傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用.docx

《傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用.docx（31页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。

1、大学本科毕业论文（设计）诚信承诺书学生姓名年级所学专业学号所在学院数学与信息科学学院学生承诺本人慎重承诺和声明：我承诺在毕业论文（设计）过程中严格遵守学校有关规定，在指导教师的安排与指导下独立完成所规定的毕业论文（设计）工作，决不弄虚作假，不请别人代做毕业论文（设计）或抄袭别人的成果。所撰写的毕业论文（设计）是在指导老师的指导下自主完成，文中所有引文或引用数据、图表均注解并说明来源，本人愿意为由此引起的后果承担责任。学生（签名）：2023年05月10日教务处制傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用摘要本文基于SIR模型对湖北C0VID-19疫情的发展过程进行了研究。首先，通过对SlR模型的公式

2、进行简化，将研究的人群减少到两个，即感染的人/和恢复的人Ra),这样可以简化计算。其次，通过傅里叶级数去估计出模型中的重要参数夕，计算出基本再生数，通过再生数可以看出COVlDT9是否存在消亡的趋势。最后，通过拟合模型并预测了新冠疫情的发展，这给疫情防控给出了一定的建议。结果表明模型预测结果与实际结果存在一定的差异，是因为存在很多因素，但是通过一种新的估计传播病模型参数方法，这可以让傅里叶变换在传染病模型参数估计中有更深的发展。因此通过对疫情数据建立适当的传染病动力学模型，可以显示疫情的变化趋势并预测疫情的发展，可以为未来的疫情提供相应的理论支持。这可以使我们早日解决疫情带来的威胁并回到以前生

3、活有一定程度的实际意义。关键谓1：SIR模型；COVID-19；傅里叶级数，傅里叶变换；基本再生数ApplicationofFouriertransforminparameterestimationofinfectiousdiseasemodelsAbstractThispaperstudiedthedevelopmentprocessofCOVID-19inHubeiProvincebasedonSIRModel.First,bysimplifyingtheformulaoftheSIRModel,thestudypopulationisreducedtotwopeople,namelyin

4、fectedpeopleandrecoveredpeople,soastosimplifythecalculation.Secondly,Fourierseriesisusedtoestimateimportantparametersinthemodelandcalculatethebasicregenerationnumber,throughwhichwecanseewhetherCOVID-19hasatrendofextinction.Finally,thedevelopmentofthenovelcoronavirusepidemicwaspredictedbyfittingthemo

5、del,whichgavesomesuggestionsforepidemicpreventionandcontrol.Theresultsshowthattherearesomedifferencesbetweenthemodelpredictionresultsandtheactualresults,becausetherearemanyfactors,butthroughanewmethodtoestimatetheparametersofthetransmissiondiseasemodel,thiscanallowtheFouriertransformintheinfectiousd

6、iseasemodelparameterestimationfurtherdevelopment.Therefore,byestablishinganappropriateinfectiousdiseasedynamicsmodelonepidemicdata,thechangingtrendoftheepidemiccanbeshownandthedevelopmentoftheepidemiccanbepredicted,whichcanprovidecorrespondingtheoreticalsupportforfutureepidemics.Thiscouldgiveusadegr

7、eeofpracticalsignificanceinaddressingthethreatposedbythepandemicandreturningtoourformerlives.Keywords：SIRmodel;COVID-19;Fourierseries;Fouriertransform;fundamentalregenerativenumber目录1 .绪论11.1 研究背景11.2 研究目的与意义11.3 研究内容22 .傅里叶变换的基本原理及应用32.1傅里叶变换在国内外的发展历史32.2傅里叶变换的基本原理32.2.1傅里叶变换的定义42.2.2傅里叶变换的性质42.2.3

