2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题.docx

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1、2024圆锥曲线定点、定直线、定值问题定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线1.y=kx+m与椭圆C相交于4,B两点(A,B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.22【标准答案】由题意设椭圆的标准方程为=l(ab0)a3+4/+3+4/+3+422+-2k7/m2+16/wA+4A:2=(),解得班=-2Kw2=万，且湎足3+4公一机2o当机=2女时，/:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22当m二时，

2、ly=k(x一一)，直线过定点(一,0).综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).72、已知椭圆C的离心率e=*,长轴的左右端点分别为A4-2,0),A2(2,0)o(I)求椭圆C的方程;(II)设直线x=my+l与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A?Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。b2,X2V2a+c=3,a-c=,a=2,c=yb1=3-F-=1.43(y=kx+m22得(3+4公)f+8出+4(62-3)=0,+=143二64m2k2-16(3+4公)(w2-3)0,3+42-m20.Smk4(n

3、2-3)3+4/=3+必2yiy2=(履1+w)(kx2+加)=Zr2X1X2+mk(xlx2)+m2=T3+4Zu以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kAD=-1,A=-1,xl-2X2-2(最好是用向量点乘来)乂+X-2(%x2)+4=0,3(14公)4(加-3)16。解法一：(I)设椭圆C的方程为m+t=l(ab0)oab*a=2,q=-=,：.C=事,b2=a2-c2=1).7分取m=l,得P停q(0,T),直线AF的方程是y=x+g,直线AzQ的方程是y=；XT交点为，(4,1).，若交点S在同一条直线上，则直线只能为，：x=4。8分x,._.以下证明对于任意的m,直线AF与

4、直线A2Q的交点S均在直线/:x=4上。事实上，由1+y得X=my+1(my+1)2+4y2=4,即(11?+4)y?+2my-3=0,记P(xl,y1),Q(x2,y2),则AF的方程是y=B-(x+2),A?Q的方程是y=(x2),消去y,得(x+2)=上(x-2)Xj+2x2-2x+2x2-2以下用分析法证明x=4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明且=趣工，即证x1+2X2-23y1(my2-l)=y2(myl+3),即证2my,y2=3(y1+y2).:2myly2-3(y1+y2)=；=0,，式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线：x=4上。m+4m+422解法三：（三）庄

5、I-)(-2-)=-2=-441616综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(,0)。13分424、已知椭圆的焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线炉=4)，的焦点，离心率。=一广，过椭圆的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线/,交椭圆于A、8两点。(I)求椭圆的标准方程；(II)设点M(m,0)是线段QF上的一个动点，且(MA+M8)J,A8,求用的取值范围；(In)设点C是点A关于X轴的对称点，在X轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：(I)设椭圆方程为J+a=l(bO),由题意知b=l2Y=Y=5故椭圆方程为+y2=1（三）由(

6、D得尸(2,0),所以0n2,设/的方程为y=-工一2)(AwO)2代入弓+y2=,得(5公+1口2-2042%+2(汰2-5=0设AaPy必)，则X+20222OP-55r+1区-5公+1，,+必=Z(Xl+x2-4),y-=A(Xl-X2).MA+MB=x-117,y1)+(-w,y2)=(x1+x2-2M,y1+y2)9AB=(x2-xvy2-yl)(MA+MB)AB,:.(MA+MB)AB=0,.(1+x2-2nr)(x2一%)+(%-X)(乂+%)=。20k2,收Z0cXi2八m八八85A2+15+18-5m5Q当0加时，有(M4+MQ)J.AB成立。(III)在X轴上存在定点N,0

7、),使得C、B、N三点共线。依题意知C(X1.M),直线BC的方程为广言仙令=则*12+=暗针/的方程为y=Z*-2),A、8在直线/上，y1=女(F-2),y2=k(x2-2)x=k(x+2)-4k(x+x2)-4kkx-l)x2+k(x2-l)xl_2Ax1x2-2k(x+x2)20k22Ok5k2+-4k亚i=*.在X轴上存在定点N(3,0),使得CBN三点共线。22解法二：（三）由(I)得注(2,0),所以02设/的方程为y=Z(x-2)伏。0),尤2RAy+/=1,得(5k2+I)X2-20k2+205=0设A(xl,y)B(x2,y2则20k220/一5Xx+x2=;,XX2=勺2

