特色题型专练01 尺规作图（解析版）（江苏专用）.docx

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1、中考特色题型专练之尺规作图几何篇题型一、与三角形结合1 .在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边.A8C中，点。是AB边上任意一点，连接C。，过点A的射线AE交BC于点E,交CD于点F,当N8S=NACD时，则必有BD=CE.为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作/BAE=NACZ),再通过证全等得出结论.请根据小睿的思路完成以下作图与填空：D(1)用直尺和圆规在图的基础上作NBAE=NA8,AE交BC于点E,交8于点F.(不写作法，不下结论，只保留作图痕迹)(2)证明：qABC为等边三角形，AC=AB=SC,在Aa)和AE中，NCAB=NB,()，ZACo=NBAE

2、ACCBAE(ASA),/.,又,：AB=BC工AB-AD=，/.BD=CE.【答案】(1)见解析；(2)等边三角形的性质，AC=AB,AD=BE,BC-BE.【分析】本题考查了作图一基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.(1)根据题意作出图形即可；(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.【详解】(1解：如图所示，-BAE即为所作的角；(2)证明：/8C为等边三角形，AC=AB=BC(等边三角形的性质)，在AAef)和AE中，NCAB=NBAC=AB,ZACd=ZBAE：.ACEBAE(ASA),：AD=BE,又,

3、AB=BC,JAB-AD=BC-BE,：,BD=CEf故答案为：等边三角形的性质，AC=BfAD=BE,BC-BE.2 .如图，在RtZABC中，ZC=90o,ZA=30,.(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点Q,交A8于点E再连接8。(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)在(1)题的基础上，求证：CD=DE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.(I)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；(2)直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出CD=D从ZCTA=90-30=60又OE

4、垂直平分48：AD=DB：.No班=ZA=30。：ZCBD=ZDBA=30qVZC=90o,DEAB：CD=DE3.如图，在二ABC中，AB=AC,点。在BC的延长线上，连接AO.(1)在线段40上确定点尸，使得NaT)=N8；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，如果AB=5,AD=8,求FA的长.【答案】(1)见解析25(2)AP=-O【分析】本题考查了作图一复杂作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.(1)在AC右侧作NAcT=ND,CT交Ao于点尸，点P即为所求；(2)利用相似三角形的性质求解即可.【详解】

5、(1)解：如图，点P即为所求：由作图可得：ZACT=ZD,ZD+ZCPDZPCD=180o,ZACP+ZACB+ZPCD=180,.ZACB=ZCFfD,AB=AC,.ZACB=ZB,:.NC尸D=NB;(2)解：CAP=CAD,NACP=ND,.CAPDACf.ac.pADAC,AB=AC=5f4)=8,二Y4.(1)如图，已知RtZVlBC中，NAC8=90。,O是AB上一点.求作一。，使得OO过点A,且与BC相切.要求：用直尺和圆规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明.（2）如图，在RtZA8C中，NAeB=90。,NCBA=30。,AC=1,。是边AB上一点（点0与点A不重合）.若在

6、RtAABC的直角边上存在不同的点分别和点A、。构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的40的长的取值范围.【答案】（1）图见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意，确定圆心。的位置，再以OA为半径画圆即可；（2）当以Ao为直径的圆与5C相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可.【详解】解：（I）作/B4C的角平分线，交BC于点M,过点M作OMJ.BC,交AB于点0,以。为圆心，以。4为半径画圆，。即为所求，如图：（2）当以AO为直径的圆与BC相切时：如图VZACB=90。,NcBA=30o,AC=I,：,AB=2,设。的半径为，则：OA=OD=OM=r,：OfBC,ZB=3

7、0o,：,OBOM=2r,.*.2r+r=2否，4AD=2r=-34当存在1个点时，此时BC与。O相离，0AOV或以。两点重合，AD=2,4当存在3个点时，此时BC与。相交，-AD2,则82(8+5)2=5282,解得。=巳即可得到答案.【详解】(1如图所示即为所求,：,AE=BE,AD=BD,：BD=BE,.,.AE=BE=AD=BD=5,四边形4)8E是菱形，设A8与DE的交点为F,.*.ABJ_DE,DF=EF,AF=BF,3在R1.AF中，AE=5sinZEAB=-,3EF=-AE=3,*BF=AF=VAJE2EF2=5232=4DF=EF=3：AB=AF+BF=S,在RtZABC和R