8、离散傅里叶变换和傅里叶级数92.3傅里叶变换的应用102. 3.1傅里叶变换在处理信号方面中的应用103. 3.2傅里叶变换在其他方面中的应用113.传染病模型及其参数估计123.1 传染病模型123. 2传染病模型的发展历史和研究现状123. 2.1初期发展阶段123. 2.2中期发展阶段123. 2.3迅速发展阶段133. 3传染病几种常见的模型134. 4传染病模型参数估计154.傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用164.1 模型假设与建立164.1.1模型的假设164.1.2模型的建立164.2基本再生数204.3结果204.3.1感染率估计204.3.2数据拟合224.3.3实验

9、结论235.总结24参考文献25致谢261 .绪论1. 1研究背景2020年3月20日，驻卡拉奇李碧建总领事在巴基斯坦商业纪事报发表题为COVID-19将对中国经济产生什么影响的署名文章，对新冠肺炎疫情爆发以来中国抗击疫情的总体情况、疫情发展趋势、相关经济指标变动情况以及未来中国经济走向进行了介绍和分析。通过查看国家统计局在3月16号发布的数据，2020年1-2月份，疫情对中国各类经济指标产生各不相同的强度的影响，工业生产、服务业生产下滑，市场消费和投资减少，采购经理指数(PMI)有所下降。尽管现在人类依靠着高度发达的文明和医疗水平，以及日益完善的卫生设施，有效地遏制住了一部分给世界人民带来威

10、胁的传染病，不过，随着人口的快速增长和经济的迅速发展，一些新的传染性疾病，比如在2019年感染并致死了许多人的HlNl病毒和目前仍然让人闻风丧胆的艾滋病毒，又比如2019年12月低刚爆发的COVID-19让世界陷入了一片恐慌当中，这些都依然在侵害每一个人的生命健康安全。可见，了解和预防传染病对于每个国家都是至关重要的堡垒。当然，要想观察分析传染病的第一步就是通过建立一个恰当的数学模型，然后实现对传染病的有效建模，并计算出模型中的参数，这样可以了解传染病的变化规律。所以说参数估计问题在多个科学领域和学科中有着重要的作用。目前主流的参数估计方法有最小二乘法、蒙特卡洛方法、贝叶斯方法和伪极大似然估计

11、方法等等。近几年来，傅里叶变换被广泛应用于傅里叶分析、微分方程理论和其他数学领域。由于传染病是一种动态现象，且其传播过程具有时变性和变异性，因此对传染病进行研究必须考虑其传播的复杂性和动态性。根据各省卫生健康委员会公布的有效数据并加以统计，通过运用模型并进行参数估计得到参数值，有助于研究传染病。本文将利用傅里叶级数去估计传染病模型参数并进行数值模拟。1.2 研究目的与意义传染病的流行不仅严重损害了世界各行各业的经济发展，而且会威胁每一个人的生命健康安全和影响人民的日常生活。尽管政府和有关部门发布并实施相关政策，但是还是很难完全使传染病消失。国内外的很多学者因此对传染病模型进行了详细的研究，也得

12、到了很多对控制疾病的方法和建议，这对于早日恢复到以往生活具有重要的意义。传染病一直都是人类社会要攻克的一大重要挑战，在现代社会中，传染病的爆发和流行问题日益严重。传染病模型参数估计是研究传染病流行问题的重要方法之一，对于有效的遏制传染病的流行和预测传染病的趋势具有非常重要的影响。傅立叶变换是一种非常重要的数学工具，在许多领域中表现出了普遍的适用性。在传染病模型中，采用傅立叶变换进行参数估计是一种新思路和方法。本文旨在探讨傅立叶变换在传染病模型参数估计中的应用，并通过实验验证其有效性，为传染病的管制和预测提供不一样的思路和办法。1.3 研究内容本文主要研究的内容就是通过对2019年在湖北爆发的新

