专题04导数及其应用.docx

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1、1.【2021天津高考真题】己知0,函数f(x)=XeX.(I)求曲线=/(X)在点(0,7(0)处的切线方程：(II)证明/S)存在唯一的极值点(III)若存在。，使得/(x)a+8对任意XR成立，求实数b的取值范围.【答案】(I)y=(a-V)x,(aO)；(11)证明见解析；(川)-e,+)【分析】(I)求出/(x)在JV=O处的导数，即切线斜率，求出/(0),即可求出切线方程；(Il)令r(%)=0,可得=(x+l)e,则可化为证明y=与y=g(x)仅有一个交点，利用导数求出g()的变化情况，数形结合即可求解；(川)令。)=(%2一-l),(-l),题目等价于存在X(-1,+8),使得

2、/Z(x)b,即b(x)min,利用导数即可求出MX)的最小值.【详解】(I)/(X)=Q-(X+l)e则f(O)=-l,又/(0)=0,则切线方程为y=(-l)x,(O);(Il)令/*)=4一(x+l)=0,则4=(x+l)/,令g(x)=*+l)e,则g0,g(x)单调递增，当XfYO时，g()O,画出g(x)大致图像如下:所以当0时，y=与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=,则m一1,且f,(ni)=a-g(ni)=Ot当x(y,m)时，ag(x),则/(x)0,/(%)单调递增，当X(，%,+8)时，ag(x),贝J(x)1,所以7(%)-ama=/(m)-a=(n2-m-1)e

3、m,(m-1),令力(工)=(A：2-1),若存在。，使得/(x)+对任意xR成立，等价于存在xe(T,+),使得(x)b,gpZ.(x)nin,hx)=(V+%_2)ex=(x-l)(x+2)ex,x-,当x(-1,1)时，hf(x)0,MX)单调递增，所以6(x)min=一6，故b-e,所以实数b的取值范围-e,).【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y=与y=g()仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在X(-1,内)，使得MX)力，即br)mE2.12021全国高考真题】己知函数/(X)=(X-1)，一G2+6.(1)讨论/S)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：

4、/(X)有一个零点1 /2a;2 20a0J(%)单调递增；当O0J(x)单调递增，若x(ln(24),),则尸(X)VOj单调递减,若(0,+),则/(x)0J(力单调递增;当=g时，/(x)N0(x)在R上单调递增；当g时，若x(yo,0),则尸(x)0J(x)单调递增，若x(0,ln(攵)，则尸(x)0J(x)单调递增；(2)若选择条件:Ie/由于5勿1,/(0)=一10,而/(-)=-h)e-b-ah2-h24ln(2)-l-4ln(2)+2a=2ln(2)-aln(2)=ln(2)2-ln(2),由于匕，lv2,故Mn(2)2-ln(2)0,结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)

5、上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于Ovg,故24l,则/()=b-l210时，e24,4fl0,而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当bv时，构造函数H(X)=eA-X1,贝J(X)=，-1,当x(-,0)时，H(x)0,(x)单调递增，注意到H(O)=0,故(x)0恒成立，从而有：x+l,此时:fx)=x-)ex-ax1-fe(x-l)(x+l)-ox2+b=(l-6f)x2+(-l),(1-)x2+(-1)0,当居时，取Xo=J+1，则/(与)0，即：/(o)-10,而函数在区间(O,+8)上单调递增，故函数在区间(O,+8)上有一

6、个零点.f(in(2t)=2ain(2d)ain(2)J+b2ln(20)-l-ln(2叫+2a=21n(2A)-6rln(26z)=ln(24)2一ln(2),由于Og,024l,故ln(2)2-ln(2q)0,结合函数的单调性可知函数在区间(-oo,0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3

7、)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.3-9r3.12021北京高考真题】己知函数/(x)=F.(I)若=0,求y=(%)在(I1(l)处切线方程；(2)若函数/(x)在X=T处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y-5=0;(2)函数/(x)的增区间为(-8,-1)、(4,丘)，单调递减区间为(1,4),最大值为1,最小值为-w【分析】(1)求出/(1)、/(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由r(-)=o可求得实数。的值，然后利用导数分析函数/(%)的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)