8、t2ACQ中，由勾股定理得到，AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,：.82-(CD+5)2=52-CD2,解得CO=1,732/.CB=CD+BD=-+5=-f55即C8的长为弓.【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、线段垂直平分线的作图、勾股定理、解直角三角形等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键.3.如图，已知tiABC.(I)请用无刻度的直尺和圆规在边8C、。Um上分别确定点D瓦/，使四边形8DE尸是菱形，并画出菱形BDEF(要求：不写作法，保留作图痕迹)(2)若AB=IO,8C=15,求(1)中所作菱形8。灯的边长.【答案】见解析(2)边长为6【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质

9、与判定，角平分线，线段的垂直平分线以及相似三角形的判定与性质等知识.(1)作/48C的角平分线交AC于点E,作线段BE的垂直平分线交ABF点F,交BC于点D,连接EF,ED,四边形BDM即为所求.(2)根据菱形性质可得NA庄=NA8C,进一步证明ZXAFEsa8C得二=0，代入相关数据可得结论.AdBC【详解】(I)解：如图所示，菱形BDE厂为所求.(2)解：:四边形BDE尸是菱形，BF=EF,EF/BD,：AFEABC,.AFEF*ABBC,设在=X,则AF=Io-X,.10-x_%fei,zfeiA-j-，解彳J=6，J(1)中所作菱形5。EF的边长为6.4.如图1,在矩形A8C。中，A8

10、=3,BC=5,点P是边BC上的一个动点，连接AP,点。是CO边上的图1番用图(1)在图I中作出点Q(要求：尺规作图，保留作图痕迹并用黑笔描黑加粗，不写作法)当BP=I时，则CQ=(3)随着点尸的运动，。是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析呜25(3)CQ存在最大值为1【分析】(1)过点P作PQ1.AP,交CO于点Q,即点。为所求;(2)通过证明可得益=答，即可求解；(3)由相似三角形的性质可得花=晋，由二次函数的性质可求解.【详解】(1)如图，点。为所求点;(2) Y四边形ABC。是矩形,/.=NC=90o,/APPQt：.ZAPQ=ZB=ZC=

11、90,.ZAPB+ZCPQ=90=ZAPB+/BAP,：.NBAP=NCPQ,：.ZXABPs尸CQ,.BPABCQ=CP,VAB=3,BC=5,BP=I,：.CP=4,13ce=4,4C=-,(3) CQ存在最大值;BPAB理III：.CQCPB尸（58尸）_If5Y25332）12525.当BP-时，c。存在最大值为立【点睛】本题考查了复杂作图作垂线，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.题型三、与圆结合1.在OO中，AB=AC,连接BC.(1)尺规作图：过点A作交80的延长线于点O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：AO为0。

12、的切线；(3)若A。=2,ZDBC=IZABD,则的半径为.【答案】(1)图见解析(2)证明见解析(3)2【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，(1)以A为圆心，BC长为半径画弧，以C为圆心AB长为半径画弧交于点P,连接AP,延长8。交AP于点。即可；(2)连接A。并延长交B。于点M,证明AV是线段BC的垂直平分线即可；(3)证明NAz)O=NAOz)=45。即可.【详解】(1)如图所示：VAB=AC,OB=OCAM是线段BC的垂直平分线;：.AM1.BCx：AD/BCAOAIAD；，A。为O的切线.(3)设ZABZ)=,ZDBC=(Zr)0;：OA=OB;.ZOAB=ZA

13、BD=Xo;，:ADBC：NBAO+ABC=180；即2x+x+x+90=180；解得：X=22.5；，ZADB=NDBC=45。；：.ZAOD=ZADO=45：.AO=AD=2;故答案为：2.（1）请在图1中的O上作一点。（异于点8）,使AO=48,连接8）并延长交AC的延长线于点M,过A作BC的垂线交于点G：（作图使用没有刻度的真尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并在图中标注必要的字母）（2）在（1）中所作的图形中，求证：4BA44BDA.（如需画草图，请使用图2）（3）在（1）中所作的图形中，若45=12,AC=9,求AG的长.（如需画草图，请使用图2）【答案】（1）见解析(2)见解析1