13、型冠状病毒肺炎进行建模,然后根据湖北疫情收集到相关的数据，运用傅里叶级数去估计出模型的参数，计算出基本再生数，判断COVlDT9是否将在湖北继续流行。最后，对模型进行数据模拟，并针对COVID-19给出了实质性的分析和建议。第一章：绪论。一开始介绍了新冠对中国的负面影响，包括经济方面和人民生活方面的影响，然后介绍了傅里叶变换在传染病模型参数估计中的具体应用，这就是本文的研究背景；其次介绍了本文研究目的与意义；最后描述了本文的研究内容。第二章：傅里叶变换的相关内容描述。首先介绍了傅里叶变换在国内外的发展历史,然后介绍了傅里叶变换的基本原理，包括定义、性质和其衍生的定义和公式，最后讲述了傅里叶变换

14、在信号和其他领域中的应用。第三章：传染病模型及其参数估计的介绍。首先介绍了传染病和传染病模型的定义;其次介绍了传染病模型的历史发展和现状研究，包括初期发展、蓬勃发展和迅速发展；最后介绍了传染病四种基本模型的定义和公式，即SI、SIR、SIRS、SEIR模型，还有传染病参数估计的理论。第四章：通过模型和实证分析去说明傅里叶变换在传染病模型参数估计中的具体应用，收集湖北疫情的相关数据结合模型，然后用傅里叶级数去估计模型的参数，最后计算出基本再生数，并拟合了COVID-19的病例数，在结果中给出模型的缺陷和理论建议。第五章：总结。通过总结全文的内容和实证分析结果，给出控制疫情发展的相关建议，并指出实

15、证分析中的不足之处及在后面要改进的方向。2.傅里叶变换的基本原理及应用1 .1傅里叶变换在国内外的发展历史JeanBaPtiSteJOSePhFoUrier(1768T830)最早提出了傅里叶变换，他是法国的一名数学家和物理学家，所以我们就用他的名字去命名这个变换。他热衷于热传递的研究，并发表了一篇论文在1807年的法国科学学会上，使用正弦曲线去描绘温度的分布，然而他的文章里在当时拥有一个争议性的理论：任何连续周期信号可以由一组对应的正弦曲线组合而成。傅里叶的分析向当时的数学家所信奉的数学理论提出了挑战。十九世纪初期，许多出色的法国数学家，包括拉格朗日、拉普拉斯等都不能接受傅里叶的这一说法。尽

16、管有人反对傅里叶的方法，但许多学者(包括数学家SophieGermain和工程师ClaudeNavier等)开始把傅里叶的方法推广应用到热分析以外的领域上。第一次使用“函数”一词来表示一个包含多种参数的表达式的科学家是欧拉，例如:y=(x)o所以，我们将他誉为微积分应用在物理领域的开创者之一。接着，他提出了用一个实变量函数去表达傅立叶级数系数的方程；用三角级数来描述在弹性媒介中离散声音的传播，发现了某些函数可以用余弦函数之和去表达。不过，这个方法并没有引起太多科学家的重视，主要是这个方法的计算机实在是太大了。直到1965年，库利和图基在计算机科学上发表著了机器计算傅立叶级数的一种算法，FFT技

17、术才得到广泛运用。随后，又出现了桑德-图奇等一系列的快速算法，经过多次完善，最终发展成了一种新的计算方式，也就是现在的快速傅立叶变换(FFT)f4该算法使离散傅里叶变换(DFT)的计算效率提高12个数量级，为将FFT技术用于多种信号的实时处理提供了有利的基础，极大地推动了FFT技术的发展。在1984年，由法国的杜哈梅(P.DohameD和霍尔曼(HHollamann)所提出的分裂基块快速算法，使得操作效率得到了更大的提升。在国内，对于傅里叶变换的研究者数不胜数，我们的学者通过与国外的研究方法相结合并加以创新，在研究过程中获得了很多研究成绩，进而为国内傅里叶变换的钻研打下了基础。目前，傅里叶变换

