微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题（解析版）.docx

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1、微专题30三角函数中的3取值与范围问题b-ak11a+11+k11k11b+11+k11【方法技巧与总结】1、/(x)=ASin(公v+9)在/(x)=ASin(皿+区间(,。)内没有零点=b-ak11-a-t11+k11-b-同理，/(x)=ASin(5+8)在区间，口内没有零点b-ak11a+k11b+11+k11b-a-b11+k11-CD2、f(x)=Asin(fir+在区间(o,b)内有3个零点T攵万a-311+k11b+11+k11Tb-a2Tk11-I(k+)冗一(P(k+3)乃一b(k+4);T-同理G)=Asin(w+9)在区间,b内有2个零点工bi又237-b-a112k1

2、1a+211+k11b+311+k1112k11-k11+11-a-(4+2)万一w(k+3)兀-3、/(x)=ASin(S+9)在区间(4,6)内有个零点,k11+11-a-k11-(k+i)11-9b+1);T-同理/(x)=ASin(3X+0)在区间0,0内有个零点k11-k11+11-a-(k+n)11-9b0)在区间-任二上单调递增，则。的取值范围是(344A.(0,-B.(0,133【解析】解：当一工领k时，-cox-,-cyx+-+,444434343要使/(冷在-工，马上单调递增,4410T23111111(D342,得,11111169+432又00，例2.己知/(X)=si

3、nx+3cosx0)在区间军,上单调递增，则的取值范围是(64A.(0,B.(0,U,yC.7,y(Jy,19D.(0,IUm【解析】解：f(x)=snx+y3cosx=2sin(x)由2攵万一工效y+巳2k11+ZZ,W,-61k11+keZ62k11-即a领k2k11+2k11-鱼，即函数的单调递增区间为92k11+-,keZ、/O)在区间H上单调递增,645112k1162k11+-6.2k-52，co”8kH3即-5薮弘+1，tO,77.当攵=0时5轰物此时0%，上，33当斤=1时，7竺,39当左=2时，19热向16+-，此时不成立,3综上。的范围是。0)在区间-巳，生上单调递增，则的

4、取值范围为(643B.(0,-2【解析】解：函数/(x)=sin3x+马30)在区间-工,至上单调递增,6431111+一.4621111+362k112，keZ-+2k11230,当欠二O时，可得：0v,1.2故选：13.变式1.若函数/a)=sin(5-?)30)在区间(0卷)上单调递增，则3的取值范围是()A.(0,JB.1,C.1,2D.(0,2【解析】解：由2+2融zr工-+2k11,242Zh冗1k113eill3112k11,_得+瓢一+,AZ,44取左=0,得W瓢,4469.函数/(x)=sin(三-5)(0)在区间(0二)上单调递增,即磔，3.4322又0,.3的取值范围是(

5、0，|.故选：A.变式2.为了使y=sins30)在区间0,1上至少出现50次最大值，则。的最小值是()【解析】解：.使y=sinw(30)在区间0,1上至少出现50次最大值,z11Tiflll197211.491,即,144故选：B.变式3.(多选题)己知x),则/(%+。)=(工+一3)2$诃0+。),若f(x+)为偶函数,则-3=0且sin(x+)=sin奴r+),则=3,sinwcosa+cosftxsina=cos6/rsinasin皿COSa，必有cos0M=O,M3=k11+-f必有(D=竺+巴,(kZ)236当左=O时，69=当左=1时，ft?=,62故选：AD.变式4.若函数

6、y=sin(0x+e)(0O)的部分图象如图，则功=4【解析】解：由函数的图象可知，(%,%)与(小+工，-y0),纵坐标相反，而且不是相邻的对称点,4所以函数的周期T=2(0+?-XO)=所以T=X,所以0)在区间0,1上至少出现4次最大值，则G的最小值是与【解析】解：为J使函数y=sinw(30)在区间0,1上至少出现4次最大值，则取得最小值时，需有3r+r3211+21146y=1二答案为由.2变式6己知函数y=Asin3x+p)(ArO,30)在(工，工)上单调，其图象经过点(生，0),且有一条对434称轴为直线K=-乙，则3的最大值是5.4【解析】解：因为函数图象经过点(三,0)，4