8、5A:2+1,25k2+14k5F+y1-y2=(x1-x2)；(MA+MB)AB,.MAI=IM81,(x1-w)2y1=y(x2-m)2+y2,.(x+x2-2根)(玉一z)+(X+%)(%一%)=，(l+r2)(xl+x2)-27i-4k2=O,(8-5ni)k2-tn=O.m=8尸5&2+18_5(5/+1).AwO,Q.当Omg时，有(KA+MB)_1.AB成立。(In)在X轴上存在定点N(,O),使得C、B、N三点共线。2设存在N(r,O),使得C、B、N三点共线，则C8CN,CB=(xj-x29y2+ylCN=(t-xl,yl),(2-x1)y1-(r-x1)(y1+y2)=0即

9、(x2-%,)(x1-2)-(t-xl)k(xl+x2-4)=0.,.2xix2-(r+2)(xl+x2)+4f=020户一520户SS.-.2,j-(r+2)F-+4r=0,=士存在N(e,0),使得C8N三点共线。5公+15二+1226、(福建卷)已知椭圆工+y2=的左焦点为RO为坐标原点。2(I)求过点。、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程；(II)设过点尸且不与坐标轴垂直交椭圆于A、8两点，线段AB的垂直平分线与X轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：(I)./=2,从=l，c

10、=l,R-l,0),/：x=-2.圆过点0、F,.M在直线x=-g上。113设M(5),则圆半径=(-)-(-2)=1.由QW=r,得(一；)2+=|?解得t=啦.所求圆的方程为(x+(y2)2=-.24(Ii)设直线AB的方程为y=以+l)(女工0),代入y+=l,整理得(1+2k2)x24lc2x+2公一2=0.直线AB过椭圆的左焦点F,.方程有两个不等实根。.4女2记4再，%),8(工2，%)，48中点*0，%)，则%+居=2二+1.AB的垂直平分线NG的方程为y%=(x-令y=0,得K2kXg=X0+ty0=-+=+2k2+2k2+2k2+24/+2kO,.-g%0,焦点用（一0）、为

11、G）,设过网的直线？的倾斜角为劣,交椭圆于A、B两点，求弦长I。图1解：连结的AFR,设Fp4=x,MlBI=IX,由椭圆定义得网引=2-x,F2B=2a-yf由b2余弦定理得,+(2c)-2x2ccos=(2-x)2,整理可得,=以一CCoSa,同理可求得b2y=a+ccosa1则弦长/2而2IASl=x+y=I=-22-a-ccosca+ccosaa-ccosao1E2ab2AB=-555-同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为a2-c2sm2a为半焦距）（a为长半轴，b为短半轴，c结论：椭圆过焦点弦长公式:AB=2:（焦点在X轴上）以-ccosa/暇厂,（焦点在声由上）.a-csina二.

12、双曲线的焦点弦长22-=l（a0,0）zrz设双曲线a2b2,其中两焦点坐标为尸1（一小倾斜角为口，交双曲线于A、B两点，求弦长AB0），玛（0）,过用的直线寸的bbarctanccV九一arctan解：（1）当a以时，（如图2）直线？与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连角4眄设IFIH=心FB=yf由双曲线定义可得F2A=2a+xfF2B=2a+y,由余弦定理可得/+(2c)?-2x-2ccosa=(2+x)2整理可得b2b2X=y=a+ccosa,同理a-ccosaf则可求得弦长/2必IA5=x+y=1=22-a+ccosca-ccosa。一CeOSaoOaarctan11-arcta

13、n-ay-整理可得+ccosaCCOSa-a,则/2ab2I网f+a+c=PZT因此焦点在X轴的焦点弦长为AB=2ab2zbb、：77(arctan-11-arctan)a-ccosaaa2ab2*b、5y(0carctanarctana11).ccosa-aaa同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式(arctana11-arctan)bb(0aarctan或乃-arctan-bba求弦长AB?(图4),0)图4的直线？相交于A、B两点，若？的倾斜角为c,解：过A、B两点分别向X轴作垂线4、BBi，A1.为为垂足，设I刚l=x,I烟I=乙则点A-FxCOSCK-VCOSQI的横坐标为2,点B横坐标

14、为2,由抛物线定义可得+xcosc+-=Xl22-V-cosc+-=y22X=-,y=即I-COSCKP1+COSCK45=*1同理y=2px的焦点弦长为Ilsn2。2A=2|切x=2py的焦点弦长为I1.c0s2a,所以抛物线的焦点弦长为A5=,2团sin2a2p.cos2a(焦点在#由上)(焦点在肉上)由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(。,3为圆心的同心圆系方程：(x-a)2+(y-b)2=2(0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为：x2+y2Dx+E+=02、过直线Ax+By+C=