18、被广泛应用于信号处理、组合数学、概率论等方面，然而由于其理论并不成熟，因此傅里叶变换对于数字信号处理的特点还有待进一步研究。2 .2傅里叶变换的基本原理2. 2.1傅里叶变换的定义(一)基本定义傅里叶变换的定义为傅里叶在18世纪创造性提出的一种变换理论。该理论认为任意周期函数都可以看作是不同振幅，不同周期的正弦(余弦)函数叠加的线性组合。其正变换定义为:00(2.1)(2.2)FC)=F(/(，)=-OO逆变换为:f(t)=F-,(F(6)=F(Wd.它的频域函数是/(G)，时域函数是/，频率是出，时间是Zo(二)特征值和特征函数具体来讲，傅里叶变换是定义在信号空间上的连续线性算子Fi对其特征

19、方程是(2.3)FWIta)=nn(t=ein11tln(f),=0,1,.其中，傅里叶变换相对于的特征值是4,=加”2,特征函数是6=%Q)”2,其中”为阶的Hermite多项式,而且乩Q)=(T)”exp(产)exp(”(2.4)2.2.2傅里叶变换的性质对称性质：若fcF(j),则)2叭一。证明：f(t)=F(j)*d.(2.5)211J-，将/换为T,得T)=土匚尸(加)/公(2.6)将变量，与o互换,得2tf(-)=F(jt)e-i,dt.(2.7)特别地，如果/Q)是偶函数，则有尸(z)证明：令x=fr,则匚力=/a)/=J：f(x)e-jxdx(2.10)=e-F(j).时移性质

20、表明，信号在时域中平移对应于频域中频谱乘以因子，却，即信号时移后,幅值谱不变,相位谱中相角改变量与频率成正比。频移性质：若/Tra)=X(j0),则HMr)eJ%=X0=F)证明:f(t)eijti,e-j,dt=f(t)e-j0vdtJ-RJ8=F(+0).(2.11)频移性质表明，时域信号乘以因子/，阳,时域波形发生变换，频域中频谱沿频率轴移动一个g。频移性质在通信、调制、滤波技术中有着重要的作用。尺度变换性质：若M3=X(%),则尸(三)=5x(j)(H)0证明：1T令=x,则d，=dr1=。若X)时，则aaFf(at)=-f(x)exdx=-F(j-).(IJraa若VO时，则100X

21、尸/3)=,/*)JjdX1I”-；-t=f(t)eadtaj-1.69、=F(J).aa综合0X),VO两种情况，尺度变换特性表示为f(ai)()向a(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)尺度变换性质表明：(1)当。1时，/()表示/的时域波形沿时间轴压缩了。倍；/C/q)表示尸OM的频域图形沿频率轴扩展了倍。(2)当l时，/()表示/的a时域波形沿时间轴扩展了%倍；F(j?)表示F(j)的频域图形沿频率轴压缩了%倍。卷积定理：a.时域卷积定理：若Fxx(01=X1(j),Fx2(D=X2O)，则网石*x2(t)=X1(X2O)；b.频域卷积定理：若Fx1(r)=X1(),Fx2(

22、t)=X2O),则F,X1()*X2(j)=211l(r)x2(t)0证明：根据卷积的定义，已知工*力=1./)力。-7)”(2.16)因此，得Ffi(t)*f2=(r)-)ddt=：/)匚力加力/丁=f)F2(j)ejrd(2.17)=F1(j)Jeid=Fj)F2Q).时域卷积定理说明,两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。频域卷积定理说明，两时间函数频谱卷积的原函数等效于两时间函数的乘积。或者说,两时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱的卷积乘以工。显然,时域与频域卷积定理是对称的,这是由傅里叶变换的对称性所211决定的。时域微积分：