7、所以73+*=k7,eZ,因为直线X=-乙为函数的条对称轴，4所以-50+0=+&万，A2Z,-可得=+g-与)乃，即啰=一1+2(勺一七)，由4-&eZ,0,可得0=1,3,5,.因为函数y=Asin(0),XWR,若/(x)在区间(4,2%)内有零点，则的取值范围是()A(；，6D(，+0)B.(OIU*DC(；,5)5卷，：)D(!,；)5!+8)oMOOOrnl-1(ft,、l-cos69xsi1169x12,乃、C/、八K汨(4&+1)万【I析】解：f(x)=+=sm(x)，由f(x)=0,可得X=(2Z),222244口Q7,令。=2得函数f(x)有一零点X=g,2),排除(B).

8、(C),8令o=之得函数/(%)在(0,物)上的零点从小到大为：X1=-,X2-.833显然不任(乃,2乃)，x2.(11,211),可排除（八）,故选：O例5.己知函数/(x)=GSinxcosftwr+cos%”-：，30,XeR),若函数/(x)在区间(夕不)内没有零点，A.(O,b-(,C.(O,-8【解析】解：函数f(x)=6sincosxcos2x，J3.Cl+cos26x=sin2x+22=sin(2O,即：sin(ir+)sin(2066Z乃、Csn(zy+-)0所以：(6,sin(211+)06解得：(0,-b12.Z九、Csm(zy+)06,sin(2M+)0,0r,/(x

9、),J(为恒成立，且/(幻在区间(0,工)上恰,44有两个零点，则3的取值范围是()A.(6JO)B.(6,8)C.(8,10)D.(6,12)【解析】解：依题意得了(?)为/(x)的最大值1,5/+8=2攵乃+，k6Z、eQ,11),.yw(8Z-2,8A+2)AZ又/(x)在区间(0,军)上恰有两个零点，0.2-T，0-T,44444即欠”丁2,即生工，解得6O,xR),若函数f(x)在区间(乃,2乃)内没有零点，则。的取值范围是()A.呜B.(0,1)C呜UI挡D.(哈5招【解析】解：/(%)=cosx+-si116Wx=sin(x+-).226令妙+匹=2乃可得X=一-ZceZ.66令

10、；r一-+2解得0+白vA2y+4，666.函数/(x)在区间(%,2%)内没有零点,，区间(口+,，20，(z)4,2y4)u(0,1)或(y+,2。+)u(1,2).66662d)4,1或掇WH269H2,666解得00,00,00,且Q(0,4),可得出(0,2).y=（）在区间（0,阴）上恰有3个零点，G+e（0,竺+8）88C3Hnr3TC(O7C.:.311一11+(p、Q11、l511-11+4118824l,115万11l11即一,即20vq,28.综合可得，690.当E时，2”、号号号由0,且(0,幻，可得yw(6,10).3乃3y=()在区间Q)上恰有3个零点，x+三(.-

11、11+),88C3Iiri35万(OTt.3万一/乃十6，44，l311-11+4,8824即4v0U2.综合可得，此时，（6,IO）.综上，结合可得，（6,10）.故答案为：（6,10）.变式9.已知函数/（x）=2CoS丝sin（经+马一,（30）,XeR,若/（x）在区间（乃,2乃）内没有零点，则的2262取值范围是_（。Jilu滞一【解析】解：由f(x)=2cos(sincos+cossin)-x15/3=.226262rr.xx=3smcos+cos22.1.sinx+-cosx=s1n(3+).26f（x）在区间（4,2万）内没有零点,.211-11=可得01.当xe(4,2)时，