15、O与圆/+y2+D+Ey+F=O交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+EyF+(Ax+By+C)=O(2R)3、过两圆C；:/+y2+gy+=o,C?：/+V+A%+Gv+乃=0交点的圆系方程为：X2+y2+Dlx+Ey+F+(X2+2+D2x+E2y+)=0(-1,此圆系不含C2：+y2D2x+E2y+K=O)特别地，当力=-1时，上述方程为根轴方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆G和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程：/+),2+0“+骂+耳+(0加+(g_%+(耳g)=0二、圆系方程在解题中的应用：1利用圆系

16、方程求圆的方程：例1求经过两圆V+/+6k4=0和V+/+6y28=0的交点，并且圆心在直线尸尸4=0上的圆的方程。解一：求出两交点(-1,3)(-6,-2),再用待定系数法：1.用一般式；2.用标准式。(注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。)解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1 .两交点的中垂线与直线相交；2 .过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3 .两圆心连线与直线相交。解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。例1、求经过两圆x2+3x-2=。和3/+3寸+2X+y+1=O交点和坐标原点的圆的方程.解：方法3：由题可设所求圆的

17、方程为：(x2+y2+3x-y-2)+(3x2+3y2+2x+1)=O：(0,0)在所求的圆上，J有-2+4=0,从而；I=2故所求的圆的方程为：(/+y2+3-y-2)+2(3/+3r2x+y+l)=0即7x27y27Xy=02、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2(1)：求过两圆Y+y2=5和(XT)2+(y-l)2=16的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：

18、圆/+/=5和Q-1)?+(y-1)z=16的公共弦方程为2x+2y-ll=0过直线2x+2y-ll=。与圆d+y2=5的交点的圆系方程为x2+-25+(2x+2y-ll)=0,BP+y2+2x+2y-(1U+25)=0依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(一九一必在公共弦所在直线2x+2y-ll=0上。即一24-22+11=0,则几=口4代回圆系方程得所求圆方程*-尸+(y?)2=?4 48例2(2);求经过直线/：2x+y+4=0与圆C：，+y?+24y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.解：设圆的方程为：2+y22x4y12(2x+y+4)=0

19、即X2+/+2(l+2)x+(-4)+(1+4=O则r2=14(1+2)2(2-4)2-4(1+4)=|)2+p当义=时，/最小，从而圆的面积最小,故所求圆的方程为：5x2+5y2+26x-2y+37=0练习，1.求经过圆V+/+8尸6户21=0与直线方7=0的两个交点且过原点的圆的方程。(常数项为零)2 .求经过圆，+/+8尸6尸21二0与直线方户5=0的两个交点且圆心在X轴上的圆的方程。(圆心的纵坐标为零)3 .求经过圆V+V+8r6+21=0与直线尸产5=0的两个交点且面积最小的圆方程。(半径最小或圆心在直线上)4 .求经过圆V+/+8尸6尸21=0与直线尸产5:0的两个交点且与X轴相切

20、的圆的方程；并求出切点坐标。(圆心到X轴的距离等于半径)3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆f+V+-6y+m=O与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为坐标原点,若OP1.OQ,求实数m的值。分析：此题最易想到设出P(X,乂),。2，%)，由。P1.OQ得到MX2+Y%=0,利用设而不求的思想,联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OP，0。，不难得出。在以PQ为直径的圆上。而P,Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线x+2y-3=0与圆/+/2+工一6)，+根=。的交点的圆系方程为：X2+y

21、2+x-6,+w+2(x+2y-3)=O,即xy+(1)x+2(3)y+w3=O.依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心(-+，3-显然在直线上+2y-3=0上，则-11+2(3-2)-3=O,解之可得；1=1又。(0,0)满足方程，则机一3/1=0,故机=3。24、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4圆系Y+V+22*+(4&+o)+ok+20=O(攵R,%-l)中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：X2+y210y20:(2x4+10)=O2x+4v+10=Ox+2y+5=O与无关；即J,x2+10y+20=0x2+(y+5)2=5易知圆心(0,-5)到直线X+2y+5=0的距离恰等于圆Y+(y+5)2=5的半径.故直线上+2y+5=0与圆Y+(y+5)2=5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切.总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程,减少运算量，收到事半功倍的效果。