23、微分性质：若小=X(则口貌S)E爷k(j“(M;证明:(2.18)等=m*JW=-jF(j)eit0,d.211JT华cjF(jc).dt同理，可推广到高阶倒数的傅里叶变换，即(2.19)dr积分性质：若x=X(),则FMr)出1=丛&+水(02(。JJet)证明：(/(r)Jr)-=ff()(t-)de-it0,dt-QOJ-0J-QOJ-8=/(r)(r-r)e-Wr=zf()7i()+-edJ-=0jf.ex1(2.20)=f()()ej+f()ejtdJJj(t)7i()f()d+-F()jjeo=11F(0)()+F().j微分和积分性质较为常用,尤其是将两者结合起来求解信号的傅里叶

24、变换更加简便,具体步骤如下:先对信号在时域内求导,直到能应用常用函数的傅里叶变换对写出其频谱函数为止。然后再积分相同次数,即可求得复杂信号的傅里叶变换。频域微积分冏：微分性质：若x(Q=X(汝)，则尸也=(一。)必)；d证明：呼小ddj=(2.21)=f-7wJ同理可得高阶导数(Tt)kf(i)c雪辔.(2.22)d积分性质：若x(f)=X(M,则尸J：X(%)刎=等+x(0)葩。总结，如表2.1(傅里叶变换的主要性质及定理)：表2.1傅里叶变换的主要性质及定理序号名称时域频域1线性性质afi(t)+bf2(t)aFi(j)+bF2(j)2时移性质uF(j)e3频移性质如Fj+Q)4尺度变换/

25、3)5对称性质F(Jt)2tf(-)6时域卷积z*Fi(j)F2(j)7频域卷积z2118时域微分dtjF(j)9时域积分(r)Jr区3+才(Wy)j10频域微分(-jt)f(t)dF(j)d11频域积分柏0)3)+/如tF(j)d2.2.3离散傅里叶变换和傅里叶级数给定实的或复的离散时间序列y0j,/V-设该序列绝对可和，即满足：冰8.=。(2.23)称：N-I-i-nX(k)=F(G=Z*N(欠=0J,.N1).”=。24)为序列4的离散傅里叶变换，称:1UW=-(,(n=0,U,V-l)(2.25)为序列X(k)的逆离散傅里叶变换。式(2.23)中，相当于对时间域的离散化，相当于对频率域

26、的离散化,且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶序列X(Z)是以2乃为周期的，且具有共挽对称性。是实轴上以2为周期的平方可积函数时，即/l2(),2R,则/可以表示成傅里叶级数的形式，即：f=Ey.Xf(2.26)其中，傅里叶系数为：c“二；W力.21Jo(2.27)2.3傅里叶变换的应用2.3.1傅里叶变换在处理信号方面中的应用离散傅里叶变换(DFT)作为数字信号处理中最重要的工具。三种经常使用的方法:第一，要计算出信号的频谱。DFT是连续傅里叶变换的近似，因此可以对连续信号JVa)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列进行离散傅里叶变换，这样就可以分析连续信号Mf)频谱的性质。可以

27、在频域看出分量正弦波的幅度相位和频率信息。例如，通过对环境噪声的谱分析，可以确定主要频率成分，了解噪声的原因，找出降低噪声的对策；振动信号的谱分析可以了解振动对象的特性，并为设计或故障诊断提供数据和信息。高保真音乐、电视等宽带信号转移到频率域后，大部分能量集中都在直流和低频部分，可以过滤频谱中的大部分成分，从而能够压缩信号的频带。第二，DFT可以根据系统的脉冲响应获得系统频率响应，反之亦然。第三，DFT是一些精细信号处理步骤的中间步骤，比如FFT卷积比传统方法快。所以，傅里叶变换在分析信号上有着非常大的作用。通过傅里叶变换实现信号的滤波、调制和抽样是傅里叶变换在处理信号方面中的主要应用。对信号