14、0【分析】本题考查了弧与弦的关系，垂线的作图，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用(1)以点4为圆心，A8为半径画弧，得到A。=Ae即得AO=A8,再根据垂线的基本作图，利用圆规，规范画出即可.(2)根据ZABG=NDBA,ZADB=NGAB证明ABAGABDA即可.(3)过点A作AH于点H,根据Az)=AB得到AZ)=AB，利用等腰三角形的三线合一性质，得到BH=DH,ZABD=ZADB=ZGAB=BCA,得到AG=8G,根据AB=I2,AC=9,得BC=JAB+AC=15,根据门=asnam=asc=箓=瞑得到8。，继而利用ABAGS,求得AG的长.【详解】(1)以点A为圆心

15、，A8为半径画弧，得到AD=AB即得AC)=AB,再根据垂线的基本作图，利用圆规，直尺画图如下：(2)设AG与BC得交点为点E,YBC是。的直径，AG1.BC,：.NfiAC=NBEA=90。，.,.BAG=ZBCA=900-ZABCf/ZBDA=ZBCa：./BAG=NBDA,.ZABG=DBA，/.八BAGSABDA.G4(3)过点A作A_1.3。于点，*AD=ABAD=AB,：.BH=DH,ZABD=ZADB,.ABAGSABDA,：,ZADB=NGAB,：.ZABD=ZADB=ZGAB：.AG=BG,BC是OO的直径，AGlBCt：.NBAC=NBfX=90。，/.ABAG=ZBCA=

16、o-ZABCf：.ZABD=ADB=AGAB=ABCAyVB=12,AC=9,bc=Jab2+ac2=15cosZBCA=,3.*.cosZABH=,：.BH=ABcosZABH=-2=-,5572：.BD=2BH=-5VABAGSABDA,.ABAG,BDADAR2SAG=144-=10BD72如图，已知，在-ABC中，ZC=90o,(I)已知点。在边BC上，请用圆规和直尺作出Ot使Q经过点C,且与A3相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)若。与AB切于点D,与CB的另一个交点为E,若NB=30。，CO的半径为2,求劣弧。石与线段BD、BE所围成的图形的面积.(结果保留乃)【答案】(1)见解析

17、(2)23-【分析】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、尺规作图、勾股定理等知识：(1)作/C48的平分线与BC的交点即为圆心0,然后以点。为圆心，以OC的长为半径作圆。即可；(2)连接。，根据切线的性质可得OD_1.AB,可得NBOQ=60。，从而得到BQ=2J,再由劣弧DE与线段BZBE所围成的图形的面积为SHM-S地形E”，即可求解.【详解】(1)解：如图，即为所求;(2)解：如图，连接0。,TAB是圆。的切线，：ODAB,：.ZAC8=ZADO=90。，：NB=30。，ZBOD=60,的半径为2,/.OD=2,：.OB=2OD=4,BD=JB2-OD2=23，劣弧。石与

18、线段BQ、BE所围成的图形的面积为cc1oo/r601122211sbod-S扇形EoD=-223=23一一.4.已知，正方形ABCO,边长为4,点尸是边43、8。上一动点，以。尸为直径作OO,（1）点尸在边AB上时（如图D求证：点。在边AD的垂直平分线上；如图2,若3。与边BC相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出AF长;如图3,点尸从A运动到点A的过程中，若始终是尸”。的中点，写出”点运动的轨迹并求出路径长:H1（2）当点尸在边BC上时（如图4）,若H始终是产。的中点，连接C7/,连接求：MFCH忸FC2【答案】（1）证明见解析；见解析，F=3i点运动的轨迹

19、为线段WC,线段MC=2(2)5w=122-16【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等.此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.(1)证明QA=O。即可证明点。在边A。的垂直平分线上；作AO的垂直平分线，作切点与A所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；由由丽是等腰直角三角形，证明4OFBsawC,进而即可求解；(2)先证明Swc,设C=&,则B=2Z,BFfk,&+2A=4,进而即可求解.【详解】(1)解：OF为直径，ZA=90。；，点A在圆上，连接A。，.AO=DO,点。在Ao的垂直平分线上；

20、图1设二O与边BC相切于点E,则OA=OD=OEf如图所示:OA=OD=OE=t则O=4-x,(4-x)2+22=x2,解得：X=1,YO是AAO/的中位线,.,.AF=2OH=3;连接F,HD；”始终是目击)的中点,/D是等腰直角三角形，：.ZFDH=450,连接8。、AC交于点M,则NBZ)C=45。,NBDF=NCDH=45-ZBDH,.”=丝=日DHDC：.DFBsDHC，.ZDBF=NDCH=45。；当点尸与A点重合，点与M点重合，当点尸与B点重合，点与C点重合,.“点运动的轨迹为线段MC，MC=2五.(2)解：连接BD、DH、FHf过点作G_1.FC,由(1)可得：DFBsADHC

