全等三角形几何辅助线技巧---旋转.docx

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1、全等三角形几何辅助线技巧一旋转方法说明旋转是指将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一定角度，这个定点叫作旋转中心，转动的角度叫作旋转角。旋转的基本性质如下。(1)对应点到旋转中心的距离相等。(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。(3)旋转前、后的图形全等。方法归纳1 .等长共点模型遇到如等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形和菱形等具有一组邻边相等的几何图形时，常常考虑用旋转构造辅助线。(1)如图,AABC内部有一点D5AB=AC0将AABD绕看点A逆时针旋转.使得AB与AC重合,点D与点D重合。如图GABC外部有一点DfAB=ACe将ZiACD绕着点A顺时针旋转.使得AC与

2、AB重合,点D与点D重合。2 .半角模型如图，正方形的一个内角夹着一个45。的角，或者顶角为120。的等腰三角形的顶角内夹着一个60。的角，这样的模型可以称为半角模型。图中含有半角模型时，也可以考虑用旋转构造辅助线。ADBECBDEC如图,4ABC边BC上有两点D,E,ZBAC=2ZDAE(三J6,DAE=Z4C)将ACE绕着点A逆时针旋转,使得AC与AB重合.点E与点E，重合.并连接DE.则AADEgZiADE;3 .旋转相似等长共点型的旋转，可以产生全等三角形，不过不是所有的情况都是等长共点。遇到普通的共顶点的线段与第四个点构成三角形时，不妨旋转后构造相似三角形。如图Q为AABC内部的一点

3、.且ABMCe将ZkACD绕点A顺时针旋转并缩放至aABD即ZkACDsAABD;根据ZiACDsAABD得到对应边成比例且对应角相等,可以证明ADDsAABC.典型例题例3如图.已知P为等边AABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,求ZkABC的面积。思路点拨题目要求的是三角形的面积，那么我们想到的是什么呢？肯定是三角形的面积公式：S=也就是要先求出三角形的边长。那怎么求边长呢？题目给出PA,PB与PC的长度，而且还比较特殊，我们很容易联想到“勾三股四弦五;因此，可以适当考虑构造直角三角形进行求解.由于等边三角形具有“等长共点”的特征，因此可以考虑使用旋转的方式构造辅助线。解题过程解：【

4、方法一】如图.将AAPB绕点A逆时针旋转60。,落在AAPCb.3!JAPBAPC,AP=AP,PB=PC,ZPAP=ZBAC=60o,ZAPB=ZAFC,.,.APP为等边三角形.Pp=ARNAPP=60。PA=3,PB=4,.PP,=AP,=3,PC=4PC=5,.P,P2+PfC2=PC2,：,NPPC=90,ZAP,C=ZPPC+ZAP,P=Z150%1A作ADlPC于D,.ZAP,D=180o-ZAP,C=30o,ZADC=900.AD=AP,=,DP,=3AD=当,：.CD=DP,+P1C=苧+4。在RtADC中,AC2=TlD2+CD2=Gy+（苧+4,=25+123过点A作AE

5、lBC于E,CE=AC,AE=WAC,48C的面积S=；BC.AE=AC2=25+3622244【方法二】如图,分另D将AAPBqBPCAAPC绕点ARC逆时针旋转60o.iJAP1C.AP2B和ABPsC,并连接P1RP2RP3P.由方法一得AAPiP为等边三角形QPPiC为直角三角形。同理可得ABPzP和KP3P为等边三角形,APPz和ABPP3为直角三角形。ABC的面积S=Sapb+SBPC+SAPC=(Sp1p+bp2p+cp3pSPPIC+SAPP2+Sbpp3)=1(零+)+6+6+6)=253+36【总结】遇到此类“等长共点模型”,常常考虑用旋转的方式构造辅助线。本题还可以考虑下

