微专题34 函数中重要思想方法的应用(解析版).docx
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1、微专题34函数中重要思想方法的应用【题型归纳目录】题型一:利用函数的定义和性质题型二:换元、消元和主元思想题型三:数形结合思想题型四:分类讨论思想【典型例题】题型一:利用函数的定义和性质例1.存在函数f(x)满足,对任意XeR都有()A./(cos2x)=sinxB.f(x2-2x)=x-lC./(x2+l)=x+lID.f(cos2x)=x2+x【解析】解:对于A,令X=;得/(0)=孝;令X=-?得/(0)=一1,错误;对于B,X2-2x=/(.1),则X=1Jl+/.故/=771.1).所以f(x)=Jl+X。-1)符合题意,故正确;对于C,令A=1,得/(2)=2;令X=T,Wf(2)
2、=0错误;对于。,令彳=军,得/(0)=二+工:令X=-X,得/(0)二三匹,错误.41644164故选:B.例2.已知函数/(幻=卜一:,不等式/2)+/(1-0r)0()A.(0,4)B.(To)C.0,4)D.0,4【解析】解:作出/(X)的图象如图则函数/(x)为奇函数,且为减函数,则不等式f(ax2)(l-r)0等价为f(ax2)ax-,即OV2-or+10恒成立,若=0,则不等式等价为10,不等式成立,若0,若or?-r+o恒成立,则满足a0=cr-40,即04,04练上Q,/(2x-1)成立的取值范围是()B.+00)C娟)d.(F,-g)u4o)【解析】解:函数/(X)=加+x
3、)+d”的定义域为关于原点对称,又f(-x)=/(1+1-XI)+elxl=(1+x)+e1a1=f(x),所以函数X)为偶函数,当X.0时,/(x)=(1+x)+ex,则r(x)=+oSo,-)上恒成立,x+l所以函数/(X)在0,+00)上单调递增,故不等式/(x)/(2x-l)等价于/(Ix)/O2x-l),所以IXl2x-l,即V(2-1)?,化简可得(3x-l)(X-I)V0,解得Jx(2x-l)成立的4取值范围是(g,l).故选:C.变式2.已知y=(x)是定义在R上的奇函数,且满足/(x+3)=(x-3),当x(0,3)时,/(x)=2v-l,则/(2020)=()3 3A.-B
4、.-C.-3D.34 4【解析】解:由题意可知f()=-V),因为/(x+3)=/(x-3)BPf(x+6)=/(x),故函数的周期丁=6,又当XG(0,3)时,/(x)=2v-l,贝J)(2020)=/(-2)=-/(2)=-3.故选:C变式3.(多选题)已知函数则下列X的范围满足不等式/(2+3)“32-3)的是x,x.l()333A.(-2,1)B.(-J)C.(-不2)D.(-1.-)222【解析】解:因为函数)=p1.f(3x3)x2X+33x23,即2-x-60解得_3elne=/,又/()=xe在(0,E)单增,则/()=jlne3),则=lne,故a-lne-e2.故答案为:题
5、型二:换元、消元和主元思想例4.对任意xwR,不等式21SinXl+1SinX-。恒成立,则实数的取值范围是(A.&i1B.T融1C.T釉2D.一2釉2【解析】解法1:(化为锅底函数)设f=sinX,则原不等式可化为+.令/十l+l+l”,则(O)=IaI,从而解不等式.M可得一掇31.故选B解法2:(特殊值法)当=2时,因为2SinXl+1SinX-2=2-SinX+2SinXl朦+1SinXl2,当且仅当SinX=O时,等号成立.此时21SinXl+1SinX-2|.4不恒成立,所以=2不合题意,可以排除C、D.当。二一1时,因为2SinXl+1SinX+l=l+sinx+2sinx鹿+1
6、SinXl1,当且仅当SinX=O时,等号成立.此时21sinXI+1sinX11.1恒成立,所以=T符合题意,可以排除综上所述,B正确.故选:B.例5.设不等式对所有的X由1,2均成立,则实数的取值范围是(A.av-15或47B.a47或OVaVlD.a-15031,解得47,当xl,2时,令E=2e2,4,则4=e4,16,2x+3=8rl6,32,所以|4一。|12川|等价于|一。|&一1,当047时,即一产切-1在e2,4恒成立,即/+&_1=h(t),即求力(F)=/+81的最大值,h(t)ma=h(4)=47,所以47;当vT5时,r2-a8-l2,4恒成立,即V/一8/+1=/(
7、r),即求/(r)=-8f+l的最小值,/(r)rt,rt=f(4)=-15:综上:4v-15或47,故选:A.例6.函数f(x)=G3+J12-3x的值域为()A.1,小B.1,3C.I,D.1,2【解析】解:对于/(x),有3融4,则成IjC一31,令工-3=si仇朦出,2则/(X)=JX-3+,3(4-x)=sin+3(1-sin2)=Sin6+并cos=2sin(6+).-+-2,336a-三in(转换为2y+ysinX=3-sinx,2+sinx2+sinx整理得SinX=2型,+y由于一掇Mnx1,7,解不等式组得:;轰力4,32)整理得3-2),_+y7故函数的值域为号,4.故答