21、,BDBF11r=2,NHCD=45,DCCHNCG=45。，.CT-I一9FC2设CH=k,则C产=2R,BF=,+2k=4,/7解得：k=4-2,HG=y(4-22)=22-2,Smch=2(4-2V2)(22-2)=122-16-题型四、与相似结合1.如图，RtZA3C中，NAC3=90。.（1）作工ABC的外接圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，点。在O上且与点。位于AB异侧，连接8。并延长交A3的垂直平分线于点E,过前E作EFCB交CB延长线于点R/BEF=2ZBEO.求证：ED=EF;若生=!，求隼的值.1.iO【答案】（1）见详解；见详解；我的值为A

22、C11【分析】（1）由NAC8=90。知A8是。的直径，先作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与48的交点即为圆心O,再以O为圆心，OA长为半径作圆即可；（2）由EO是AB的垂直平分线，可证RlBEORAEOf得NBEO=ZAEO,再结合N3EF=2NBEO,可以得出N班户=NAE8,再证明出应产会2AfD,进而证明出ED=EF；由48所且ZXAED和圆内接四边形AOBC得出NDAE=NCA。，再证明AMZMgAg得出MO=OE,可RFCF4设防=15x,则Of=15%,ME=30x,证明小AM,通过平行线分线段成比例得,=R=彳，再设BEME53F=4y,在RtAB及中，通过勾股定理可求出y=

23、5x,则8尸=20x,BE=25t再通过线段加减关系求出BC=4x,BD=IOx,由ABE户名ZiA即得AD=8尸=20x,再利用勾股定理依次求出AB=10后，AC=22，进而得出第=短=AZADE=ZADb=90o,EO是A8的垂直平分线,:.AE=BE,ZBOE=ZAOe=90,EO=EO,.RtBEORtAEO(H1.),.-.ZBEO=ZAEOt.ZAEB=NBEO+ZAEO=2ZBEO，ABEF=IZBEO,:.ZBEf=ZAEB.EFlCB,.NF=ZAoE=90。，AE=BE,.BEFgAED(AAS),.ED=EF.延长反，交AC的延长线于M,二BEFAED,.ZEBF=ZDA

24、EtAD=BF,E+NC石=180o,ZCAD+ZCBE=180,.-.ZEBF=ZCAd,.ZDAECADiAD=AD,ZADE=ZADb=,MDgEDA(ASA),.MD=DE,.ME=2DE,设Er=15x,则OE=I5x,fE=30x,EF_5CFSf.*.CF=24X,NF+NAC3=180,.EFAM,.BFCF24.r4BEE-30x-5,设8F=4y,则8E=5y,在RtZXB铲中，EF=BE2-BF2=3j=15x/.y=5xf:.AD=BF=4y=20X,BE=5y=25X,.BC=CF-BF=IAx-20x=4x,BD=BE-DE=25x-l5x=l0x,在RtZABO中

25、，AB=yBD2+AD2=5(lOx)2+(20x)2=105x,在RlZA8C中，AC=yAB2-BC2=(1O5)2-(4x)2=22x,BC_4x2AC22xT【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点,解题的关键是熟练掌握角平分线模型的常见辅助线的做法，平行线分线段成比例，勾股定理求边长；2.“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多【问题提出】（1）如图，PC是.RAB的角平分线，求证潟=靠.小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用三角形相似小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等“，利用“等面积法请

26、根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.PA【作图应用】（2）如图，A3是。O的弦，在优弧45上作出点P,使得W=3.PB要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹.【结论应用】（3）在，ABC中，最大角NA是最小角NC的2倍，且AB=3,AC=4,求BC.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）01DA9【分析】（1）小明思路，悴BD”PC,利用平行线分线段成比例定理得到药=/，再利用等角对等边求得PD=PB,即可证明结论；小红思路，作立）_1.ABCEPAfCF工PB,利用面积法即可证明结论；（2）作弦AB的垂直平分线，再作线段E）的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；（3）利用相似三角