8、当=0时，=则=1,r(l)=T,XX此时，曲线y=()在点(1,7(1)处的切线方程为yT=-4(-1),即4x+y-5=0；,、-2(x2+a-2x(3-2x)2(x2-3x-a因为“同一，则/(同一/，2一/22，X+Cl(x2)x2+a)z、2(4tz)由题意可得/(1)=/=。，解得0=4,(。+1)故/()=J，/(X)=)，列表如下：X4(x+4)X(FT)-1(T4)4(4)广+OO+增极大值减极小值增所以，函数f(x)的增区间为(YO,1)、(4,+00),单调递减区间为(一1,4).33当x0;当A：时，/(x)0.所以，X1.X=/(T)=1，1.=(4)=4.12021

9、全国高考真题】已知函数/(x)=x(l-Inx).(1)讨论“力的单调性：(2)设。，为两个不相等的正数，且力Ina-Hnb=-b,证明：2-+-e.ab【答案】(I)/()的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；(2)设工二苔=，原不等式等价于2(玉+We,前者可构建新函数，利用极值点ab偏移可证，后者可设Z=/，从而把E+We转化为（，T）In（T+l）-flnz0,当x（l,+8）时，z（x）0,Ina+1InZ?+1故/（X）的递增区间为（0），递减区间为（1,+8）.(2)因为引n-4ln力=a-Z

10、?,故Z?(Ina+1)=(lnh+l),即设一=%，7=工2，由（1）可知不妨设0%1.因为x(0,l)时，/(x)=x(l-lnx)0,X(e,+oo)时，/(x)=x(l-lnx)0,故1Z2,若x22,xl+X22必成立.若毛2,即证2-12，而02-工2(2-w),即证：/()(2-2),其中1v2v2.设g(x)=f(x)一/(2一元)，1%2,则g(v)=/(x)+(2-X)=-InX一ln(2x)=-lnx(2-x),因为lx2,故0无(2-x)0,所以g(x)O,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)g(l)=O,故/(x)(2一%)，即/()f(2-W)成立，所以玉+

11、/2成立，综上，玉+%2成立.设=历，贝h1,马可得：x1(1-In)=2(I-Inx2),人Ina+1nh+结合=ab11r,1.l.Z-I-HnZ即：l-lnx,=r(l-1n-lnx1),故Inxi=,t要证：xl+x2e,即证(r+l)e,即证ln(f+l)+ln芭Vl,即证：ln(f+l)111,即证：(，l)ln(r+1)Hn/1,则SYr)=ln(r+1)+-l-lnr=In1+-|,/+1It)/+1先证明一个不等式：In(X+l)x.设“(X)=In(X+l)-x,贝J(x)=-!-j1=,当一IVXVo时，(x)0;当x0时，(x)l时，+故S()0恒成立，故S(f)在(1

12、,+8)上为减函数，故S(f)S(l)=O,故(，-I)InQ+l)-HnrO成立，即玉+%Ve成立.综上所述，2-+-l,函数/(X)=优一加+/(R)（1）求函数/（）的单调区间;（2）若对任意2/，函数/（%）有两个不同的零点，求Q的取值范围；（3）当=e时，证明：对任意b,函数/（可有两个不同的零点中毛，满足X2bnb2e22b（注：e=2.71828是自然对数的底数）【答案】b0时，/O）在R上单调递增；60时，函数的单调减区间为f-OO,lg-Y单调增区间为（IOga3,+81；0,当x一8,IOg“高卜寸，/（x）Oj（X）单调递埴综上可得，b0时，/（X）在R上单调递增；Z?0

13、时，函数的单调减区间为1-8,lg,3,单调增区间为（log,3，+8IinaJIIna（2）（x）有2个不同零点OaX-加+/=（）有2个不同解OeXEa-以+/=（）有2个不同的解,令f=xln,则d-色-+/=On=e=-J0,InaIn67t记g)=+e,gQ)=.一(+/)/(-2记=/-1）一/,（。=，（”1）+，.1=八0,又(2)=0,所以，(0,2)时，Q)VO,r(2,+oo)时，(r)O,则g(f)在(0单调递减,(2,内)单调递增，.g(2)=,.ln2e,.-2,:.na2=ie注意到函数y=巴三在区间（0,2）上单调递减，在区间（2,y）上单调递增,Xe5+e2故

