微专题14 幂函数与对勾函数（解析版）.docx

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1、微专题14塞函数与对勾函数【方法技巧与总结】知识点一、塞函数概念形如尸犬的函数，叫做幕函数，其中为常数.知识点诠释：幕函数必须是形如卢Xa的函数，累函数底数为单一的自变量X,系数为1,指数为常数.例如:y=3xy=W+I,=(-2)2等都不是累函数.知识点二、嘉函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：(1) y=x；(2)y=x；(3)y=x2；(4)y=xi；(5)y=X3.知识点诠释：箱函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的事函数在(0,”)都有定义，并且图象都过点(1/)；(2) O时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函

2、数.特别地，当l时，幕函数的图象下凸；当OVaVl时，幕函数的图象上凸；(3) OO)当%X),2人*)5+卜2而(当且仅当OX=身当“0时，丁=奴+2.25/拓，(当且仅当工=/2取等号)，即/()在XNaX=仁时,取最小值2J拓；由奇函数性质知：当x0时，/3在X=-Qg时,取最大值一2疑；当v,v时,类同.【题型归纳目录】题型一：器函数的定义、性质与图像题型二：对勾函数的图象及性质【典型例题】题型一：骞函数的定义、性质与图像例1.已知函数八4)=卜产后)，若函数/O)的值域为R,则实数。的取值范围为()x(x0时，y=?的取值集合为o,+oo),/()的值域(-ool30,)hR,不符合

3、题意,当w时，函数y=V在(-8M)上单调递减，其函数值集介为(/,+8),因函数X)的值域为R,则有-蚯/,解得To0,所以实数。的取值范围为-l,0故选：D例2.已知wR,则函数K）=告的图像不可能是（）【答案】A【解析】根据/）二一二可知x2+l0,所以当x0时，xttO,即八外0,故选项A错误，而X2+1当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A例3.已知辕函数y=（）的图象经过点尸（4,；则二力的大致图象是（）【答案】A【解析】设四函数为Fa）=X,因为幕函数y=()的图象经过点Pd5)所以4二；,即220=2，解得a=-,2所以/()=XJ故y=()=2=-r,定义域为(0,+

4、8),故D错误；x3定义域不关于原点对称，y=(x)为非奇非偶函数，A,B错误；f则函数的定义域为(0,+),所以排除CD,因为=-g0时，fM12(好用-3m+3)EfH$在(o,+g上单调递减，则机的值为【答案】2【解析】因为函数/(%)=(-36+3)/6是事函数，则有加2-3wh3=1，解得TM=I或w=2,当帆=1时，函数/O)=X在(0,y。)上单调递增，不符合题意，当帆=2时，函数/(%)=N”在(0,供)上单调递减，符合题意.所以小的值为6=2故答案为：2例7.已知幕函数/(x)=-2-3(PeAr)的图像关于),轴对称，且在(0,+8)上是减函数，实数满足(/-1户(3+3)

5、匕则。的取值范围是.【答案】14【解析】丁某函数f(x)=x*22(ptN)在(0,+8)上是减函数,p2-2p-30,解得7p3,.pwN”,p=l或2.当P=I时，/(x)=为偶函数满足条件，当p=2时，/(力=元3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(/_卢(34+3)?，即(/一1尸“力=，在R上为增函数，.3+3,解得：la0,若mbR,且f()+f(3”=”或V).【答案】0,X1X2所以函数/(刈在(0,+8)上单调递增，所以f(力二丁，(-x)=(-x)3=-,所以函数二/是奇函数，且为增函数，因为“)+S)O,所以G-（八）=(询，所以4V-/?,即+bO.故答案为：一5加+3