28、实现调制，我们能够把信号的低频成分转化到高频，实现低频的移动，减少马间串扰，提高新的抗噪声能量，有利于信号的远程传输。此外，信号采样可以使连续信号离散，有利于计算机处理信号。2. 3.2傅里叶变换在其他方面中的应用(1)在图像分析中的应用傅里叶变换能够将图像信号从时域转换为频域，从而能够很好地获取图像中的特征，从而完成图像压缩、滤波等功能。很大一部分的噪音都是图像的高频分量，高频噪声可以通过低通滤波器去滤除，图像的高频分量包括边缘部分，加强原始图像的边缘可以通过添加高频分量来实现，检测图像的分割之边缘，然后提取图像高频分量；(2)在数据分析中的应用傅里叶变换能够把时域的数据转化成频域的数据，从

29、而能够更好地去分析数据的规律性，然后才能够更好地发现数据中的有价值信息。线性的积分变换是将信号在时域和频域之间变换的时候进行变换，在工程学和物理学中有广泛的应用，在各种各样的科学研究领域，傅立叶变换拥有许多不同的应用形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。3.传染病模型及其参数估计3.1 传染病模型传染病的概念就是由各种各样的病原体引起的可以在人与人、动物与动物或人与动物之间互相传播的一种疾病。病原体中很多都是微生物，比较少的是寄生虫，通过寄生虫引起的疾病又叫做寄生虫病传染病就是一种感染病，可以通过一个生物经过某种途径去传染给另一生物。一般这种传染病的传播途径就是空气传播、水源传播、食物传播、

30、接触传播、土壤传播、垂直传播（母婴传播）、体液传播、粪口传播，或者经过直接去触碰已经感染的生物、感染生物的体液及排泄物、感染生物所接触到的物品。传染病的基本数学模型1主要研究传染病的传播速度、空间范围、传播途径、动力学机理等问题，可以给传染病的预测和控制提供有效的建议。3. 2传染病模型的发展历史和研究现状3. 2.1初期发展阶段1760年DanieIBernouli对天花的分析是科学家第一次对传染病的传播模型进行研究。在1911年的时候，公共卫生医生罗斯博士研究疟疾在人类和蚊子两者之间传播的动态行为通过利用微分方程模型。他的实验结果可以得出，假设把蚊子的数量值降低到某个限值以下，那么我们能够

31、减少疟疾。他第二次获得NObel医学奖是因为他的这一研究。后面1665-1666年黑死病在伦敦爆发，为了研究它的流行规律，科马克和麦肯德里构思并建立了闻名世界的SIR仓室模型，而且在1932年又研究出了SIS仓室模型。在对该模型的分析基础上，又提出了区别某种疾病是否流行的“阈值定理”，给传染病系统动力学的研究打下了坚实的基础闻。3. 2.2中期发展阶段传染病的模型在20世纪中期进行蓬勃发展研究,而最具代表性的一本书,便是1957年BaiIey发表的数理流行病学。在动态分析中，通常采用最优控制方法。Hethcote和Waltman在1973年利用动态分析的方法，寻找一种成本最低的预防接种方案。在

32、疫苗资源有限的条件下，1.ongini等人为香港及亚洲地区制定了适宜的疫苗接种年龄及人群。以2003年在全球范围内发生的SARS为例，在此过程中，有很多的学者建立了很多的动力学模型，对SARS的传播规律和趋势展开了深入的分析，同时还对不同的隔离和预防措施的强度对疾病防控产生的影响进行了深入的分析，为政策制定部门提供了一定的借鉴依据。石耀霖通过使用越南地区的蒙特卡洛试验，并建立了SARS传播的系统动力学模型，初步的试验结果表明，SARS的感染率和时序变化对SARS的传播有很大的影响。蔡全才等人提出了一种能够量化评估SARS防控措施有效性的扩散动力模式，并将该模式应用于北京地区，取得了良好的结果。

