大题01 解三角形（精选30题）（教师解析版）.docx

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1、黄金冲刺大题Ol解三角形（精选30题）1. （2024江苏一模）记一48C的内角AK的对边分别为力,c,己知2cos8+l=.a（1）证明：B=2A;（2）若SinA=立/=JiZ,求J8C的周长.4【答案】（1）证明见解析（2）7+14【分析】（I）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得SinC,然后利用正弦定理可得【详解】（1）（2CoS3+1）SinA=SinC=Sin（A+8）=SinACoS3+CosAsinB=sinA=SinBcosA-CosBsinA=Sin（B-A）因为A8（）,兀B-A（-11,11）.A=8-A或A+(3-A)=11(舍)，.B=2A.(

2、2)由SinA=孝，结合(1)知A+3=3Ae(0,11),则Ae(O,5)，得cos4=Ji二而4=-DOAAO近A?近SinB=sn2A=2snAcosA=2X=，444213cosB=cos2A=1-2sinA=l-2-=,84sinC=sin(A+5nAC+cSASin人正X，巫X立二庭二也.,4444168由正弦定理得CIbc=a_V4_c=2sinAsinBsinCy2jl5垃IC=5VV.NABC的周长为+8+c=7+IZ2. （2024湖南常德三模）在.ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,J且sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C.(1)求角C;(2)若,

3、b,C成等差数列，且二ABC的面积为凶，求一48C的周长.4【答案】(Dg(2)15【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出/+6+H=C2；再结合余弦定理得出CoSC=即可求解.(2先根据叫b,C成等差数列得出+c=3:再利用三角形的面积公式得出而=15；最后结合中的a2+b2+ab=c2求出b,C即可解答.【详解】（1）因为sin?A+sin?8+sinAsinB=Sin?C,由正弦定理-7=g=r7可得：a2+b2+ab=c2.sinAsinBsinC由余弦定理可得：C+Y=)又因为Ce(0,2,所以C=(2)由c成等差数列可得：a+c=2b.因为三角形ABC的面积为生叵，C=M，43.J

4、aAsinC,即而=15.24由知：/+/+他=/由解得：fl=3,b=5,c=7.+b+c=15,故三角形ABC的周长为15.3. （2024江苏一模）在“8C中，sin（-A）+2sinA=SinC.求5的大小；(2)延长BC至点M,使得23C=CM.若NC4M=f,求/BAC的大小.4【答案】(I)B=4NBAC=工或2.1212【分析】(1)由SinC=Sin(A+8),代入己知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得CoSB=乎，可得8的大小；(2)设BC=X,NBAC=8,在a。和AACM中，由正弦定理表示边角关系，化简求NBAe的大小.【详解】(1)在二A8C中，A+B+C=11,

5、所以SinC=Sin(A+8).因为sin(5-4)+V5sinA=sinC,所以sin(8-A)+sinA=sin(A+5),即sincos-cosBsin+V2sin=sinBcosA+cosBsinA化简得应SinA=2cosfisinA因为A(0,7t),所以SinA0,COSB=当.因为OvB11,所以8=工.4Df二AC在二ABe中，由正弦定理得0.得SinC=受，而C为：角形内角，C=f或与244(2)由IanA=Tan(8+C)=tanB+IanC得a+an。=tan8+tanC,)1-tanBtanC又tan8+tanC=0,.*.tantanC=2,故S,C(,),由(1)

6、得tanC=1故tanB=2,tanA=tanB+tanC=3而A为三角形内角，sinA=.102c1.acHnF=F一20乂17一.CHJ3772=c=,snASinC记SU=3又tan=2,而B为三角形内角，故sin8=g,.,1.10254223535. （2024浙江嘉兴二模）在.ABC中，内角A&C所对的边分别是,c,已知2cosA-3cos2A=3.求CoSA的值；若dBC为锐角三角形，3=3c,求SinC的值.【答案】（I）COS4=g或COSA=0；竽【分析】（I）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解;（2）解法一，由2b=3c,利用正弦定理边化角得2sinB=3sinC,结合

7、Sin（A+C）=sinB和cosA=；,化简运算并结合平方关系求得答案；2解法二，根据条件利用余弦定理可得c=1明再利用正弦定理边化角并结合条件求【详解】（1）由题可得2cosA-3（2cos2A-1）=3,即女cA-CosA=O，解得cosA=或cosA=0.（2）解法一：因为2Zj=3c,由正弦定理得2sin=3sinC,即2sin（A+C）=3sinC,即2sinAcosC+2sinCbos=3sinC,因为CoSA=!，所以SinA=3区；33所以4应COSC+2SinC=3sinC又sin?C+cos2C=1.33且为锐角三角形，解得SinC=逑.9解法二：由余弦定理得CoSA=+