6、)犬的定义域为全体实数R.(1)求/(力的解析式；(2)若/(x)3x+l在卜1上恒成立，求实数&的取值范围.2【解析】(1)./()是哥函数，24-5加+3=1,.5或2.当阳=5时，/()=R,此时不满足/(x)的定义域为全体实数R，:/72=2,:f(X)=X*.(2) ”x)3x+ZT即/_3彳+1_&0,要使此不等式在上恒成立，令g(x)=Y-3+l-仙只需使函数g()=2-3x+l-4在上的最小值大于0.g(x)=V-3+ld图象的对称轴为X=K故g(x)在-1,1上单调递减，g(x)min=g(l)=一左一1.由一10,得&-1,实数k的取值范围是(f-1).例10.已知黑函数f

7、(x)=V/2(mez)是偶函数，且在(0,+8)上是减函数，求函数/(x)的解析式.【解析】因为幕函数/(X)在区间(0,+)上单调递减，则相2-机-2v0,得利C(T,2),又TmwZ,/=0或1.因为函数%)是偶函数，将m=0,l分别代入，当帆=0时，w2-,m-2=-2,函数为/(X)=X”是偶函数，满足条件.当/W=I时，m2-m-2=-2,函数为/(x)=x=是偶函数，满足条件.J(x)的解析式为了(力=/.例11.已知事函数/*)=(m+l)2+4f+2在(0,+oo)上单调递增，函数g()=2T+h(1)求实数?的值；(2)当xe-1,2)时，设/(x),g(x)的值域分别为4

8、,B,若AB=B,求实数k的取值范围.【解析】()./(外=(”+内-为幕函数，.(阳+|),解得/W=O或帆=-2,当m=0时，/*)=/在(0,+)上单调递增；当m=-2时，f(x)=x2f在(0,内)上单调递减，：.WJ=O;(2)由(1)得f(x)=,.d-l,2)时，A=0,4),飞(幻=2-=(；)+%为R上的减函数，.当Xw1,2)时，B=+k,2+k,B=B,BA,一十。解得-Av2,2+k(+l),则实数。的取值范围是.【答案】【解析】由题意可得，3=3,所以=g,所以基函数Fa)二4.可知函数/(X)=正在0,+8)上单调递增，-a0由一)M+l),得5+l0,-aa+解得

9、：1.2故答案为：3；Tl|题型二：对勾函数的图象及性质例13.因函数y=+=(O)的图象形状像对勾，我们称形如“y=x+；(，0)”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在倒，上是减函数，在(，芹)上是增函数.若函数?(X)=X+;xl,2,求(司的最值；(2)已知/(x)=2x+J-r-5,x1,3,利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(3)对于(2)中的函数f(力和函数g(x)=d-皿+4,若对任意NwI,3,总存在x2w1,3,使得g(9)=)成立，求实数机的取值范围.【解析】由题意知，函数=十在IN单调递减，(=(2)=2+2=4,M/X=MI)=5；4(2)/(x)=2x

10、-l+4,令21一1二%，2x-14Vlx3,lm5,W1Jf(x)=k(fn)=m+4,由对勾函数的性质，可得Mm)在1,2上单调递减，在(2,5上单调递墙(x)在上是减函数，在声上是增函数，/=1，/(1)=。，3)g3综上可得，/()的单调递减区间为Iq,单调递增区间为93,值域为04；9|(3)rtl(2)11(1)0,-时，若存在再叩，3,使得g(w)=(5)成立，只需g)=fTnr+4在xl,3上值域包含o则分成以卜四种情况：-1Y32g(3)0;,m_I32,mC132Zg()0;,g()*,0)的图象形状象对勾，我们称形如y=+(6)”的函数为“对勾函数该函XX数具有性质：在(

11、0,上是减函数，在(,+8)上是增函数.(1)已知/(x)=2x+-5,xel,3,利用上述性质，求函数外”的单调区间和值域；2x1(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=x2Tm+4,若对任意N1,3,总存在1,3,使得成立，求实数机的取值范围.4【解析】(1)/(x)=2x-l+-42x-142r-l=w,VIx3,/.1w5.z4则f(x)=h(m)=n+4由对勾函数的性质，可得Mm)在1,2上单调递减，在(2,5上单调递增，/(力在1,上是减函数，在(弓，3上是增函数./O)”/$430综上可得，/(X)的单调递减区间为1,、,单调递增区间为(1,3,值域为0,b91(2)由(