27、形48DASZ8AC,利用相似三角形的性质，即可求出3C的长.【详解】（1）解：小明思路：过点B作80PC交A尸的延长线于点。，PAACPDBCZl=ZD,Z2=Z3,PC是a5的角平分线,.Z1=Z2,ZD=Z3,：PD=PB,.PAAC=;PBBC小红思路：分别过点P,C作PD_1.A8,CElPAfChPB,垂足为。，E,F,YPC是ARAB的角平分线，.*.CE=CF,：Spac=-PACE=-ACPDtSNBC=1.PBCF=二BCPD,zac2222.PACEACPD*PBCFBCPD.PAAC，PB=BCi（2）解：作弦AB的垂直平分线，交弦A6于点交OO点E,由垂径定理得AE=

28、BE再作线段8。的垂直平分线，交弦AB于点G连接EC并延长交二。点P,点P即为所求；*,AE=BEPC平分NAP8,VAD=BD=-AB,CD=BC=-BDi22一J,BC1PAA由(1)的结论得号=器=3，同理，点舄也为所求；(3)如图所示，作NBAC的平分线交BC于点。,VAB=3,AC=4,.BDAB3CDAC43/.BD=；BC,VBAC=2BAD,BAC=2NC,：.NBAD=NC,又；ZABD=NCBA,；BDABAC,.BDBA,BABCt，AB2=BDBC3即32=BC8C：BC2=21，BC=y2i（负值舍去）.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的

29、条件，平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质与判定等知识，解决问题的关键是掌握题意，正确的作出图形.3.如图，tiA8C中，AB=BC,D、E分别为边AB、AC的点，DE/BC,AD=IBD.（1）用圆规和没有刻度的宜尺在线段Z）E上求作一点尸，使S八”=S（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）；在（1）的条件下，过点F作尸GAC交AB于G,AC=9,求FG的值.【答案】（1）见解析（2）FG=2【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，平行线的性质.（1）以点B为圆心，8。为半径画弧交BC于点M,连接AM交。E于一点,该点即为

30、F点；（2）由（1）可证明.RWs-BAC,得到ACOM,推出。M=；AC=gAE,再证明人丽人曲，得DFDM1AFFGFMDF1到三=不=：，最后证明AFGSAMDf得到27=怎，进而得到E=：，即可求解EFAE2AMDMFAEF2【详解】（1）如图所示即为所求,(2)连接。W,由(1)可得BD=BM,.AB=BC,Z=Z,.BDMS-BAC,AC/DM,aD=AC=AE,ZAEF=ZMDf,EAF=/DMF,ADFMS4EFA,DFDM1=一，EFAE2Ae=9,aAE=-AC=6,CE=-AC=3,33DE/BCfDM=CE=3,又FGAC,FG/DM,ZGAF=ZADM,ZAFG=ZA

31、Md,.AFGAMD,.AF_FGMDMy.FMDF1=,FAEF2.FG2=一,DM3FG=2.(1)尺规作图：求作。，使得AB、8分别切O于点P、。；(要求：保留作图痕迹，不写作法)在(1)的条件下，设。O分别交4BD于点E、尸，连接EF.求证：DEDA=DFDB.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键；(1)先作。尸的垂直平分线，得到OP的中点O然后以。点为圆心，。尸为半径作圆，则根据切线的判定方法可得到A8、S分别切OO于点P、Di(2)先利用圆周角定理得

32、到NOFP=90,ZDPF=ZDEF再证明NDK=Nm4,在证人。石尸嗔然后利用相似三角形的性质可得到结论.【详解】(1):。的为所求作的圆，(2)证明：连接尸E:.QEF=QPF,I)P为Qo直径，.ZDFP=90o,ZDPF=90-ZBDPf由作图得，48是。的切线，OP为。的直径.ZDPB=90o,:./DBA=90。一NBDP,.ZDPF=ZDBA=ZDEF,又ZEDf=ZBDA,.aDEFs&dBA,.DEDFDBDAy:.DEDA=DFDB.题型五、与三角函数结合1.如图，海中有一个小岛A,该岛四周IonmiIe内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在4岛南偏西58。的3处,往东行2

33、0nmile后到达该岛的南偏西30。的C处之后，货轮继续向东航行.(tan58o=1.60,b=1.73)(1)请用尺规作图，找到货轮距离小岛A最近时的位置点尸(不写过程，需保留作图痕迹)；当货轮航行到P点位置时，距离小岛A有多远，货轮有触礁危险吗？【答案】（1）见解析货轮航行到P点位置时，距离小岛A19.57nmile,货轮没有触礁危险【分析】本题考查作图一作垂线，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题.（1）根据要求画出图形；RP（2）设PC=Anmile,则AP=Amile,根据tanNBAP=不，构建方程求解即可.AP【详解】（I）解：如图，点P即为所求