33、3. 2.3迅速发展阶段在最近几年来，国际上对传染病系统动力学的研究发展十分快速，但是其传播过程中存在着大量的问题，这些问题都可以用多种数学模型加以解决。大多数传染性疾病的发展变化，其中有些是麻疹，流感，天花；一些特殊的病如丝虫病，疟疾，肺结核和登革热，都可以运用下述的数学模型来进行探讨。从传染性疾病的传播途径来看，其感染途径有接触型、垂直型和媒介型三种。通过观察模型的数学方式可以发现，常微分方程组是很大一部分传染病模型，一阶偏微分方程组主要是具有年龄结构的模型，二阶偏微分方程组是具有扩散项的模型，这个系统的微分-具有时滞的积分方程组是具有时滞因子的模型，满足这些方程的泛函极值问题是传染病的防

34、空和管制优化模型。针对不同的疾病、人群和环境，根据不同的生死、治愈、患病和传播的方式，模式可以被设定成线性的或非线性的，也可以被设定成自主的或非自主的。相关的理论问题包括解的正确性,疾病的持续性，平衡点，尤其是引起局部疾病的平衡点，周期解的存在性及稳定性，再生数，寻找分支等。当前，我国对其进行的研究，以采用AnderSOn和May在1991年的经典研究为基础，对其进行了分析，在世界上科学家们已经做出了非常多的工作。还有一种模型是随机模型，它主要是加入随机因素的考虑在适当的常微分方程的基础上，或者使用马尔可夫链进行蒙特卡罗模拟1。3. 3传染病几种常见的模型Sl模型叫将人群划分为易感者(S类)和

35、感染者(/类)，得到下列微分方程组：-=-Sh-=SI.小dt(3.1)其中传染病的传染率为人传染病传播时间中，所研究地方的总人数SQ)+(f)=N一直没有变化。通过这一个守恒关系可以得到g=(i-4)，y=N.力N(3.2)这就是逻辑斯谛模型。它的指数增长率7=网传染率6和总人数N成正比。可以出这两个模型得出结论：(1)指数增长率了和总人数N成正比。当传染率为固定值时，如果染病地区内的总人数越多，传染病就会非常快速的传播，这表明了要注重感染人数的隔离；(2)在=N2时，病人数目/是医院需要最大接待病人数的时候，这个时候/增加得最快，政府和相关部门要对这个时候加以关注。SlR模型”3SI模型仅

36、仅思考了传染病的发生和扩散过程。SIR模型则更进一步考虑了患者的恢复过程。SIR模型的微分方程如下(3.3)a=-R,Ef健=.dtNdINdI/假设总人数S(f)+(f)+RQ)=N是一个常数。通过假设患者恢复健康后就不会再次感染传染病，就能够让恢复者R移出系统。对于会让人死亡的传染病，死亡患者也可以纳入R类。因此SlR模型三个变量中只有两个动力学变量/和S是独立的，用过以上关系可以得到包=Z-1dSS/+S-lnS=const,(3.4)给定r=0时刻的初条件S=S0,随着S从S开始单调递减，染病人数/在S=y/时达到峰值，随后一直回落，直到减为零。此时剩余一部分易感人群SM而疾病波及到的

37、总人数为月,二者可由总人数守恒和相轨迹方程解出。SIRS模型”3如果研究的传染病对于人没有死亡的威胁，而是恢复后获得的免疫无法维持一生，那么恢复者R有可能再次变为可感染者S。这个时候就有dSccyCdiCCTrdRTC一=-SI+aR,一=BSl-”,=l-aR.(3.5)dtdtdt总人数S(f)+(f)+RQ)=N为常数。得到恢复者获得免疫所需的平均维持时间就是参数/该微分方程中有两个固定点S=N(/=R=O)或S=伙/R=).前者意味着疾病在研究区域被消除，后者意味着该传染病处于流行状态。防止传染病流行的参数条件是方削。否则，应该尽量减小,增加y,以保持更多的人对该病的免疫力。SElR模