12、1)知0,-时，若存在x2eU,3,使得虱*2)/6)成立，只需g(x)=xlmr+4(x+一)最小位,令(X)=X+,(x)在1,2上是减函数，在2,3上是XX增函数“(X)最小值=(2)=4,.*.n4.即实数m的取值范围为(4,+oo).例15.已知(双勾函数)/(x)=x+(a0),(x,x0).6X(1)利用函数的单调性证明“力在(。，&)，(&+句上的单调性；(2)证明f(X)的奇偶性：4(3)画出g(x)=x+,(xR,XHO)的简图，并直接写出它单调区间.【解析】(1)设。再/，XvX1X2XlX2则Xy-X20,当ON2右时，中2，则MW-，即小)，此时函数/(x)为减函数，

13、当天时，X1-V2a,则xrr2-a,。，则/(5)一/(9)。，即/(小/，此时函数/()为增函数.(2)/(-X)=一已一0+|二一/(江则函数/(力为奇函数.(3) rt(1)知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图:由图象和性质知g(x)的单调递增区间为(2,+8),(-,-2),单调递减区间为(-2,0),(0,2).例16.形如/(x)=x+3(0)的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数具有如下性质：该函数在X(0,G)上单调递减，在(&,+8)上单调递增.已知函数/(%)=1+/30)在2,4上的最大值比最小值大1.则=.【答案】4或6+4应【解析】由对勾函数的性质，可得外

14、力在(。,&)上单调递减，在(而,+)上单调递增.当五2,即04时，/(x)在2,4上单调递增，ma-U)min=(4)-(2)=4-2-=2-=l,解得。=4；当后4,即016时，/(x)在2,4上单调递减,ma-min=(2)-(4)=2+-4-=-2=l,解得a=12(舍去)；当2&4,即40)在(-,-)和(,+)内均为增函数，在(-a,0)和(0，。)内均为减函X数.若勾函数/)=+2(fo)在整数集合Z内为增函数，则实数/的取值范围为.【答案】(。，2)t0V2即.0)(2)【解析】根据题意“可在内为增函数；要使“可在整数集合Z内为增函数，则0r4+/2+上解得02,.实数f的取值

15、范围为(0,2),故答案为(0,2).+2【过关测试】一、单选题1 .已知事函数y=/七T(mtN)的图象关于)，轴对称，且在(0,+8)上单调递减，则满足(+l)号v(3-2)号的。的取值范围为()【答案】D【解析】靠函数y=-2*3(7wN)在(0,+8)上单调递减，故病-2吁3v0,解得TV切V3.又weN故m=l或2.当m=l时，y=的图象关于y轴对称，满足题意；当用=2时，y=j的图象不关于y轴对称，舍去，故/=.不等式化为(+l)T3-240或0+l3-24或+lvv3-24,解得玉0，则/=/(/)一F(Xl)x/C./(X)为偶函数D.若士2。，则/(亨【答案】D【解析】设/)

16、=,将(2词代入得：2“=0，解得：。=；，0,+8),故/()不是奇函数也不是偶函数，AC错俣；因为&%0，所以/(：)=，/(%2)_/(N)=后-工ffiVE+o,/)+&)=+(),由于,二)所以f(x)=/,定义域为上，B错误；x)x0,则当n=T时，m-2=3,则/(X)二/在(0,y)上单调递减，不合题意;I2；V22|/(内)+/(%)丁二4+37(2J2J-2后的I42Z故选：D4.己知函数f(x)=(-加一1)/八BIA.-IB.2【答案】B【解析】因函数/(x)=(病一m_1口于是得：1,解得Wi=2,m+m-30所以利的值为2.故选：B2亚+X+&%+%+2JxW224

