小+2),则直线PB的方程为：y=2(-2),求出M,N两点坐标，则IMNl=3k+3设2PMNAP43的外接圆的半径分别为q，由正弦定理得2G二上1.=J三1.2=些!_可知口=受吱再利用基本不等式即可求值.SinzMPJVsinAPBZsinAPBr24T【详解】由已知得，A(-2,0),8(2,0),由双曲线的对称性,不妨设P(%,y)在第一象限，所以G=M，小=土，所以=ME=君=叁W，设直线P4的方程为：y=+2),k0,则直线PB的方程为：y=-2),同时令=1,则y5f=3k,Yn=-3所以IMNl=3k+2,k0,4k设PMN4P48的外接圆的半径分别为

19、，r2,由正弦定理得，2ri=IABlsin.APBM_Msin，MPNsnAPB所以n=吧川AB当且仅当3k=T即Zc=9时取等号,故选：A【点睛】结论点睛：若人8分别为双曲线的左、右顶点，P为双曲线上一动点，则直线PA与直线PB的斜率之积为定值.18. （2024陕西安康模拟预测）如图,双曲线C:三-=l（0,0）的右焦点为F,点A在。的渐近线上，点A关于X轴的对称点为B,次AF=0（。为坐标原点），记四边形OAFB的面积为S1，四边形OAFB的外接圆M的面积为S2,则F的最大值为，此时双曲线的离心率为*【答案】三2【分析】利用点到直线的距离公式可得点F(c,O)到渐近线的距离为b,可得|

20、。川=,可得S1,S2,利用基本不等式求F的最大值，进而可得离心率.s2【详解】由题意可知：F(c,0),渐近线OAy=,BPbx-ay=O,则点F(c,O)到渐近线OA的距离为d=4=b,因为耐AF=Q,可知。A1AF,则IAFl=c,可得I。川=0F2AF2=a,则SI=2S&oaf=2ab=ah,由题意可知：四边形OAFB的外接圆M即为以OF为直径的圆，则上=11针=苧，rz三Sab22ab-2a2+b22C22可行W=运=/=，4当且仅当=b时，等号成立，可知抻最大值为/此时双曲线的离心率为e=；=店=Jl+C?=2.故答案为：19. (2023上海崇明一模)已知正实数a,b,Gd满足

21、M一+1=0,/+d2=1,则当(-c)2+(b-d)2取得最小值时,ab=【答案】y+1【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可.【详解】设点(Q,b)与点(Cd)之间的距离为,则“=(Q-c)?+S-dp,易知(-c)2+S-d/的几何意义是点(a,b)与点(c,d)之间的距离的平方，点(c,d)在以(0,0)为圆心，半径为1的圆上,.a2-ab+l=0lb=a+-,设点(,匕)与点(0,0)之间的距离为m,则M=+炉二2+(+=2?+5+2,故112=202+2+22j22+2=22+2,当且仅当Q=1时取等，此时m取得最小值,由点

22、与圆的位置关系得mrnin-1=tmin,此时劭=(=2+1r代入Q=,导，Qb=/+1=4+1.故答案为：苧+1【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于a的取值.再利用点与圆的位置关系确定此时(a-C)?+(b-d)?也取得最小值，然后将a代入目标式，得到所要求的结果即可.20. (2024全国模拟预测)我们将离心率相等的所有椭圆称为一簇椭圆系”.已知椭圆邑9+y2=1的左、右顶点分别为4B,上顶点为。.(1)若椭圆Q=+?=1与椭圆E在一簇椭圆系中，求常数S的值；(2)设椭圆G:9+/=4(0入1),过力作斜率为七的直线Zl与椭圆G有且只有一个公共点,过。作斜

23、率为七的直线G与椭圆G有且只有一个公共点，求当入为何值时，IkIl+|心1取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆从+?=12)与椭圆在一簇椭圆系中椭圆H上的任意一点记为。(而,小)求证:力BC的垂心M必在椭圆E上.【答案】Q)s=4或1(2)当A=泄，同+隹I取得最小值(3)证明见解析【分析】(1)计算椭圆尸离心率的等量关系，求解即可.(2)联立直线与椭圆方程，可得出伙JIk2与2的关系,结合不等式可求出最小值；(3)先由一簇椭圆系”定义计算椭圆H的方程，再根据垂心的性质计算垂心M与点C坐标的关系，代入点C满足的椭圆方程，即可证明.【详解】(1)因为椭圆E的离心率e=当，故由条件得，当s2时，

24、等=乎，解得s=4；当OsV2时，,解得S=1.综上，s=4或1.(2)易得4(-,0),D(U),所以直线，i12的方程分别为y=自(工+V2)/y=k21,(y=c1(x+2)由三，得(1+2kl)x2+42c,x+4kj-2=0,7y又直线与椭圆G相切，则AI=0,X0l,SPk1=Jg,y=k2x+1二,21，得(1+2超)/+4七%+2-24=0,-+y-又直线%与椭圆G相切，则a=0，又OBl0,且五林口五O族都在集合Z,0V几4中，则G3+G。B=（）A.1B.C.1或;D.1或:【答案】D2【分析】根据同Ib0彳（到I团2+Ibl2间闷，再利用题设中的定义及向量夹角的范围,得到