12、x+-e(11+-9211+6611+-.2k116(女wZ),或_r.211+-,y2k11+1161111+-.211+116(AWZ)211+2k11+2116解得殁A+9(ZZ),或2&+3毁如k+-(k三Z),612612又Ovovl,.0V喝W或。射.12612.5的取值范围是(0,Utb故答案为：(0,变式10.已知函数/(x)=2sin(0(1)若y=(x)在-代,空上单调递增，求。的取值范围;43(2)令口=2,将函数y=f(x)的图象向左平移七个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(幻的图象,区间,h(a,bwR且vb)满足，y=g(x)在,切上恰有30个零点，求人一。

13、的取值范围.【解析】解：(1)对于函数f(x)=2sins,其中常数00,若y=()在_2，型上单调递增，43则侬(_2)_2，且公竺”军，求得打3,即。的取值范围为(0,4.423244(2)令=2,将函数y=(x)=2sin2x的图象向左平移巳个单位长度，可得函数y=2sin2(X+)=2sin(2x+2)的图象;63再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)=2sin(2x+g)+l的图象，JT1令g(x)=。,求得sin(2x+?=-5.2+-=2k11+，或2x+色=2k11+,%z,3636求得X=攵乃+胎或x=%r+?,Acz,故函数g(x)的零点为X=&乃+著或X=匕r+?,

14、kez.g(x)的零点相离间隔依次为？和整，、=8*)在，句上恰有30个零点，.b-a的最小值为14d+15M=哭工，333,.,2%1_1147万,b-a1615-=,333,43I4747,D-Cl3 3题型三：三角函数性质综合应用例7.已知函数/(幻=加(如+8)(006,-81)的图象向右平移(个单位长度得到函数8*)的图象,若/(%)和g()的图象都关于X=工对称，则公0=()4.311n211C24_311A-B.C.D.4334【解析】解：把函数/(x)的图象向右平移？个单位长度，得到函数g(x)=sin3x-詈+的图象，若/*)和g(x)的图象都关于K=X对称，4W1J-+=k

15、11+-,.4321-+=k11+-,42由得=M,Z:3.=3n，又0,马，K=-工为/(x)的零点，x=2为y=(x)图象的对称244轴，且f(x)在(工,工)单调，则。的最大值为()43A.12B.11C.10D.9【解析】解：函数/(x)=sin(ty+0)30,”$,X=一2为/()的零点，x=-jy=f()图象的对称轴，44/.(-)+=k11且公工+勿=&加+巳，k、KeZ,.。=2(一女)+1,即。为奇数.442/3在(工，马单调，.1.女色一石，.，12.43234由可得的最大值为11.当。=11时，由X=2为y=(x)图象的对称轴，可得llx&+/=Qr+工，AZ,442故

16、有0=-2,6()+=kr满足X=-X为/(X)的零点，444同时也满足满足f(x)在(工，工)单调，43故。=11为。的最大值，故选：B例9.已知函数f(x)=si3r+9Xo0,/1.,人),x=-生为y=(x)图象的对称轴,X=K为/(x)的零点,244且f(x)在区间(工二)上单调，则口的最大值为()126A.13B.12C.9D.5【解析】解：-函数/(x)=Sin(S:+*)30,|0”工),x=-2为y=(x)图象的对称轴，X=2为/(x)的零244点，/(x)在区间(二,马上单调，.周期T.2x(-三)=匹，即生工，.”,12.12661266y6,X=一为y=F(x)图象的对

17、称轴，X=工为了(%)的零点，.二=工，eZ,.=2+l4442当&=11时，由题意可得至X11+9=r,=-,函数为y=(x)=sin(lIx+工)，444在区间(二,马上，llx+-(-,)./在区间(二,马上不单调，.011.1264612126当0=9时，由题意可得二x9+=4,-,函数为y=()=sin(9x-工)，444在区间(巴,马上，9x-(-,),/)在区间(二,马上单调，满足条件，126424126则少的最大值为9,故选：C变式11.已知函数/(x)=sin(w+)(30,),K=-乙为/(x)的零点，X=三为y=(x)图象的对244称轴，且Dxe(小，)，I()IO,|以

