2023-2024学年人教A版必修第二册 8-4-1 平面 学案.docx

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1、8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 平面新课程标准解读核心素养1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，数学抽象、直观抽象出空间点、直线、平面的概念想象2.了解基本事实和确定平面的推论逻辑推理G知识梳理.读教材A基础落实高效学习Ib情境导入。在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整.问题你知道如此做的原理吗？组新知初探.知识点一平面的画法与表示1.平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面画当平面水平放置时，常把平行四边形的一当平面竖直放置时，常把平行四边形的法边画成横向一边画成竖向2.

2、平面的表示方法（1）用希腊字母表示，如平面a、平面p、平面等；（2）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面A8CQ；（3）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AG平面BD.提醒（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量;（2）平面无厚薄、无大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的,一个平面可以将空间分成两部分.知识点二点、直线、平面之间的基本关系的符号表示文字语言符号语言点A在直线/上点A在直线/外A6/点A在平面内AEa点A在平面外A6直线/在平面内/Ua宜线/在平面外平面,相交于1,a=/提醒（1）直线

3、可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“e”或“6”表示；（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用或“庄”表示；成集合与集合的关系，故用“U”或“知识点三平面的基本事实及推论1与平面有关的三个基本事实基本事实基本过.不在一条直线上事实1平面（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看fw表示.内容图形符号AfB,C三点不共线=的三个点，有且只有一个/一-7/存在/aAC唯一的a使A,B,C基本事实基本事实2内容图形符号A,B,如果一条直线上的两个点在一个平面/一：7/74/且Aea,内，那么这条直线在这个平面内也速/Bea=/UaPEa，基

4、本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么J它们有且只有一条过该点的公共直线/)31且-E/=a=/,M且E2.基本事实1、2的三个推论作推论内容图形用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面/夕C确推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面J定平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面/丁七/的依据你想一想1 .如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，基本事实1强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个“，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性.2 .两个不重合的平面可

5、能存在有限个公共点吗？提示：不可能.要么没有公共点，要么有无数个公共点.3 .如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？提示：这些公共点落在同一条直线上.口做一做1.能确定一个平面的条件是（）A.三个点B.任意不重合的两条直线C.无数个点D.两条相交直线答案：D2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（）A.平面MNC.平面MB.平面NQPD.平面MNPQ解析：A表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.3.若点。在直线匕上，。在平面内，则Q,b,之间的关系可记作.解析：因为点Q（元素）在直线b（集合）上，所以QA又因为直线8（集合）在平面（集合

6、）内，所以bua.答案：Qbuct题型突破析典例技法归纳活学活用题型一立体几何三种语言的相互转化【例I】用符号表示下列语句，并画出图形：（1）平面a与相交于直线/,宜线。与a,B分别相交于点A,日（2）点A,8在平面a内，直线a与平面a交于点。，点C不在直线AB上.解（1）用符号表示：a=/,aa=A,a11=t如图.(2)用符号表示：Aa,Ba,aa=C,CAB,如图.通性通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用”或

7、阵，直线与平面的位置关系只能用“u”或“仁”.提醒根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.Ef跟踪训练画图表示下列语句(其中P,M表示点，/,机表示直线，,表示平面)：(1) P,内,IQa=Mi(2) =w,Pa,?；(3) Pa,P,a=w.解：如图所示.题型二点、线共面问题【例2】如图,已知直线。bc,11a=A,Inb=B,c=C.求证：宜线小h,和/共面.证明法一(辅助平面法)因为a仇所以a,b确定一个平面a.因为AmBGb,所以Aa,5a.又AG/,BGl,所以/Ua.因为C,所以Ca,所以直线a与点C同在平面a内.因为4C,所以直线4,C确定一个平面.因为C

8、We,Cu,所以cw,即直线。与点C同在平面内.由推论1,可得平面和平面P重合，则CU.所以a,b,cf/共面.法二(纳入平面法)因为。仇所以a,b确定一个平面.因为44,BGb,所以A,B.又AG/,B,所以/Ua.则a,h,/都在平面a内，即b在a,/确定的平面内.同理可证C在，/确定的平面内.因为过。与/只能确定一个平面，所以a,b,c,/共面于a,/确定的平面.通性通法证明点、线共面的方法证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面a,再证明其余点、线确定平面P，最后证明平面a,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一