14、玉25,要证X2bnbe21.E1.e2x+,只而%2In/?+,8=丝且关于匕的函数g（3=ln8+S在b上单调递增,X?尤b所以只需证Zn工+X2姜仇5），,x2只需证Ine*?-in竺一笑0,x22e只需证InX-一ln20，2exJ4x/5时为正，2e由于(x)=J+4XeT4e=1+4eX(X1)0,故函数MX)单调递增，X又(5)=In5-与一In2=In*-当0,故(x)=Inx-一In2在5时为正，夕2eex从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，

15、对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性：已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.6.12021全国高考真题(理)】己知00且。1,函数/*)=*0).(1)当。=2时，求/(司的单调区间;(2)若曲线y=(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】(1)上单调递增;2,+8ln2上单调递减；(2)(1.e)D(C【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性：(2)利用

16、指数对数的运算法则，可以将曲线y=f()与直线y=l有且仅有两个交点等价转化为方程包土=则有两个不同的实数根，即曲线y=g(九)与直线y=二有两个交xaIna点，利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象,进而得到0呼：,发现这正好是OVgg)Vg(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到。的取值范围.“、X2、2-2.2ln2x2v(2-xln2)【解析】当4=2时，/(=卞J(X)=-TT-1.I?vI4799令(X)=O得X=_,当00,当1_时，r()0,函数/(x)在(0,专上单调递增；7，+8)上单调递减;ln2)(2)/(x)=1=xrt

17、OJdna=InXo=,设函数g(x)=aXaX则g(x)=I,令g(x)=。,得x=3在(O，e)内g(x)0,g(力单调递增;在(e,+)上g(x)O,g(x)单调递减；gd=g(e)=j又g(l)=O,当X趋近于+时，g()趋近于0,所以曲线y=(x)与直线y=l有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=焉有两个交点的充分必要条件是0呼).【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.7.12021全国高考真题(理)】设函数/

18、(x)=Ing-x),已知X=O是函数y=4(x)的极值点.(1)求。；X+f(y(2)设函数函X)=；、.证明:g(x)l.fM【答案】1；证明见详解【分析】(1)由题意求出P,由极值点处导数为O即可求解出参数(2)由(1)得g*)=x+ln(l-x)xln(l-x)xl且XW0,分类讨论冗(0,l)和戈(-oo,0),可等价转化为要证g(%)无历(1一式)在无40,1)和工30,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解1Y【解析】(1)由/(x)=ln(-X)=1(X)=，y=V(x)=y=ln(-x)+,x-axa又X=O是函数y=*)的极值点，所以y(0)=ln=0,解得=1；/、/、x

19、+f(x)x+ln(l-x)(2)由(1)得/(x)=In(I-x),g(x)=-T-,XeI且xw,/xf(x)In(I-X)/、x+ln(l-x)z,、当X(O,1)时，要证g。)=7r0,ln(l-x)0,.xln(l-x)xln(l-x),化简得x+(l-X)In(Ix)0；/、JV+ln(l-x),、同理，当X(yo,0)时，要证g(x)=(J0)vlx0,.xln(l-x)xln(l-x),化简得x+(I-X)In(I-x)0；令MX)=X+。一力In(I-力，再令f=l-,则Z(0,l)(l,3),=-tt令g(r)=l+flnf,(r)=-l+lnr+l=Inr,当(0,l)时

20、,g()g(l)=O;当，(l,+)时，g(x)O,g(x)单增，假设g(l)能取到，则g(l)=0,故g(Og=0；综上所述,g。)=x+ln(l-x)Jdn(17)Vl在x(-,0)U(0,l)恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为。可求参数。，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.8.【2020年高考全国I卷理数】已知函数(x)=ex+0-(1)当G=I时，讨论f(X)的单调性；(2)当x0时，/(x)-x3+l,求Q的取值范围.2【解析】(1)当。=1时，f(x)=ex+x2

21、-x,WJfx)=ex+2x-l.故当x(-8,0)时，fx)0.所以/(X)在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(2)/(x)gx3+l等价于(gx3-Or2+i)eTi.设函数g(x)=(gd-Or2+X+l)e-(xO),则13g,(x)=-(-xi-0r2+x+l-x2+20r-l)e,r=-gM2-(2。+3)X+41+2ex=x(x-2a-l)(x-2)ex.(i)若2+l0,BPa-,则当x(0,2)时，g(%)0.所以g(x)在(0,2)单调递增，而g(O)=1,故当x(0,2)时，g(x)1,不合题意.(ii)若02+l2,即一gg,则当x(0,2a+l)U(2,