25、aebt再结合条件，即可求出结果.【详解】因为SZ,0Vn4=S,Hl,设向量薄丽的夹角为。,因为SO,所以同2+s22dbfdbab同网COS6bcos_COSfl2+b220又80,11,所以等又d瓶集合InZ,OVn4中，所以等；,即COSe得到a5=j,又因为G=p=日产=招COSeCoSeI,所以GQb=1或1,IblbPl24所以dB+d。B=1或:,故选：D.22. （2022浙江杭州模拟预测）已知单位向量G,向量疝=1,2）,满足（-bi=ebll且XK+y=e,其中X+y=1,当瓦一瓦I取到最小时,K瓦=.【答案】O【分析】由平面向量的数量积的运算律、结合基本不等式求解【详解

26、】由题意得（X瓦+y）e=ee=l,故工瓦e+ybe=1,又Xbl+yb2=e,x+y=ll故x（瓦-b2）=e-b2lxh1-b2e-b2eb2l同理得IyI而一引=归一6I=/瓦故Xlyl面一同+yxK-El=（xy+yx）Kl=1，显然x,yO,故XIyI+yx=2xy史F=J当且仅当X=y=时等号成立,此时Ibl-M取到最小值2,4+B=23,得（瓦+）2=（瓦一石）2+4瓦*=4,得瓦.工=0.故答案为：023. （23-24高三下天津和平开学考试）三ABC中，M是边BC的中点,N是线段BM的中点设布=a,AC=b,记前=md+nb则m-n=若乙4=，4BC的面积为国则当|近I=时，

27、AM而取得最小值.【答案】0.5【分析】利用平面向量基本定理得到丽二+：另，得到m=求出m-n；由三角形面积公式得4444至必8-AC=43,结合宿=AB+:正和平面向量数量积公式，基本不等式得到德前的最小值，此时AB=2,1C=23,由余弦定理得到BC=2.【详解】由题意得通=AB-BN=AB+BC=AB+(AC-AB)=-AB+-AC=-a+-b,4444故m=r=J故=A故48AC=43,故询an=Qab+c)G而河)=ab2+abac+ac2=11A|2+BI研版IcOSN51祠2=孤2+和84C+心3,1,3,1,=-AS2+-AC2+32I-AB2-AC2+3OO.OOABAC+3

28、=6,当且仅当=1AC2,即/18=2tAC=2旧时，等号成立,OO此时BO?=AB2+AC2-2AB/ICcos?=AB2+AC2-aABACO=AB2+AC2-12=4+12-12=4,故BC=2.故答案为：224. （2022浙江模拟预测）已知3为单位向量lae=ll2022b=+2021f当Va,b取到最大值时,忻一句等于()A.2022B.C.2021D.驾20222021【答案】A【分析】根据向量运算，由米勒最大角定理分析运算可得结果，或者直接建立坐标系，利用坐标结合基本不等式计算可得结果.【详解】根据题意：B与E、/1共线，点创立于的2022等分点处(靠近E点)解法一:欲使最大，

29、根据“米勒最大角定理”，此时以48为弦圆与OE相切，根据切割弦定理.OE2=EAEB=EA康E4=1,故H-e=EA=2022.解法二：设E(l,O),A(l,),则8(1,/Q),有Vafb=AOBa20212021tanAOB=tan(AOE乙BOE)=?暇=1202三2-,1+g_1.nI1202220222y-当且仅当Q=限时成立.故选:A25. (2023黑龙江哈尔滨一模)如图,椭圆5+V=l(b0)与双曲线捻-M=IGn0,n0)有公共焦点F(-c,O),F2(GO)(OO),椭圆的离心率为之,双曲线的离心率为,点P为两曲线的一个公共点，且乙APFz=60。，则城+强=；/为PF2

30、的内心，B,/,G三点共线，且而/P=O1X轴上点4B满足用=ip,前=GP,则下+2的最小值为.【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质,结合图形建立方程，求出IPFJlPF2,在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由/为的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出Ial=及同=e2,代入万+川中利用基本不等式求最值即可.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为F2=2c,椭圆的长轴长为20,双曲线的实轴长为2n,不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF1-IPF2I=2ml由椭圆的定义：IPFIl+PF2=2al可得：PF1=m+a,PF2=a-m,又

31、乙FPF?=60,由余弦定理得：IPF1I2+IPF2I2-PF1IPF2I=FF22=4c2,即(m+a)2+(m)2(m+a)(a-m)=4c2,整理得:a.2+3m2=4c2,所以+等=4=3+4；/为AFiPFz的内心，所以明为班七的角平分线，则有缁喟，同理渭嘲，所以”!=啰=咧，EKAmFllMF2IAl,所1喘=翟牌噎嗦即IWPl,因为汨=lp,所以同=P,故I川=e1,/为FIPF2的内心，&/,G三点共线，即&G为乙PF/的角平分线，则有黑=需=霜，又伊尸21F1fI尸3I尸rr1所喘=三=Q-即国Iil研，因为而=GP,所以I而I=GP,故以=e2,ffl2+2=ef+ef=j(ef+ef)(+)=K13+Jz(42JyI)=1T-当且仅当等=。2=Kel时，等号成立，所以T+2的最小值为1+9，故答案为：4,1+冬【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道,c利用公式求解即可；(2