8、C?-=1.因为给=3c,所以（+一21,即。2二2/,2bc3-2=-93c322所以c=-,所以SinC二二SinA,33又CoS=工，所以SinA=所以SinC=sinA.33396. （2023福建福州模拟预测）在/8C中，角4用C的对边分别是,c,且asinC=CSin3,C=争.求8；若1.ABC面积为也，求BC边上中线的长.【芸】(1)B=7O(2【分析】（I）由正弦定理边化角即可得到角8;（2）根据A=B,得。=匕，结合三角形面积公式即可得到=b=1.再由正弦定理得边C以及2AD=AB+AC即可得到答案.【详解】（1）sinC=CSinB,由正弦定理边化角得SiIIASinC=

9、SinCSin3,SinC0,1.sinA=Sin8,.A=B或A+8=11(舍),(2) ,B=-,C=tA=,.a=b,636-SABC=absmCf即空=_1./.正，解得a=b=52422由正弦定理一三=sinAsmC得C=姻=3,sinA设5。边的中点为。，连接A。，如下图:9+3+2J3冬IAD=ABAC即(2AO)2=(A4+AC)2,7. （2024山东淄博一模）如图，在AABC中，NBAC=，,NEAC的角平分线交3C于P点，AP=2.BPC(1)若3C=8,求ABC的面积;若CP=4,求8P的长.【答案】6+阿212f22B【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出

10、答案：（2）首先利用余弦定理求出AC=I+岳，再利用正弦定理求出SinC,再根据三角恒变换求出SinB,最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）AABC中，设角A、B、C的对边分别为。、b、J在itABC中由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosZCAB，即64=。2+力2+6cri.c_cch11+2c32bW222222整理得力c=M+2C解得bc=2+2相,所以S.C=1.bCSinNBAC=/inv22(2)因为AQ=2,CP=4,NPAC=方,所以在ZXAPC中由余弦定理可得CP2=A尸+AC?-2APACcosZCAP,所以16=4+AC2-2AC解得AC=I+il,AP

11、PC由正弦定理得等=.二二D,sinCsinZ.CAP2=4r即砧一再，解得SinC=9,42所以cosC=JI-Sin2C=,sinB=Sin(NBAC+C)=sinZ.BACcosC+cosZ.BACsinC=GacRr1+13BC-A8U由正弦定理得一二.，则-6一6，SinBsinZ.BAC-解得BC=生2叵.3所以PB=BC一PC二比心叵一4二汉亘338. (2024安徽模拟预测)如图，在平面四边形A4C。中，AB=AD=4,BC=6.(1)若A=与，C=y,求SinN5。C的值；若8=2,cos=3cosC,求四边形ABCo的面积.3【答案】=4J应+8?【分析】(1)zA8D中求

12、出60,在43CD中，由正弦定理求出SinNBDC的值;(2) ZVtBD和ABCD中，由余弦定理求出COSA和8sC,得SinA和SinC,进而可求四边形ABC。的面积.【详解】（I）在AABO中，AB=AD=4,A=?,则NAO8=$,3OBD=2ADcosZADB=24cos=43,O在48Cz)中，由正弦定理得BCBDsinZBDCsinCn1.6sinBCsmC33sinZ.BDC=f-=BD434(2)在和ABCQ中，由余弦定理得BD2=AB2+ADr-2ABADcosA=42+42-244cosA=32-32cosA,BDr=CB2+CD2-2CCDcosC=62+22-262c

13、osC=4（）-24cosC,则SinA=芈si竽四边形ABCf）的面积S=SABD+S88=ABADsin+CBCDsinC1),221,C45160+85=-44-：f-+-62-=-.232939. (2024浙江一模)在“8C中，内角45,C所对的边分别是,Ec,己知一7=-bjt-c-asinB(1)求角A；(2)设边BC的中点为。，若=,且JlBC的面积为地，求AO的长.4【答案】(1)4=方巫2【分析】（I）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到从+C?-/=*,再结合余弦定理即可求出角A；（2）根据三角形面积公式得到庆=3和从+?=o,再结合中线向量公式计算即可.【洋解】（1）