22、+河时，g(x)O.所以g(x)在(O,20+l),(2,+8)单调递减,在(20+l,2)单调递增.由于g(O)=l,7-e2所以g(x)l当且仅当g(2)=(7-40)e-2,gJ.47-e21所以当一-a0；当XW专,)时,f,(x)0.所以/(幻在区间(Oq)痔,11)单调递增，在区间(py)单调递减.(2)因为/(0)=/(兀)=0,由(1)知，/)在区间的最大值为/(1)=最小值为/(0)=-空.而/(%)是周期为冗的周期函数，故Ifa)IX1.388(3)由于(sin2sin22xsin22rtx)三=Isin3xsin32xsin32nx=IsinxIlsin2xsin32xs

23、in32nlxsin2nxsin22nxHsinf(x)f(2x)/(2n-*K)Ilsin22nx/(x)(2x)(2rt-,x),所以sinGsi/Zxsin22x()3=*10 .(2020年高考全国In卷理数】设函数*)=3+bx+c,曲线y=(x)在点(；，/(；)处的切线与y轴垂直.(1)求B.(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(x)所有零点的绝对值都不大于1.【解析】(1),(x)=3x2+b.依题意得/g)=0,即:+6=0.故人=一.4R303(2)由(1)知/(x)=x3x+ctf,(x)=3x2.44令尸3=0,解得x=或Ar=1.22r。)与/。)的情

24、况为:f,()+O-O+f/c+；c-/44因为八D=/()=c+!，所以当c!时，/(x)只有小于-1的零点.244由题设可知c1.44当c=-(时，/*)只有两个零点-;和1.当C=；时，/(%)只有两个零点-1和;.当一7c(二)442222综上，若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，则/)所有零点的绝对值都不大于1.I1.【2020年高考天津】已知函数*)=d+Qnx(kR),尸(X)为了(X)的导函数.(I)当攵=6时,(i)求曲线y=/(%)在点(IJ(I)处的切线方程;9(ii)求函数g(x)=f(x)-尸+一的单调区间和极值;X(11)当左-3时，求证：对任意的x，/eU,十0

25、)，且玉%，有r(x)+r(w)j(j-电)2x1-x2【解析】(I)(i)当攵=6时，/(x)=x3+61nx,故/3)=3/+2可得AI)=1,X(l)=9,所以曲线y=(x)在点(1,/(1)处的切线方程为y-l=9*1),即y=9x-8.3(ii)依题意，g(x)=x3-3x2+61nx+-,x(0,+oo).从而可得X(x)=3x2-6x+-4,整理可得g(x)=3(xT)：*+l)令g工2，令二1(Z1),则XI(xi-2)(,(i)+(2)-2(x1)-(x2)(kk(x=(1-2)34；+3%2+-2-X+knIX2)I)/=M-E-3a+3x%;+&-2A:In&x)X2=x

26、；(户一3产+3r1)+A(r2Inf.112(1Y令人(X)=X21nx,xl,+oo).当xl时，,(x)=1+=10,XxXXJ由此可得(X)在1,+00)单调递增，所以当fl时，h(t)h()fgz-2lnr0.t因为X21,f3-3r2+3r-l=(r-l)30-3,所以，(r3-3r+3r-l)+A:r-21nr(r一3*+3I)-21nr3=r3-3r261nr+1.t3由(I)(ii)可知，当，1时，g(f)g，即户一3+61nf+1,t3故一3r+6m，+一l0.t由可得(再一$)(/(%)+/()-2(F(1)-()0.所以，当一之一3时对仟意的XTen+)日x有/(西)+

27、/伍)、/(%)一/()I口，仕扇*,X?1.1.t*co),.qX,32x1-X212.【2020年高考北京】己知函数/(冗)=12-Y.(I)求曲线y=F(X)的斜率等于-2的切线方程；(11)设曲线y=()在点Q,Q)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(f),求SQ)的最小值.【解析】(I)因为/(x)=12-d,所以r()=-2x,设切点为(%),12一%)，则一2x0=-2,即为=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程：y-ll=-2(x-l),即2x+y-13=0.(11)显然w,因为y=f(%)在点(力12-产)处的切线方程为:-(2-r2)=-2r(x-r),24