6、面几种不同的方法。如图,将AAPC绕点A顺时针旋转60,求出NAPB的度数，再构造直角三角形求AB的平方。(2)如图.将ABPC绕点B逆时针旋转60。，求出NAPB的度数，再构造直角三角形求AB的平方。如图.将AAPB绕点B顺时针旋转60,求出/BPC的度数，再构造直角三角形求BC的平方。B技巧点拨等边三角形的面积公式如图，若等边AABC的边长为a,则面积S=当a24证明：S=-BCAD=-BC-BC=-BC2=-a222244例4如图点D在AABC内2BDC=90。,NBCD=NDAC=30。.AD=3,AC=8.求AB的长。思路点拨题目中虽然出现了特殊角与特殊三角形，但是无法直接使用已知的

7、线段长度得到AB的长。如果可以通过构造辅助线，使得AB在一个特殊的三角形中，就可以利用勾股定理、三角函数等知识进行求解。因此，本题可以考虑用旋转的方式构造辅助线。如图,将AADB绕点D逆时针旋转90。并缩放至ZiEDC连接AE,则ZkADBsAEDC易得ZiADEsZiBDC进而求得AB的长度,具体详见下面的解题过程。解题过程解：【方法一】如图,将AADB绕点D逆时针旋转90。,并缩放至EDC,连接AE,即ZkADBsEDC,.,噂=腾=ADB=乙EDC,：.M=第,UbU1.CCUoU1.APADE=ADB-ZBDE=ZEDC-ZBDE=ZBDC=90o,:ADEBDC,笠=tDAE=NDB

8、C=600.：NDAC=30,，ZEAC=ZDAE+ZDAC=900：ZBCD=30o,BC=2BDVAD=3,AE=2AD=6.-AC=8,.CE=yAC2+AE2=10,.AB=浮EC=竽。【方法二】如图.将AADC绕点D顺时针旋转90。.并缩放至aEDB,连接AE.即ZkADCSEDBf黄=船=第OC=NEDB,NDAC=NCUUDhDBED=30o空=空,ADE=ADC-ZCDE=NEDB-ZCDE=ZBDC,ADECDB.DEDB空=,EAD=乙BCD=300,ZAED=ZCBD=60。，,ZAEB=ZAED+ZBED=90oCDDBVAD=3,AE=23.AC=8,.BE=yAC=

9、竽,AB=AE2+BE2=乎.【方法三】如图.将AABC绕点B逆时针旋转60。,并缩放至AEBD,连接AE.即ABCSEBD,:.=三=,DBE=CBA乙DEB=huDUDCZ-CAB,:.=,/.ABE=NDBE-ZABD=ZCBA-ZABD=ZCBD,ABECBD,NAEB=ZCDB=90o,ZBAE=ZBCD=30oBABE：ZBCD=ZDAC=30o,BC=2BD.VAC=8,.DE=4,ZADE=180o-DAE-乙AED=180-(30+4BAD)-(90-DEB)=90+乙DEB-QDAC+,4BAD)=90+乙DEB-乙CAB=90%,AD=3,AE=5,:AB=-空=。COS

10、30,3【方法四】如图,将AADB绕点B顺时针旋转60。,缩放至ECB,连接AE.BPADBECB,4=铝=器/ABD=EBC,Z.BAD=乙BECcocCBCDCD,芸=芸,BE=NABD+NDBE=ZEBC+ZDBE=ZDBC,.*.ABE=3,CE=2AD=6-AC=8,.AE=AC2+CE2=10,:AB=AE=-tan30。3【总结】本题主要通过旋转缩放的方式得到相似三角形，再进行求解。除了以上几种方法之外，其实还可以有其他的方式。例如，如图,将AABC绕点C顺时针旋转30。,并缩放至AEDC,证得NDAE=90。,再求AB的长。或者如图，将AACD绕点C逆时针旋转30。.并缩放至AECB,证得NAEB=90。.再根据勾股定理计算AB的长。具体过程请大家自举一反三5定义:有一组对角互余的四边形叫作对余四边形.理解:若四边形ABCD是对余四边形,则NA与NC的度数之和为(2)证明:如图,MN是。O的直径,点A,B,C在。O,AM,CN相交于点De