14、在:二A8C中，由正弦定理盯，警=，SinBb因为r!三所以再三4化简得，b（2。24湖北一模）在“比中,已知A8=2AC=26C=%求8的大小;若8CAC,求函数力=而（2工-8）7皿2工+4+。）在-冗,句上的单调递增区间.【答案】Bq或B=B+c2-a2=bc,在.由中，由余弦定理得，c。SA=亡萨丹又因为OvAvti,所以4=：1,.yj333zfi,2(2)由S&ABC=Z?csinA=hc=，得be=3,由/=+c2-MccosA,7=b2+c2-3f所以从+。？=。.又因为边BC的中点为O,所以AO=g（A8+ACj,所以卜。卜;y(AB+C)2=；Jb2+c2+2bccosA=

15、41O+23-=132(2)一11,哈115111l11i2,72j,1.-i,11【分析】（I）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在二ABC中，由正弦定理可得:arac2223r-菽痴即逅一Q解得SmB=乎又084C,可得46,B=j,A+C=y./(x)=sin(2x-jsin2x+sinI2x-sin2x+11-令+2E2x-0,故081,则tanBe(,6),又c=9,PaCnhl9sinA9sin(11-3B)9sin3B又-：一-=-,则a=SinASinCsinCsin

16、28sin28则S=csinB=-asin99sin3B.C81sin3B=smB=2sin2B4cosB81sin2BcosB+cos2BsinB=4cosBQlX(sin2B+cos2BtanB)l+tan2B81f2tanfi4kl+tan2B813tanB-tan3B=一54l+tanB设x=tan4c(,G),=则/(H=(3-3x2)(1+x2)-(3x-)2x(Y_-x4-Gx2+3令r（x）=O得炉=26-3或者f=一26-3（舍），且当O0,当2J-33时，,（x）48=四，所以NeA8=2一222ADSinZACD在ADAC中，C=4,由正弦定理得当;sinD4cos9-s

17、in9.3在ABC中，AC=4,由正弦定理得ACBCsinBsinNCAB_4即I2BC.(11Qsin【2,解得BC=8sin-eJ=8cose,所以3。-4)=4卜6+生皿卜竽而(呜).又HO部所以呜冷当且仅当6+21,即J时，sin,小取得最大值1,32oV5)所以8C-AD的最大值为苑.313. (2024山东济南二模)如图，在平面四边形A8CQ中，BClCD,AB=BC=近,ZABC=,120o)2+(2)2-222-=6,gpC=6.又BC上CD,所以NACZ)=60,在AAOC中，由正弦定理可得=一显一，得SinNAoC=立.sin60osinZADC2因为ACVAD,所以0。乙

18、位心6+j2242sinZABD=3+2sinZABD,当？ABD90?I,SmaX=6+2,即四边形ABCO面积的最大值为6+2.14. (2024湖北武汉模拟预测)已知锐角JlBC的三内角AB,C的对边分别是,b,c,且b2+C2-(bcosC+ccos)2=be,(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为J,求秘的取值范围.【答案】(呜(2)(6,9【分析】(I)由余弦定理将CoS仇CoSC化成边，化简再结合余弦定理可求得答案;(2)利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】(1)Qb2+c2-(Z?cosC+ccosB)2=bc,由余弦定理可得ZZ+T历土土

19、丝工+c=生=bc,I2abZac)化简整理得b2+C2-cr=bc5Cb2+c2-a2=2bccosA,cosA=,V0A,22所以Aq(2)因为三角形外接圆半径为/?=6，所以b=26sin8,c=23sinC,2jrbe=2snsinC,由(1)B+C=,所以be=12sinBsinC=12sinBsin(会一B)=I2sin/cosB+sinB=63sinBcos+6sin2B=33sin2B+3(l-cos2B)因为d8C足锐角三角形，且5+C=?r,-1rJTCTrTtGC751(Cn11I-所以一B一,一2B,一sin2B1,62666216).6,解得CD=4,2226235所

20、以ABCD的面枳Srcd=-a-CDsin-=-2-=-.bcd2645516. (2024广东梅州二模)在8C中，角A,B,C所对应的边分别为,htc,岛COSB-ASinA=岳,c=2,B(1)求A的大小:(2)点。在5C上,(I)当AZ)IAB,且AO=I时，求AC的长;(II)当BD=2DC,且AO=I时，求一A8C的面积SABC【答案】(I)A=与83+4C32+3-:SABC：【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA的值，结合AW(O,力即可求解A的值：(2)(I)根据锐角三角函数和互用公式可得CoSNABC=某=,sin48C=黑=W,sinC=