38、型叫假如要研究的传染病不会马上显示出来，接触过患者的未感染者没有立即被感染,而是成为携带病原体的人，就分为七类。由以上内容可以得到粤=0IS,牛=is-g+八)E,dtdt(3.6)di1.ldR1.,-=aE-2h-=lE+2I.atat这个方程仍然是S(Z)+/(0+R+EQ)=N为常数,感染并死亡的人将划分到R类。潜伏期恢复率”和患者恢复率彩大概率不一样。为潜伏期变成感染者的速率。与SlR模型相比，SEIR模型的好处是提前一步考虑到只有一部分接触过患者的人有可能被传染，者可以延长疾病的传播周期。最后进行数值模拟我们可以得到疾病最后的没有影响人数SOO和影响人数七，。3. 4传染病模型参数

39、估计参数估计1是利用已知的疫情数据，通过对模型的拟合找到最优参数的过程。在SIR模型中，参数估计主要涉及到少和/两个参数。这两个参数的值取决于病毒的传染强度。传染病模型参数估计是一个复杂而极其重要的问题。一方面，传染病的实际情况与模型假设存在差异，传染病模型也存在局限性；另一方面，参数估计涉及到大量的数据处理和计算，需要使用各种数学工具和方法。4.傅里叶变换在传染病模型参数估计中的应用4.1 模型假设与建立4. 1.1模型的假设a.假设初始时刻易染者为总数N.b.假设病毒时间尺度远小于个体生命周期，即不考虑个体自然出生率和自然死亡率.c.建设各个个体间接触机会均等.d.感染后又被治愈的人不会再

40、次感染.4. 1.2模型的建立通过构建动力学模型在流行性传染病中，这可以很大程度上帮助我们研究该传染病在地区的传播特点，同时也是传染病在后期传播防治的关键性建议。针对CoVlD79,容易感染的人群向已经感染的人群变化的过程中可能会潜伏，所以我们可以用SIR模型来对CoVID-19进行建模。下面我将用SIR模型来构建CoVlD79病毒在中国湖北的传播，公式如下：dSS二弟1Q)dtN=&一M.(4.1)dtN/dR、=W(r)at其中N=S(f)+/+即),S(E)(Susceptible)为易感染者，/(f)(Infected)表示感染病毒者，RQ)(ReCoVered)表示康复者，夕为易感染

41、者向暴露者的转移率，/为患者康复率，从微分方程中可以看出恢复系数y可由感染人群/和恢复人群R的数据计算得到，而感染人群和恢复人群可以由观测到的数据直接给出。下表是湖北省2020/1/28-3/17的新冠疫情确诊数据。表4.1湖北省自2020/1/28-3/17日的新冠疫情新增确诊日期新增确诊日期新增确诊2020/1/288402020/2/224352020/1/2910322020/2/233982020/1/3012202020/2/244992020/1/3113472020/2/254012020/2/119212020/2/264092020/2/221032020/2/273182

42、020/2/323452020/2/284232020/2/431562020/2/295702020/2/529872020/3/11962020/2/624472020/3/21142020/2/728412020/3/31152020/2/821472020/3/41342020/2/925312020/3/51262020/2/1020972020/3/6742020/2/1116382020/3/7412020/2/12148402020/3/8362020/2/1337802020/3/9172020/2/1424202020/3/10132020/2/1518432020/3/1

43、182020/2/1619332020/3/1252020/2/1718072020/3/1342020/2/1816932020/3/1442020/2/197752020/3/1542020/2/206312020/3/1612020/2/213662020/3/171注：数据来源于湖北省卫生健康委员会官网根据表4.1确诊人数得到峰值的天数，将此次病毒性肺炎恢复周期估计为16天,故恢复系数图4.1是我们从湖北省卫生健康委员会公布的数据中选取湖北16COVID-19自2020.01.28-2020.03.17新增确诊的时间序列表：1600012!X0100800060004二14S1471013161922252831343740434649时间图4.1湖北新冠疫情数据通过让5(力)=SS/N,I（三）=W)/N,R（三）=RSINQ自Sg)+