8、案为:一,2.,4.变式7.已知函数“幻=SinA:8SX-SinX-CoSX,x-y,6,若f(x)的值域为-1,1,则。的取值范围是_。_【解析】解:设SinX+cosx=-,则sinxcosX=,2f2_1则y=r=-(r-l2)-l.-l.22当y=l时,则/=一1,x-2k11-x=2k11-11:2当y=-l时,则f=l,得x=2r-或x=2Zr;又若/(x)的值域为-1,1,则。的取值范围是O,11.故答案为:0,11.变式8.对于满足0殁S4的一切实数,不等式Y+p4x+p-3恒成立,试求X的取值范围.【解析】解:X2+px4x+p-3,即为P(X-I)+f一4x+30,可设/
9、(P)=P(XT)+12-4x+3,0三W4,由题意可得/(0)0,且/(4)0,即f-4x+30,且x2-l0,-r411fx3!cvltx-l则X的取值范围是(70,-I)D(3,+oo).故答案为:(-00,-I)U(3,+).变式9设不等式|2-。|5-2、|对所有不1,2成立,求实数的取值范围.【解析】解:设1=2,,则,2,4,故IfilV5-”对所有f2,4成立,t-a5-tf(t-a)2(5-r)2,W(2t-a-5)(5-a)0,对给定实数,(r)=(2r-a-5)(5-a),则/Q)是关于,的一次函数或常值函数,f2,4,故加)0等价于僚W解得3v5,l(4)=(3-)(5
10、-)0故实数的取值范围为(3,5).题型三:数形结合思想例7.若不等式(x-Z?)Sin(Zrx+马,0对x-l,1恒成立,则+Z?的值等于(62 5A.-B.-C.1D.23 6【解析】解:当一啜W-1时,Sin(g+马,0,666-3时,sin(+-).0,666j啜Ik或一强k1时,Ix4I5.0,当翘Jc时,xa|,0,6666设*)=x-6,则f(x)在(7),4)上单调递减,在(,)上单调递增,且/(x)的图象关于在线=对称,RG)=吟=O,乂/(:)=1:-:1一人=0,故6=.O632,a+b=-6故选:B.例8.已知实数”,b满足等式2019=2020fc,下列五个关系式:O
11、V力va;ah0;OVaV人;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解:如图,画出函数y=2019与y=202(图象示意图,因为2019“=202O1.由图可知,共有三种情况:(1)ab0;(2)0-2;与直线y=nt恰!,x一2)有唯一解,则=+4,=0,解得n=-l故答案为:-1.X1-x-2a=0,xe-1=O的实根分别为,x2x3X4X5,若xWV/WV七,则实数a的取值范围是_(O,.【解析】解:方法1:(分h数形结合)如图所示:ea=-f两边取对数得a=-%:的根为/,然X后作同,坐标系中分别作出对应的函数图象y=y=z3,产-版与y=
12、a相交的交点横坐标别为X2五个根X,X2X3.V4x5t由XlVWVxS/V七结合可得y=a在X轴上方,1y-2_由12”得。一1)(/一2工-2)=0,所以X=1,x=l3,y=-2与y=二交点坐标为x-XX2A(1-J,三史),(1,0),(1+百,土芭)得直线y=a在X轴上方,点A卜方,所以0a0;e2a+aet,-l02ae2a+ea-0因为内毛=-1WxlO2,.g*-r,-1=0gE-In1、2C(M-I)(X:-2彳,-2)C由毛工2七得:1Ia=-代入考一、-2=-0,X2-X2-2a0x2x2解得1%1+5,所以=-=X2-(0,因为马+Z=1.得;,再由用$工2,:2一,得
13、。=不_代入得2/一(W-X3)工3-2=(七一1)(一*+2工3+2)0,x3-0r3-1G431=立出e(0,土史),22综合得2故答案为:(0,土史).2变式11设关于X的方程f一如_=0和3/-6+3-24=0的实根分别为和,x4若xlx3x2x4,则实数的取值范围为_(0,1)_.【解析】解:由x由2x=3x2-6x+3,3x5-8x2+3x+2=0X3丁3(8x23x5)=O,3(-1)-(8x2-3x-5)=0,-0r-l=0,当X=O时,方程不成立,所以xwO,所以方程Y-GC-I=O可化简为2x=2a,X3x2-6x3-2t=O,得3/-6x+3=加,作出函数y=2x-2与y
14、=3f-6x+3函数图X解得X=1.-二,2,3因为王工3再玉,且当X=2时,2=3所以由图可知,02变式12.已知函数/(x)=xx+lR),若函数/(x)有三个互异的零点,则实数,的取值范围是【解析】解:令g(x)=xx+l=尸广,-%XyXb(2)-lZj-l:函数/(x)=MX-!在(*)上有零点;函数f(x)=优-噬,/在工(0,”)X上单调递增.【解析】解:由不等式源IlX-Il+2x-2b的解集为0,依,由/)=|工一1|+2|五一2|的单调性结合图形可得|不一1|+2|一2|=8的两根为。,01,1。2,即Ia-Il+2q-2=人一1|+2|。一2|=匕,解得,5a=6b/2所
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