17、/),故7(詈)/(为)；/(*)D正确.-3是幕函数，且X(0,+OC)时，AX)是增函数，则机的值为()C.-1或2D.3川+*3是辕函数，且Kr)是(0,位)上的增函数，5.已知0,若(+b)22+。22+2+b=O,则，=()A.-2B.-1C.-D.22【答案】A【解析】i-=k=b=ak,由(a+。)+22+2+力=O=(+%)2+202+勿+44=0产化+1严+Q+Q=on产(z+严+(2+2)=o,当(A+l)22+l=0且2+氏=00寸，即2=-2时，等式显然成立，当化+1严+IwO时，则有产=-7：)l；，因为0，7(4+1)+102+kYt12O21(R+1)1当2+A0

18、,即(A+1严(-1严因为函数y=X2021是实数集上的增函数，由(2+l)22(-l)202,=jt+l-l=jl+20,而与2+左o不成立，当2+Q0时，则有(A+1)2o2+1O,即(Al)2tmC(T)202I因为函数y=X2021是实数集上的增函数，由(k+1产(T)2=女+l0矛盾，所以依+1产+IvO不成立，综上所述：女二-2,故选：A6 .塞函数/(=(川-1)/+2-5在区间(0,一)上单调递增，且+bo,则/+/e)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】A【解析】由函数/(力=(/-1)/+2-5是塞函数，可得M-1=,解得加=2或m=.当m=2时,

19、/(x)=;当Tn=T时,f(x)=X6.因为函数/(X)在(0,+8)上是单调递增函数，故f()=V又+hO,所以4-h,所以“)f(询=-f(b),则f（八）+f(b)O.故选：A.7 .已知函数/(x)=3d+V+5x+2,（八）+(2-l)4,则实数。的取值范围是()A.6，内)B，)C.(o,3)D.(3,x)【答案】A【解析】设g(x)=(x)-2,R,则g(r)=3(r)+()+5(r)=-(3S+5)=-g(x),即g(x)为奇函数,容易判断g(x)在R上单调递增(增+增),又f()+f(27)4可化为,f（八）-2-f(2a-)-2=g（八）-g(2a-)=g(-2a),所以

20、-2,/.故选：A.二、多选题8 .已知辕函数了=/(耳的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有()A./(x)为偶函数B.7(x)为增函数C.若xl,则f(x)lD.若&芭0,则/国习J叫/【答案】BCD【解析】将点(9,3)代入函数/(%)=丁得：2=4，则=g,所以/W=J,fCO的定义域为。帝)，所以/S)不具有奇偶性，所以A不正确；函数/(*)在定义域0,+)上为增函数，所以B正确；当人1时，7,即/(),所以C正确；若x2NO时，7(-yl)+()2_f2(,+_+占+2J%/N+%42=2yJx-xl-x2E)_U44即/(、)；/()成立,所以D正确.故选：BCD.9 .已知

21、累函数/(x)=(w-2)/，则()A.n=3B.定义域为O,+8)C.(-1.5)w(-1.4D.T(2)=2【答案】AC【解析】/(x)为辕函数，-2=1,得m=3,.(x)=,A对;函数f(x)的定义域为R，B错误；由于/(x)在Rl二为增函数，-1.5-1.4,.(-1.5)3力，则下列式子一定成立的是().A.ac2hc2B.-b-cD.妫孤ab【答案】CD【解析】对A,令c=0,此时满足。，但讹2=*2,故A错；对B,令=l,h=-2f此时满足方，但故B错；ab对C,因为ab,由不等式性质可得。-cb-c,故C正确；对D,.),=，是R上的单调递增函数，.“”时，成立，即也版,故D

22、正确.故选：CD11 .方程V+2x-1=0的解可视为函数y=%+2的图象与函数)，=!的图象交点的横坐标，若方程X4+r-4=0的各个实根AW，项(A4)所对应的点(，一)(i=l,2,左)均在直线y=x的同侧，则实数Xt可能取值是().A.8B.6C.4D.12【答案】AD4【解析】显然X=O不是方程/+以一4=0的根，故方程可等价于Y+=?,X4所以原方程的实根是y=d+与曲线y=的交点的横坐标，X曲线y=V+可看作是由曲线y=3向上或向下平移IaI个单位而得到,4上的交点为(-2,2),(2,2),X所以一/一2在-2,-Ko)上恒成立,或(r3-2)max=-(-2)3-2=6,或(