9、个平面，再证明有关的点、线在此平面内.口跟踪训练已知A,B,C,。曲，如图.求证：直线40,BD,Co共面.证明：因为所以/与O可以确定平面a.因为AW/,所以Aea.又Oea,所以AOUa.同理，BDUa,CDCa,所以AO,BD,C0在同一平面a内，即它们共面.题型三点共线问题【例3】如图，AABC在平面a外，ABHa=P,AC11a=Qf6Ca=R求证：P,Q,R三点共线.A证明法一9：AB11a=P,PAB,Pa.又A8U平面ABC,.PB平面ABc由基本事实3可知点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证点Q,R也在平面ABC与平面的交线上，故P,Q,R三点共线.法二,：APHAQ=A

10、i直线AP与直线AQ确定平面APQ.又A6=尸，AC=,，平面APQa=尸Q.5平面APQ,C平面APQ,.5CU平面APQ.：RGBC,./?平面APQ,又RGa,：.RGPQ,故P,Q,H三点共线.通性通法证明点共线的方法证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：(1)先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上：(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.Cf跟踪训练在长方体ABCD-AiSG。中，Oi是4G与3。的交点，长方体体对角线4。交平面AS。于点P.求证：O

11、i,P,A三点在同一条直线上.证明：因为OlB平面ABQ,OlW平面AAlClC,Ae平面A81。”Ae平面AAIClC,所以平面A8O平面AAIGC=AOi.又因为AC平面ABNl=尸，所以尸W直线AC,P平面A8Q,所以P平面AGC,所以P直线A0,即0,P,A三点在同一条直线上.题型窣共点问题【例4】如图所示，在空间四边形ABCo的各边A。，AB,BC,Co上分别取E,F,G,四点，如果EHGH交于一点P,求证：点尸在直线8。上.AEC证明若EF,GH交于一点、P,则,尸，G,“四点共面，又因为TU平面A8。，GHU平面CBD,所以PW平面A8。，且P平面C8。，又因为平面A8O平面CB

12、D=BD,由基本事实3可得P5D通性通法证明三线共点的方法证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.Cf跟踪训练三个平面,丫两两相交于三条直线，即=c,=,y=b,若直线。和b不平行，求证：a,b,C三条直线必相交于同一点.证明：如图，V=z?,=a,a三,匕U卜;直线。和b不平行，必相交.设aCb=P,则PPGb.VaC,OUa,P,Pa.又aB=c,Pc.故a,b,C三条直线必相交于同一点.因随堂检测，1 .若一直线在平面a内，则正确的作

13、图是（解析：AB中直线。不应超出平面a；C中直线。不在平面a内；D中直线。与平面a相交.2 .下列关于点、线和面的关系表示错误的是（）A.点AU平面aB.宜线平面a=点4C.直线/U平面aD.平面aC平面=直线in解析：A根据点、线、面的关系的符号表示，可知A错误，应改为点AW平面a；B、C、D正确.故选A.3 .交于一点的三条不同直线可以确定平面的个数是（）A.三个B.两个C.一个或两个D.一个或三个解析：D如图，a,b,C是三条不同的直线，ab=P,ci,b确定平面a,且点尸Wc,若C在平面a内，则直线mb,C确定一个平面，若C不在平面a内，则直线mC确定一个平面，仇C确定一个平面，于是得直线a,九C确定三个平面，所以交于一点的三条直线可以确定平面的个数是一个或三个.故选D.4.若直线/与平面a相交于点0,4,8,C,Da,3.AC/BD,RJ0,C,。三点的位置关系是.解析海图，.ACBO,AC与8。确定一个平面，记作平面,则a0=直线CD.a=0,0a.又.OWA3U0,JOW直线CD,：0,Ct。三点共线.答案：共线