18、”为，X=-X为/(%)的零点，X=2为y=(x)图象的244对称轴.冗冗乃,7.+=m11，-+=n11+-.(m,Z)44269=2(/?-11)+1即为奇数.下面验证G=5不符合题意，当=5时，可得O=工，函数/(x)=sin(5x+&),44n川乃17万H万64494乃且x(，)时，5+-(,).363643636而卫史”不符合X(生，1Z),(x)1,则口的最大值为3,236363636故选：C.变式12.将函数/(x)=sin(23+)(0,0,211)图象上每点的横坐标变为原来的2倍,得到函数g(x),函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在0,2加上恰有一个最大值和一个最小

19、值(其中最大值为1,最小值为-1),则3的取值范围是()C.1212【解析】解：将函数/。)=5皿25+0)30,0,2乃)图象上每点的横坐标变为原来的2倍,得函数g(x)=sin3+),由g(x)图象过点(0,亭)以及点在图象上的位置，11sin=-,=-t喷/211,Bfox+211+-23333由g()在0,24上恰有一个最大值和一个最小值，.2,2加y十二包，2321117,co0).给出下列判断:33若/()=l,/(x2)=-l,且Ix-X2,=j,则勿=2;若.在。，2加上恰有9个零点，则。的取值范围为学小存在(0,2),使得/Cr)在-工上单调递增，631111.当左=0时，有

20、J306,解得恁1.111123”获)的图象向右平移三个单位长度后得到的图象关于)，轴对称；6若/)在-工,马上单调递增，则。的取值范围为(0,匕.633其中，判断正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】解：f(x)=sin2(wx+-)-cos2(x+)=-cos(2x+)=sn(2x+).3336由题可知，最小正周期T=乃=女，.o=l,即错误；2,1.i,(.v)=sin(2rVI)，.r祁的第1)个?点匕横小为口，第1()个交:点的横11.6则2次?+工=9乃，2+=10,解得二=色工，=2卫，661212a)若/)在0,2万上恰有9个零点，则空”24也，解得更竺，即正确；12

21、fI22424f(x)的图象向右平移工个单位得到函数g(x)=sin2(-马+0=sin(2x-+马，66636.函数g(x)的图象关于y轴对称，一竺+匹=至+k,ZZ,二。=1一3攵，ZZ,362若存在(0,2),则一1-3&c(0,2),解得A(T,-g),与AZ相矛盾，即错误；2x+e-+2k11y-+2k11得xe-左Z,62236.0,.O0,0,；),工=-?为/*)的零点，x=?为y=/(x)图象的对称轴，且在(三，包)单调，求切的最大值.J836【解析】解：.函数/(x)=sin(5+o)30,|刎,，马，X=-2为/*)的零点，X=2为y=f(x)图象的244对称轴，.(-)

22、+=n11neZ且o(+e=乃+,Z,.1.相减可得W三=。?一)4+工=%+工，Z,即0=24+1,即t为奇数.222f(x)在(C，)单调，1836(1)若ya)在(石，包)单调递增，1836m7CyTtr154.TT.r-WJCDF69.2攵Tr911.6?FR,2klTA，攵Z,182362-2+-Cl)2k11+-,AeZ，182362把可得：-11,11s.y,2,故有奇数的最大值为11.当&=11时，-+=k11,攵Z,.,.=-此时“V)=Sin(UxJ)在令，著)上不单调，不满足题点.当口=9时，-+=k11%Z,.=-此时f(x)=sin(9x+马在(三，四)上单调递减，不