23、-x3+2)min=-23+2=-6,即实数的取值范围是(to,-6)_(6,+).故选：AD.三、填空题12.已知辕函数/(=-3XT在(0,+8)内是单调递减函数，则实数?=.【答案】-2【解析】由题点得，函数/)为兄函数Il.在(0,同内是单调递减，所以二*,解得-2.w-1O故答案为：-2.13.已知y=f(x)是奇函数，当x0时，/(x)=j+7(7r),贝Jf(-8)=.【答案】-4【解析】因为y=()是奇函数，当0时，/(x)=j3+”Gr),所以/(0)=0彳+?=0，得m=0,2所以/(x)=xx0,因为y=f()是奇函数2所以/(-8)=-/(8)=-8亍=-2?=-4故答

24、案为：-414 .设弃函数/)同时具有以下两个性质：函数/(x)在第二象限内有图象；对于任意两个不同的正数。，b,都有f)-f(b)轴对称，且在(O,+e)上单调递减，则满足mm(+l)下(3-24)-3的。的取值范围为.【答案】STJ信目【解析】事函数%/蚱N)在(O,+上单调递减，故M_2，-30,解得Tm3.inN,故w=0,1,2.当TW=O时，y=3不关于V轴对称，舍去；当加=1时，y=x4关于N轴对称，满足；当n=2时，y=7不关于y轴对称，舍去；故帆=1,g+l)T3-2。0或Oa+13-2。或+lvv3-2f,解得-1或.故答案为：(-8,-l)四、解答题16 .已知黑函数/O

25、)的图像过点(16,4).求g)+(2)的值;(2)证明：函数g(x)=*)-=是增函数.fM【解析】设某函数/(X)=V,将点(16,4)代入得16。=4,解得“-5,所以/(X)则/(3)+/考+=&(2)函数g*)=6的定义域为(0,+)设e(0,+8),且xNo,得一口0,则(一人)(1+=)O,即/(X)*2)0,)一加卜”用为偶函数，5(x)=(x)+(x0R).求y=()的解析式；(2)判断函数N=g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若函数y=g()在1,+8)上是严格增函数，求&的取值范围.【解析】因为/)=Q一力向为偶函数，所以2加-切=1解得7=1或?=当m=1时，/Cr)

26、=/为偶函数，满足题意当ZW=-T时，人劝=是非奇非偶函数，不满足题意所以/(x)=rg(x)=2-g(-x)=X2-(2)因为”,所以X所以当A=O时，g(x)=g(r),g(力为偶函数,当左0时，g(x)g(-x),g(x)-g(r),g(%)为非奇非偶函数，(3)因为函数y=g)在口，E)上是严格增函数，所以当内通21时，g(%)g(x2)，即M+S2+4X】x2所以X：一一J,(+w)(%FA&)2X2k因为$一工2。，所以内+%2，所以Z%2l,所以(XI+2)xX22,所以人218 .已知累函数/(力=(加一2加+2)/(丘2)是偶函数，且在(O,+oo)上单调递增.(1)求函数/

27、(力的解析式.(2)若2x7)v42-x),求X的取值范围.【解析】山/(“)是暴函数，则病一2m+2=1,解得切=1,又是偶函数,3炉=)(33)是偶数,又f(x)在(O，+00)上单调递增，则北一420,可得OVkV3,.k=l或2.综上，女=1,2,即/(x)=2.(2)由(1)偶函数/U)在【，+8)上递增，/(2x-l)(2-x)(2x-l)(2-x)Ol2x-l22-x2-lxl.”的范围是(一1,1).33由于-5玉0时，/;f(8)(【答案】ACD【解析】设塞函数/(x)=K,则9)=9=3,解得=g,所以人力二蚪，所以的定义域为0,+功，/(尤)在。,+巧上单调递增，故A正确，因为/(的定义域不关于原点对称，所以函数/(力不是偶函数，故B错误，