21、-W+坐正弦定DlJ55IU5理即可求解.(II)采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决.【详解】(1)因为OacosB-bsinA=Qc,所以由正弦定理可得GSinACOs8-sinBsinA=QsinC，又SinC=Sin(A+8)=SinA8sB+8sAsinB,所以-SinBSinA=有COSASin8，因为8为三角形内角，SinB0,所以一sin4=GcosA,可得tanA=-JJ,因为AW(O,11),所以A=竽；(2)(I)此时AB=2=2AD,AD,1.AB,所以OB=yA2+AD2=卡,所以cosZAFC=-=-=,sinZ4BC=-=-j=,sinC=sif+BD5BD5I

22、在“WC中，由正弦定理UJ.得4CsinZ.ABCABACABsinZASC=AC=sinCsinC2834515111105（三）设NCAO=，由SA8c=S+Sow,可得V=2sin母一a)+。Sin,化简可得疯?-bsina=2sin咛一a)bCD2BD有SinZADCsinasinZADBsin(生-a)，bsnasinZADB_1由于班=20C,所以sin兀小=耳，所以武n22X息3Shla=亚Sina2Sina3则SAflC=-bcsinA=3员6bc2417. (2024广东广州一模)记IiABC的内角A,B,C的对边分别为叫b,Jt3C的面积为S.已知S=-(a2+c2-h2)

23、.求8；(2)若点。在边AC上，且NAW)=AD=2DC=2f求二ABC的周长.【答案】(1)日；3+2J【分析】（I）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合8的范围，即可求得结果：（2）利用平面向量的线性运第及数量积运算，求得AaBC,即可求得三角形周长.【详解】（1）由S=-手（/+?一/），则gasin8=-2accos5,tanB=-/3又5（0,11）,故B=g（2）由（1）可知，B=,又NABO=，则NCBO=E;326由题可知，AD=2DC=2.1O1故BO=BCfCQ=BSgCA=3C+（3A-8Cj=8C+3A,所以8ABQ=84产30+1.zm=J-1.=O,V3

24、3J33因为。工0,所以a=c,A=c=t6在RtZXABQ中，c=ADcos-=3,6故二ABC的周长为A8+8C+AC=6+J+3=3+2J.18. （2024广东佛山模拟预测）在a48C中，角4优。所对的边分别为也c,其中=l,cosA=.求角4的大小；（2）如图，。为8C外一点，AB=BD,ZABC=ZABDt求Sm/，器的最大值.SinZCDB【答案】（I）B=?6【分析】(1)根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果;根据题意,由正弦定理可得黑需二登,再由余弦定理分别得到302,再由基本不等式代入计算，即可得到结果.一a【详解】(1)因为。=1,所以CO

25、SA=*J,2b由正弦定理-7=-4=r7,可得cos4二空里二警SinAsn11SinC2sinB整理可得2sinBcosA=2sinC-SinA,又因为SinC=Sin(A+8)=SinACOSB+sinBcosA,化简可得SinA=2sinAcos瓦而SinA0,则COS8=/,又8(0,11),则3=1.2(2)在ABCO中，由=可得.,八Asm3SinZCDBSinZCBDrsinZCDB=BCSinNCA8ACIsin-fi11ZCAB=-crlsinZCABCD所以=,SinNCOBAC设AB=BO=(0),由余弦定理CO?=BA2+BCFBABCcosZCBD，AC2=BA2+

26、BC2-2BA-BCcosNCBA，可得CD?=/+，C2=r2+l-r,i=!il=1+_求乂BC的面积.【答案】(1)6SM.邛4【分析】(1)由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得/(x)=2sin(2A+5),再结合三角函数的值域计算即可求得；(2)由题中条件计前可得A=,再由正弦定理得b+c=#,由余弦定理可得从=1,再由三角形的面积公式计算即可求得.【详解】(1)f(x)=tn-/2=2sinAcosA+(3sinA+3cosA)(cosA-sinA)=sin2A+3(cos2A-sin2A)=sin2A+3cos2A=2sin(2A+?mvf4冗2c-1I/4加25c因为A