23、满足题意;故此时3无解.(2)若/(x)在(工，2)单调这r兀.Ttr154.37T.1ryilJ9f0.2r+一,+2k11+，kZ,182362IPco(p,、2kr，且。-,i2,kr+-%Z，182362把可得：三防,乃，5,12,故有奇数O的最大值为11.36当3=11时，-!+e=&4，kz.,:.(p=-g此时/(X)=Sin(Ik-5)在(黄，IJ)上不单调，不满足题意.当3=9时，+二k11,攵Z,.|夕|,：.(p=?,此时f(x)=sin(9x+?)在喘，第上单调递减，满足题意；故口的最大值为9.故答案为：9.【过关测试】一.选择题2.若函数f(x)=3sin530)能够

24、在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3,且在喋令上是单调函数，则整数3的值是()A.4B.5C.6D.7【解析】解：函数y=sinox能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3,如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3,由三角函数的图象与性质可知：即：2.3；解得：.竺；3又xw-匹，2上为单调函数，11101111.丝薮X丝，且而”5.111011_TT解得,5：综上可得，正整数0=5.故选：B.3.已知函数/(x)=ASin(0,0,|),满足/(一三)=0且对于任意的xR都有/(x)=(3-x),若/“)在(亚,二)上单调，则。的最大值为()3369A

25、.5B.7C.9D.11【解析】解：.函数/(x)=ASin(6r+8)(A0,00,|例”,),满足f(一代)=0=ASin(-+0),，一1.+=k几、kZ.666对于任意的xR都有/*)=/咛-为，故/3的图象关于直线X.对称，1111-F0=n+一9Z23 2.一可得丝+丝=(一女)乃+工，即。=2(幻+1,即。等于的奇数倍.362若在(留,空)上单调，则1.至生红，求得西12.3692936当0=11时，由可得-+Q=A乃，ZeZ,结合Ipl,工，62百T俎11.n+r/、x-zll冗、忆,5112兀、1.11491141乃可得9=此时，/(x)=Asn(lIx)rdx(,一)，1I

26、x(,),6636963618故不满足/(x)在(2,空)上单调，故口=11不满足条件.369当。=9时，/(x)=ASin(9x+e),由可得一半+Q=Azr,AeZ,结合Ie1.,g，可得9=工或0=-工，满足/(幻在(二,二)上单调，也满足.22369故切的最大值为9,故选：C.4 .已知tO,|以,，,在函数/(x)=Sin(Or+),g(x)=cos(ty+e)的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为巴，当Xe(-巴，马时，函数/(x)的图象恒在轴的上方，则9的取值范围是(264)A.(-,-)B.-,-C.636332【解析】解：由f(x)=g(x)，得sin(y+。)=

27、cos(0,恒成立,64由/)，2k112x+2k11+11,keZ,k11-x11KTt“-.KTT+-m26阳26c,11(P.2k几+3冗*,2k11当人。时，得:，得整1，则/的取值范围是g,y,故选：。.5.已知函数/(x)=2sinox+l(30)在区间与上是增函数，则。的取值范围是()333A.(0,B.(0,1C.1D.1,1【解析】解：函数f(x)=2sinx+1(。0),/(*)区间等上是增函数，则有1111_,.+2k112 2C，kwz,21111-+2k113 2解得：I4k且+3k430,.(0,1.故选：A.6.己知函数/(X)=sin(3v+&)(刃0)在区间0

28、,4上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是(4)A. /(幻在区间(0,4)上有且仅有3个不同的零点B. f(x)的最小正周期可能是工4c.。的取值范围是U,12)44D./(X)在区间(0,乙)上单调递增【解析】解：函数f(x)=SilI(GZT+)(60)，4A,I乃乃一/7组(4Z+1);T令5+=+Zr,eZf得X二，左Z,4240函数/(X)在区间0,句上有且仅有4条对称轴，即有4个整数上满足怎偿退11,由澈竺34469兀得旗d+4k4y,可得左=0,1,23,则1+4x3,4g1+4x4,-,t+()444422当Sr+工以巴)Hhf(x)在区间(U)上有且仅有4个不同的零点