34、，(2)在Rt.ACP中，ZGAP=30设PC=ATimile，则AP=GnrniIe，RPtan/BAP=1.60AP20+XA解得：x11.31,经检验，X=II.31是方程的解,.AP=3x19.57(nmile),19.5710,货轮航行到尸点位置时，距离小岛A19.57nmile,货轮没有触礁危险.2 .小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.如图1是俯视图，OA,08分别表示门框和门所在位置，M,N分别是OA03上的定点，OM=27cm,QN=36cm,MF,N尸的长度固定，NMFN的大

35、小可变.门完全打开时所在位置门他所住位置门框所在位置A门匐所在位置门所在位置mi图2图3(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，OAYOB,NMFN=I80。，求NMNB的度数.(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点尸的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置03.(用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)(3)在门开合的过程中，SinNOW的最大值为.(参考数据：sin37o0.60,cos37o0.80,tan37o0.75)【答案】NMTV8=143(2)见解析0.75【分析】(1)在RtzQWN中，利用锐角三角函数求得结果;(2)以点O为圆心、ON的长为半径画弧,与以点

36、F为圆心、RV的长为半径的弧交于点N”M，连接。乂,0乂，得出门08的位置;(3)当NONM最大时，SinNaVM的值最大，过点。作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，NoNM最大,即当垂线段为OM即垂足为M时，“NM最大,故SinNoNM的最大值为777=7=075.ON36【详解】(1)解：在RtZXOMN中，tan/ONM=多=0.75,ON36.,.AMNB180-37=143.(2)门的位置OB如图1中。片或0员所示.(画出其中一条即可)门框所住位霞4R（3）如图2,连接NM,过点。作CW1.NM,交NM的延长线于点”.在门的开合过程中，NOMW在不断变化，当NoNM最大时，SinNa

37、VM的值最大.由图2可知，当0/7与OM重合时，O”取得最大值，此时NONM最大，,SinNoNM的最大值为CAr=75.ON36故答案为：0.75【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键.3 .为了加强树木的稳定性，园林部门常常在树的周围打上木撑子（如图I）,若木撑在地面上的三个落脚点构成等边三角形，即图中的树的根部正好在等边三角形的中心。处.图I图2（1）若OA的长为50cm,求JABC的边长.（2）如图2,已知树根部。及木撑的落脚点A确定，试只用圆规确定另两个落脚点3、C.（不写作法，保留作图的痕迹）【答案】（1）5OGCm（2）见解析【分析】

38、（1）如图2中，连接0A,0B,过点。作OE1.A于点E解直角三角形求出AE,可得结论;（2）构造等边AAOE,等边;CEO,等边AOF,等边三角形OFB,点C,点B即为所求.【详解】（1）解：如图2中，连接。A,OB,过点。作O_1.AB于点图2.o是等边三角形的中心，.OA=OB,OE1.AB1.AE=EB=OA-cos30o=50-=253(cm),2/.A=2AE=5O3(cm);(2)如图，点8,点C即为所求.【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.4.如图，射线OM与直线AN垂直相交，交点为。，且。M=3,QV=

39、4,请你在直线AN和射线OM上找出一点P,使得PMN为等腰三角形，请用尺规作图，在图中作出所有满足条件的点P（用R,鸟，表示）；（保留作图痕迹，不必写作法）（2）如图，平地上一幢建筑物A5与铁塔CZ）相距50m,在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28。,铁塔底部。的俯角为40。，求铁塔CO的高度.（参考数据：sin28o0.47,cos28o0.88,tan28o0.53,sin40o0.64,cos40o0.77,tan40o0.84)【答案】（1）见解析（2）铁塔CQ的高度约为68.5m【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况画出图形:MP=MN,此时点耳、符合题意；NP=NM,此时点2、E符合题意；PM=PN,可作MN的垂直平分线，点A符合题意；（2）过点A作AEJ.C。于点E,解直角三角形分别求出CE,DEKP11I.由题意A=BQ=50m.在RtA4EC中，ZAEC=90o,.=AE-tan28o5OO.53=26.5(m),在RtZXAEO中，ZAEo=90。，.DE=A：tan40o500.84=42(m),CD=CE+DE=26.5+42=68.5(m).答：铁塔CO的高度约为68.5m.【点睛】本题考查基本作图，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识