27、W7T，所以2A+e，所以当24+W=,即A=E时，f()有最大值2立=J1.3362(2)因为f（八）=0,所以2sin(24+W)=0,所以2A+二EMZ,因为AU,A,所以4=弓，6332R-c1.-6-2由正弦定理得：2一SinA一避一，T所以sinS=2=2,SinC=-=-,2R22R2又因为sinB+sinC=池,所以%=或，2222所以b+c=，由余弦定理有：a2=b2+C2-2bccosA，即3=(b+c)2-36c,所以Zc=1,所以SZMBC=B尻SinA=gl*=乎.20,(2024广东一模)设锐角三角形48。的内角4仇。的对边分别为也叫已知人一08$人=%8558$。

28、.求CoS8：若点力在AC上（与AC不重合），且C=WC肛求而的值.【答案】（IN(2)2+有【分析】（1）根据条件,边转角得到SinB-SinCcOSA=2sinAcosBcosC,再利用sinB=sinAcosCcosAsinC即可求出结果；(2)根据题设得到NO8C=C=5,进而可求得A=工，NABD=三再利用%=A，即可求出结果.41212AABD【详解】(1)b-coosA=2coscosC,得到SinB-SinCCoSA=2sinAcosBcosC,XsinB=sin(11-A-Q=sin(A+Q=sinAsC+cosAsinC,所以CoSei11A=2sinAcosB8sC,又三

29、角形ABC为锐角三角形，所以SinAHO,c。SCH0,得到l=2cos8,即COS8=耳.(2)因为ZADB=2NCBD,又ZADB=ZACB+NCBD,所以乙ACB=NCBD,则BQ=CQ,所以ZDBC=C=-,4由(1)知，B=,则A=11-E乙二生，ZABD=11-=-f33412212121 CCr八瓦.7C5TlTlJT八cBCBDsmsinAsinsinsin-cosI则空=Eg2=124=_建=_!_,ASABD-1.5DsinsinC-sinsin-sinsintan21212412121211,1111、tan=tan(尸一1243,33所2以1+21. （2024辽宁二模

30、）在二Aee中，D为BC边上一点、,DC=CA=Xi且“8面积是面积的2倍.若AB=&D，求A4的长;求整的取值范围.【答案】（1）1【分析】（I）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出钻,4。的表达式，最后根据正弦定理求出更工学的表达式,SinB利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设BC边上的高为AE,垂足为E,因为二ACo面积是AABO面积的2倍,q-CDAE.a所以有#=2=8O=n8C=q,3八的-BDAE222设AB=2AD=XnAD=x2由余弦定理可知：19211121.AC2+BC2-AB2AC2+DC2-AD21+7

31、Vl+1?XcosC=-=2ACC2ACDC-32112解得K=I或X=T舍去，即AB=1；13(2)由(1)可知5O=-,5C=-,22设ZAr)C=6,由DC=G4nND4C=Z/U)C=C=11-27且由余弦定理可得：AD=l2+l2-2llcos(11-2|9)=2+2cos29=2+2(2cos2-1)=2cos,AD2cos6所以由正弦定理可知：ABADSinZADBsinZADBsinBsinB所以cos。e(0,1)ncos21n24H25=245,cosCOS-Vcos.sinZADB5.r1llsinZADB-m,-i5于是后因此一f一的取值也围为:，+8.SinB4Sin

32、B(4)22. (2024黑龙江齐齐哈尔一模)记ABC的内角AaC的对边分别为。也C,已知8=,4/叫。SC=2c+2tz.4求tanC；3(2)若/BC的面积为5,求BC边上的中线长.【答案】(l)tanC=g当.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tanC(2)根据三角形ABC的面积求得比，根据同角三角函数的基本关系式求得SinACOsA,利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC边上的中线长.【详解】(1)由正弦定理可得,所以4sin8cosC=VSinC+2SinA,SinCSino即20COSC=sinC+2sinA,又A+B+C=兀，所以2CoSC=5sinC+2sin

33、：+C)=2&sinC+y/lcosC,整理得l2cosC=2JSsinC，解得tanC=；(2)依题意，csin=-ac=-解得c=3五，2222l.(311-1-tanCC又tadtan=一3,sinA_所以A为钝角，所以由，cosA*,sin2A+cos2A=1解得SinA=V=,cosA=-=,10101由正弦定理可得=：吟=W，又c=3,aSiiiAJ310也所以=3,c=,b=Wk=产-=6,SinC1忑设8C的中点为。，则AO=g（43+ACj,所以=1.（AB+AC）2/2+2皿9=2+5+2乂必岳赤）444所以8C边上的中线长为直.223. （2024重庆模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为l7m）测量重庆瞰胜楼的高度,测角仪底部A和瞰胜楼楼底。在同一水平线上,从测角仪顶点C处测得楼顶M的