29、，故从错误;442周期T=生，由6yeU,lZ),得1.(W,A,441713.Tw浮汾.J()的最小正周期不可能是?，故B错误：小乃、11i111111,X(0,),.COXH(一，1),1644164%7b33乃、1111r2911：.+，16464乂萍”人)在区间(。令上不一定单调递增，故Zm吴.故选：C.7 .函数/(x)=sin(5+马(口0)在区间0,生上恰有三个零点，则切的取值范围是()63a1117A.G0)在区间0,二恰有3个零点,6311r111111,6y+-+-,6636可得3名，-+-411,36-rza1723可得一,0)的图象在区间0,1上恰有3个最高点，则口的取

30、值范围为()A29乃37%A.，6625;T37乃1.1.,)66D.411，6乃)【解析】解：因为x0,1,所以的+qg,+t因为/Cr)的图象在区间0,1上恰有3个最高点,所以而+早一+会6会解得年,一0)关于直线x=f对称，则。的取值范围是(24A(，夕bi71eg，I122【解析】解：函数y=sin(0t-7)，其对称方程为的一?=攵乃+,左Z,.31111+解得X=,keZ；对称轴X=Ze(O;)，2.当A=O时，可得对称性：解得:4/2当左=1时，可得对称性:”得:的取值范围是(3,-1故选：C多选题10 .已知函数/(%)=$皿5+。)30,0eR)在区间(K,2)上单调，且满足

31、/(K)=-/(包)则(126124B.06,4C.关于X的方程幻=1在区间0,2%)上最多有4个不相等的实数解D.若函数/(X)在区间”,也)上恰有5个零点，则/的取值范围为(,3363【解析】解：函数f(x)=sin(x+)满足/(-y)=-/(,)对于A,因为2x(Z+2)=生，所以/(X)的一个对称中心是(工，0),即/(空)=0,选项A正确：2124333对于8,因为2工，解得r.7,即空工，解得以4,所以0以,4,选项8正确；612222对于C,关JX的方程f(x)=1只仃一个实数解，函数f(x)=sin(O.wR)在区间(，)上126单调，且满足/(等)=0，U1.tIrr，,5

32、*2t、24所以T.4x()=，633当7=空时，/()=sin3x,/(x)=l在区间0,2)卜.的实数解为工，,红共有三个，选项。错俣：3662对于O,函数/(x)在区间红，臣)上恰有5个零点，所以274(-,即空空，解得以,3,所以少(,3,选项D正确.63。033故选：ABD.11.已知函数f(x)=4sinxcos(x+)+1(0)在Xt(O,11)上恰有3个零点，则()A. /(x)在(0,11)上恰有2个极大值点和2个极小值点B. /(幻在(0，)上的最大值是28c.F(X)在(O,上是增函数D.0的取值范围是(,空1212【解析】解：函数f(x)=4sin(yxcos(0x+X

33、)+16=4sincox(-cosxs*n的)+1=2有sinxcosx-2sin2x+1=3sin2x+cos2x-2sin(2x+)0；当x(0,11)时，ISX+-(-.211+)666对于。，因为/(x)在(0,团内恰好3个零点，所以3乃2访+军,4万，解得U以生，选项。正确;61212对于A,当X(0,乃)时，2的+2(工，111+)因为3乃20乃+2,4万，所以v)=2sin(20x+M)66666在区间(0,球上可能有2个或I个极小值点，选项A错误；对于4,当x(0,马时，2ox+X(2,丝+马，因为阳区，所以丝+乙工x9+X=空巴,866461212464126482所以/(x)在区间(0,马上有最大值为2,选项B正确；8对卜C,当XW(O,三)时，25+X(匹，丝+至)，因为?回，所以处+军,，-X+-=12666612