28、-IO令X=0,得y=r+i2,令y=0,得X=1.JIt所以SS=9(r+12).常，乙Nlrl不妨设0(fO,得f2,由S(r)O,得0f)上递增，所以f=2时，S。)取得极小值，也是最小值为S(2)=W3=32.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.13.(2020年高考浙江】己知lva2,函数/(x)=e-x-,其中e=2.71828.是自然对数的底数.(I)证明：函数y=()在(O,”)上有唯一零点；(11)记均为函数y=()在Qy)上的零点，证明：(i)Ja-而*(a-1)；(ii)x0f(ex0)(e-IXa-l).【解析】(I)

29、因为/(0)=v0,/X2)=e2-2-e2-40,所以y=f(力在(0,+)上存在零点.因为f(x)=e-1,所以当x0时，,0,故函数/*)在0,*o)上单调递增，所以函数以y=()在Oyo)上有唯一零点.（三）(i)令g(x)=eA-gx2-I(X0),g,(x)=er-%-1=fx+a-f由(I)知函数g(x)在0,*o)上单调递增，故当x0时，g(x)g(O)=O,所以函数g(x)在。田)单调递增，故g(x)g(0)=O.由g(12(-I)O得/(J2(41)=72(“一1)一.O=/(%),因为/)在0，也)单调递增，故同F%.(x)=ev-x2-x-l(Oxl),(x)=ev-2

30、x-l,1(x)=ev-2x-l(Oxl),(x)=e*-2,所以X0(0,ln2)ln2(In2,1)1-1一0+e-2匕(X)0、e-3故当Ovxl时,(x)O,即Zf(X)V0,所以M*)在0,1单调递减,因此当Oxl时，(x)(0)=O.由h(4a-)O得/(tT)=尸-4a-aO=/(x0),因为/a)在10,T8)单调递增，故7x0.综上，Tl时,wr(x)0,故函数(X)在区间l,+)上单调递增，因此(幻W(I)=O.由eAb=Xo+可得xef(ex)=(+a)=(efl-l)x+(e-2)x0(e-l)0r,由A0-1得x0(e*)(e-l)(t?-)a.14.【2020年高考

31、江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥A8与MN平行，OO为铅垂线(O在A8上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离片(米)与D到OO的距离。(米)之间满足关系式%=V,右侧曲线B0上任一点F到MN的距离为(米)与F到00的距离b(米)之间满足关系式H=-上尸+6b.已知点8到。的距离为40米.800(1)求桥A8的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价|攵(万元)(k0),问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？O,

32、EB【解析】（1）设A4t,84,CA,环都与MN垂直，A,8Q,K是相应垂足.由条件知，当。8=40时，BBI=一一403+640=160,则AA=I60.18000由1.。T=I60,得OA=80.40所以他(2)以O为原点，Oo为)，轴建立平面直角坐标系Xoy(如图所示).设F(x,j2),x(0,40),则y2=x3+6x,800EF=160-y,=160+-6x.-800因为CE=80,所以OC=80x.设O(X-80,y),则V=-1.(SO-X)2,40所以8=160-y=160七(80K)2=一卷炉+4工记桥墩8和EF的总造价为f(x)t131f(x)=k(60+x3-6x)+

33、-(X2+4x)pj800240I3=kx2+l60)(040).80080Q3%kf,(x)=k(-x2-x160)=-x(-20),80040800令F(x)=O,得x=20.X(0.20)20(20,40)f,(x)-0+/(X)极小值所以当x=20时，/(x)取得最小值.答：(1)桥AB的长度为120米；(2)当CrE为20米时，桥墩CO和历的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.15.【2020年高考江苏】已知关于X的函数丫=/(%),丁=83与数%)=+/匕。11)在区间D上恒有f(X)(x)g(x).(1)若/(x)=W+2x,

34、g(x)三-X2+2fD=(o,+),求MX)的表达式；(2)若f(x)=2-x+1.g(x)=klnx,(x)=kx-k,D=(0,+),求k的取值范围；(3)若f(x)=X4-2x2,g(x)=42-8,(x)=4(/T)X-3r4+22(0tj2)tO=q-0,0,求证：n-m-Jl.【解析】(1)由条件/(x)Zz(X)Ng(X),得X2+2x6+0-V+2x,取X=0,得0b0,所以人=0.由/+2x米，X2+(2-)xO,此式对一切xe(f,*o)恒成立，所以(2-%)2o,则4=2,此时2x-f+2恒成立，所以力(x)=2x.(2)力(x)-g(x)=k(x-lnx),x(0,+oo).令(X)